2025年中考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷（含答案）

2025年中考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分.每小題都給出A,

B,C,D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的）

1.實(shí)數(shù)一2的相反數(shù)是（）

A.2B.12

C.3D.—!

2.2024年春節(jié)出游人次和旅游總花費(fèi)均創(chuàng)歷史新高，經(jīng)文化和旅游部數(shù)據(jù)

中心測(cè)算，春節(jié)假期全國國內(nèi)旅游出游4.74億人次.4.74億=474000000,將

474000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4.74X109B.4.74X108

C.47.4X107D.474X106

3.如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體是（）

A.圓錐B.圓柱

C.三棱柱D.長方體

4.下列計(jì)算正確的是(

A.3a+2b=5abB.a2,ai=a6

C.(~a3b)2=a6b2D.a2b-^-a=b3

5.如圖，在扇形A03中，ZAOB=80°,半徑04=3,C是&上一點(diǎn),

連接OC,。是。C上一點(diǎn)，且OD=DC,連接BD.若BD±OC,則G的長為（)

JI

A-7

第1頁共28頁

JI

c.2D.JT

777

6.函數(shù)y=—與y=m(x—l)(mWO)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是

7.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以3,C為圓心，大于;BC

的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D,連接

CD若CD=AC,ZB=26°,則NAC3的度數(shù)為（）

A.26°B.52°

C.128°D.102°

8.已知二次函數(shù)y=af+Za+c(aW0)的圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的

是()

A.圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

B.函數(shù)丁=加+。%+°(。N0)的最小值是一4

C.-1和3是方程ad+Ox+cuOmWO)的兩個(gè)根

D.當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而減小

9.如圖，正方形ABCD中，AD=4,點(diǎn)P為A3上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△PBC沿

CP折疊得到△PCE,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,作射線AE交CD于點(diǎn)F,若點(diǎn)E恰

第2頁共28頁

好為AR的中點(diǎn)，則3P的長為（）

A.2小

7

C.3D.2

10.如圖1,點(diǎn)P從菱形A3CD的邊AD上一點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，沿直線運(yùn)動(dòng)到菱

形的中心，再沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)路程為x,點(diǎn)P到A3的距

離為m,到CD的距離為〃，且》=而（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，y=0）,點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)

時(shí)y隨x的變化關(guān)系如圖2所示，則菱形A3CD的面積為（）

圖1圖2

A.6巾B.5巾

C.10D.6

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）

11.式子△&中x的取值范圍是______.

X-1

12.比較大?。?7225.（填“V”或“=”）

13.生肖也稱屬相，是中國傳統(tǒng)文化中的一種紀(jì)年方式，是一種十二年一個(gè)

循環(huán)的紀(jì)年系統(tǒng)，每年用一種動(dòng)物來代表，是由十二地支演變而來的.小明手繪

了“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三種生肖卡，準(zhǔn)備將其中的兩張送給好朋

友小亮.小明將它們洗勻后背面朝上放在桌面上（手繪生肖卡背面完全相同），讓

小亮從中隨機(jī)抽取兩張，則小亮抽到的兩張生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是

14.如圖，正方形A3CD中，點(diǎn)E在邊A3上，且AB=L點(diǎn)R在

邊3c上，點(diǎn)G在邊CD上，ZGFE=90°.

第3頁共28頁

（1）若tanZGEF=3,則GE的長為；

（2）若△ERG與AFCG相似，則GE的長為.

三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

15.解方程：x（x+l）=2（2x+5）.

16.如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，放置一個(gè)平

面直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)。及點(diǎn)A,

（1）結(jié)合所給圖形，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：點(diǎn)A，點(diǎn)C

（2）平移△ABC得到夕C,其中點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是4,B',C,

且點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)0中心對(duì)稱，畫出夕C,并說明夕C是由AABC

怎樣平移得到的？

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）

與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖所示）；該

產(chǎn)品的總銷售額z（萬元）=預(yù)售總額（萬元）+波動(dòng)總額（萬元），預(yù)售總額=每件產(chǎn)

品的預(yù)售額（元）X年銷售量x（萬件），波動(dòng)總額與年銷售量x的平方成正比，部分

數(shù)據(jù)如表所示.

生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲年毛利潤為w萬

第4頁共28頁

元.(年毛利潤=總銷售額一生產(chǎn)費(fèi)用)

(1)求y與x以及z與x之間的函數(shù)解析式；

(2)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤最大，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量應(yīng)為多少？

(3)若要使該產(chǎn)品的年毛利潤不低于1000萬元，結(jié)合函數(shù)圖象，求該產(chǎn)品年

銷售量x的變化范圍.

18.【問題呈現(xiàn)】如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A,5和C,

D,A3和CD相交于點(diǎn)P,求tanN3PD的值.

［方法歸納】利用網(wǎng)格將線段CD平移到線段BE,連接AE,得到格點(diǎn)△ABE,

且AE1BE,則ZBPD就變換成RtAABE中的ZABE.

【問題解決】

(1)圖1中tanZBPD的值為；

(2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A,B和C,D,AB

與CD交于點(diǎn)P,求cosN3PD的值；

【思維拓展】

(3)如圖3,AB±CD,垂足為3,且AB=43C,BD=2BC,點(diǎn)E在A3上，

且AE=3C,連接AD交CE的延長線于點(diǎn)P,利用網(wǎng)格求sinZCPD.

圖1圖2圖3

五'(本大題共2小題，每小題10分，滿分20分)

19.某地廣播電視塔由塔體(含塔座、塔身、塔樓)和桅桿兩部分組成，如圖

1.

圖1圖2

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們開展了測(cè)量塔體部分高度的實(shí)踐活動(dòng)，過程如下：

【制訂方案】如圖2,在塔座底部所在的水平面上，選取兩個(gè)不同的測(cè)量地

點(diǎn)A,B,分別由甲、乙兩組同學(xué)測(cè)量塔體頂端點(diǎn)D和桅桿天線頂部點(diǎn)C的仰角，

丙組同學(xué)測(cè)量這兩個(gè)測(cè)量地點(diǎn)之間的距離.

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【實(shí)地測(cè)量】水平地面上測(cè)量地點(diǎn)A,B與塔體底端(點(diǎn)約在同一條直線上,

線段AE,3歹分別表示測(cè)角儀支架，線段CD表示桅桿天線，表示塔體.

測(cè)量一：甲組同學(xué)在A處測(cè)量一次，測(cè)得塔體頂端點(diǎn)。的仰角為31°；

測(cè)量二：乙組同學(xué)在B處測(cè)量一次，測(cè)得桅桿天線頂部點(diǎn)C的仰角為45°；

測(cè)量三：丙組同學(xué)測(cè)量了三次，數(shù)據(jù)如下：

測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次第三次

A,5之間的距離57.6m57.8m57.7m

(1)丙組同學(xué)三次測(cè)量A,B之間距離的平均值為m；

(2)已知塔頂部桅桿天線CD高100m,測(cè)角儀支架高1.6m,求塔體DH的

高度(結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):tan31°^0.60,sin31°^0.52,cos31°=0.86)；

(3)從減小誤差的角度考慮，你認(rèn)為哪個(gè)小組的測(cè)量方法更合理？請(qǐng)說明理

由.

20.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，過點(diǎn)C作。。的

切線與AD的延長線相交于點(diǎn)E,EFLBC,交3c的延長線于點(diǎn)E

(1)求證：/BAC=/ECF；

(2)若AD=6,CD=2,cosNB4C=乎，求CR的長.

六、(本題滿分12分)

21.綜合與探究

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上(即四

點(diǎn)共圓)時(shí)，就可以通過添加輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問題變得相對(duì)簡單，

于是開始和同學(xué)一起探究四點(diǎn)共圓的條件.小明同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的

一個(gè)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).因此，他想探究它的逆命題是否成立，以

下是小明同學(xué)的探究過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.

(1)【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的逆命題為：

如果該逆命題成立，則可以作為判定四點(diǎn)共圓的一個(gè)依據(jù);

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（2）【驗(yàn)證】如圖1,在四邊形A3CD中，ZABC+ZADC=180°,請(qǐng)?jiān)趫D

1中作出過A,B,C三點(diǎn)的。。，并直接判斷點(diǎn)。與。。的位置關(guān)系；（要求尺

規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法）

（3）【證明】已知：如圖1,在四邊形ABCD中，ZABC+ZADC=1SO°.

求證：點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)共圓.

證明：過A,B,C三點(diǎn)作。。，假設(shè)點(diǎn)。不在。。上，

則它有可能在圓內(nèi)（如圖2）,也有可能在圓外（如圖3）.

假設(shè)點(diǎn)。在內(nèi)時(shí)，如圖2,延長CD交。。于點(diǎn)E,連接AE.

因?yàn)镹ADC是△￡>￡>!的外角，

所以NADONAEC.

因?yàn)樗倪呅蜛3CE是。。的內(nèi)接四邊形，所以NA3C+NAEC=180°.

又因?yàn)镹A3C+NADC=180°,

所以NADC=NAEC

圖3

這與NADONAEC相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)。不可能在。。內(nèi).

請(qǐng)仿照以上證明，用反證法證明”假設(shè)點(diǎn)。在。。外”（如圖3）的情形.

七、（本題滿分12分）

22.（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,矩形AERG與矩形ABCD相似，且矩形AERG

的兩邊分別在矩形ABCD的邊AB和AD上，BC：AB=1：小,連接CT.線段

CF與DG的數(shù)量關(guān)系為.；

（2）【拓展探究】如圖2,將矩形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變.在

旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖2說明理由；

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B,___單__4

圖1圖2

圖3

(3)【解決問題】如圖3,當(dāng)矩形ABCD的邊AD=AB時(shí)，點(diǎn)E為直線CD上

異于點(diǎn)D,C的一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AERG,點(diǎn)”為正方形AERG的中心，

連接若AD=4,DE=2,直接寫出的長.

八、(本題滿分14分)

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=—f+Ox+c與x軸交于點(diǎn)A(l,

0)和3(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為線段3c上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作y軸的平行

線交拋物線于點(diǎn)E,連接BE.

(1)求拋物線的解析式;

(2)當(dāng)NE3D=90°時(shí)，求線段DE的長度；

(3)在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得NACP=45°?若存在，求出點(diǎn)P

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

第8頁共28頁

2025年中考數(shù)學(xué)模擬檢測(cè)試卷?教師版

（時(shí)間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分.每小題都給出A,

B,C,D四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題目要求的）

1.實(shí)數(shù)一2的相反數(shù)是（）

A.2B.12

11

C.2D.2

答案：A

2.2024年春節(jié)出游人次和旅游總花費(fèi)均創(chuàng)歷史新高，經(jīng)文化和旅游部數(shù)據(jù)

中心測(cè)算，春節(jié)假期全國國內(nèi)旅游出游4.74億人次.4.74億=474000000,將

474000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.4.74X109B.4.74X108

C.47.4X107D.474X106

答案：B

3.如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體是（）

A.圓錐B.圓柱

C.三棱柱D.長方體

答案：B

4.下列計(jì)算正確的是（）

A.3a+2b=5abB.cr,a3=a6

C.（一/份2=*廬D.a2b+。=分

答案：C

5.如圖，在扇形A03中，ZAOB=80°,半徑。4=3,C是&上一點(diǎn)，

連接OC,。是OC上一點(diǎn)，且OD=DC,連接BD.若BD±OC,則G的長為（）

第9頁共28頁

答案：B

777

6.函數(shù)與y=/n(x—l)(mWO)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是

7.如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以5,。為圓心，大于；BC

的長為半徑作弧，兩弧相交于M,N兩點(diǎn)；②作直線MN交AB于點(diǎn)D,連接

CD.若CD=AC,ZB=26°

A.26°

C.128°

答案：D

8.已知二次函數(shù)笈+c(aWO)的圖象如圖所示，則下列說法錯(cuò)誤的

是()

第10頁共28頁

A.圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱

B.函數(shù)yuaf+bx+cQWO）的最小值是一4

C.—1和3是方程af+&r+c=O（aWO）的兩個(gè)根

D.當(dāng)x>l時(shí)，y隨x的增大而減小

答案：D

9.如圖，正方形A3CD中，AD=4,點(diǎn)P為A3上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△PBC沿

CP折疊得到△PCE,點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,作射線AE交CD于點(diǎn)F,若點(diǎn)E恰

好為AR的中點(diǎn)，則BP的長為（）

APD

A.2小B.1^3

7

C.3D.

答案：B

10.如圖1,點(diǎn)尸從菱形A3CD的邊AD上一點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，沿直線運(yùn)動(dòng)到菱

形的中心，再沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程為x,點(diǎn)P到A3的距

n

離為m,到CD的距離為小且y=￡（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，y=0）,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)

時(shí)y隨x的變化關(guān)系如圖2所示,則菱形A3CD的面積為（）

n

A.6幣B.5幣

C.10D.6

第11頁共28頁

答案：A

二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分)

11.式子△4中x的取值范圍是.

答案：且xWl

12.比較大?。?.2木.(填"V"或"=")

答案：〉

13.生肖也稱屬相，是中國傳統(tǒng)文化中的一種紀(jì)年方式，是一種十二年一個(gè)

循環(huán)的紀(jì)年系統(tǒng)，每年用一種動(dòng)物來代表，是由十二地支演變而來的.小明手繪

T“十二生肖”中的子鼠、丑牛、寅虎三種生肖卡，準(zhǔn)備將其中的兩張送給好朋

友小亮.小明將它們洗勻后背面朝上放在桌面上(手繪生肖卡背面完全相同)，讓

小亮從中隨機(jī)抽取兩張，則小亮抽到的兩張生肖卡恰好是子鼠和丑牛的概率是

答案：

14.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊A3上，且BE=：AB=L點(diǎn)R在

邊3c上，點(diǎn)G在邊CD上，ZGFE=9Q°.

(1)若tanZGEF=3,則GE的長為；

(2)若△ERG與AFCG相似，則GE的長為

解析：(1)因?yàn)锳B=1,

所以AB=4.

因?yàn)樗倪呅蜛3CD是正方形，

所以NB=NC=90°,

所以N3ER+NBRE=90°.

因?yàn)镹GRE=90°,

所以NCTG+N3RE=90°,

第12頁共28頁

所以NBEF=NCFG,

所以ABEFs^CFG,

、EBBFEF

所以定=CG=~FG,

FG

在RtZiEFG中，tanZGEF=^^=3,

?1BF

=

所以的CG3

所以FC=3,

所以BR=3C—RC=4—3=1,

所以CG=3,EF2=12+12=2,

所以FG2=32+32=18,

所以GE1=EF2+FGr=2+18=20,

所以GE=?=24.

(2)有兩種情況：

①△ERGSAGCR,

即NEGR=NGRC,

所以EG//BC,

則四邊形BCGE為矩形,

所以GE=BC=4-

?AEFG^AFCG,

EFFG

則的=CG-

第13頁共28頁

EFBF

由⑴，得而CG，

EFFG

即南=CG'

?EFEF

所以立=BF'

所以FC=BF=2.

EBBF

因?yàn)橛?1),得反,

“12

所以5=CG，

所以CG=4,

即點(diǎn)G和點(diǎn)。重合.

因?yàn)锳E=AB—BE=4—1=3,

所以GE=N32+42=5.

綜上，GE的長為4或5.

答案：⑴2?、?或5

三、(本大題共2小題，每小題8分，滿分16分)

15.解方程：無5+l)=2(2x+5).

解：X2+X=4X+10,

X2—3x—10=0,

(%—5)。+2)=0,

x—5=0或%+2=0,

解得%1=5,X2=-2.

16.如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，放置一個(gè)平

第14頁共28頁

（1）結(jié)合所給圖形，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：點(diǎn)A，點(diǎn)C；

（2）平移△A3C得到△AEC,其中點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是4,B',C,

且點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)0中心對(duì)稱，畫出夕C,并說明夕C是由AABC

怎樣平移得到的？

解：（1）（-2,3）（0,-2）

（2）如圖，B'C即為所求作.

△AB'C是由△ABC向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度

得到的.

四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）

17.某廠一種農(nóng)副產(chǎn)品的年產(chǎn)量不超過100萬件，該產(chǎn)品的生產(chǎn)費(fèi)用y（萬元）

與年產(chǎn)量x（萬件）之間的函數(shù)圖象是頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線的一部分（如圖所示）；該

產(chǎn)品的總銷售額z（萬元）=預(yù)售總額（萬元）+波動(dòng)總額（萬元），預(yù)售總額=每件產(chǎn)

品的預(yù)售額（元）X年銷售量x（萬件），波動(dòng)總額與年銷售量x的平方成正比，部分

數(shù)據(jù)如表所示.

生產(chǎn)出的該產(chǎn)品都能在當(dāng)年銷售完，達(dá)到產(chǎn)銷平衡，所獲年毛利潤為W萬

元.（年毛利潤=總銷售額一生產(chǎn)費(fèi)用）

（1）求y與x以及Z與X之間的函數(shù)解析式；

（2）若要使該產(chǎn)品的年毛利潤最大，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量應(yīng)為多少？

（3）若要使該產(chǎn)品的年毛利潤不低于1000萬元，結(jié)合函數(shù)圖象，求該產(chǎn)品年

第15頁共28頁

銷售量X的變化范圍.

解：（1）由題意，設(shè)丁=.%2々/彳。）.

因?yàn)閳D象經(jīng)過點(diǎn)（100,1000）,

所以小loo?=1000,

解得.

所以尸古舊

設(shè)每件產(chǎn)品的預(yù)售額為m元，

因?yàn)樵摦a(chǎn)品的總銷售額z（萬元）=預(yù)售總額（萬元）+波動(dòng)總額（萬元），預(yù)售總

額=每件產(chǎn)品的預(yù)售額（元）X年銷售量x（萬件）,波動(dòng)總額與年銷售量x的平方成

正比，設(shè)比例系數(shù)為m,

所以,

20m+400〃=560,

所以，

〔40機(jī)+1600〃=1040,

m=30,

解得1

〃=—15，

1,

所以z=30x—記X2.

（2）由題意，得u?=z-y=30x一右%2—x2=—x2+30x=—（%—75）2+

1125,

因?yàn)橐?<0,

所以當(dāng)x=75時(shí)，年毛利潤最大.

所以要使該產(chǎn)品的年毛利潤最大，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量應(yīng)為75萬件.

（3）由題意，令w=f+BOxu1000,

所以%2—150%+5000=0,

所以(x—50)(x—100)=0,

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所以xi=50,X2=100.

因?yàn)槟昝麧櫜坏陀?000萬元，且相應(yīng)拋物線開口向下，

所以該產(chǎn)品年銷售量X的變化范圍為50W尤W100.

18.【問題呈現(xiàn)】如圖1,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A,B

和C,D,AB和CD相交于點(diǎn)P,求tanZBPD的值.

(方法歸納】利用網(wǎng)格將線段CD平移到線段BE,連接AE,得到格點(diǎn)△A3E,

且AE±BE,則ZBPD就變換成RtAABE中的ZABE.

【問題解決】

(1)圖1中tanZBPD的值為；

(2)如圖2,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，分別連接格點(diǎn)A,B和C,D,AB

與CD交于點(diǎn)P,求cosZBPD的值；

【思維拓展】

(3)如圖3,ABLCD,垂足為3,且A3=4BC,BD=2BC,點(diǎn)E在A3上，

且AE=BC,連接AD交CE的延長線于點(diǎn)P,利用網(wǎng)格求sinZCPD.

A

圖

圖23

解：(1)由勾股定理可得=2y[2,BE=y)l2+l2=啦.

因?yàn)?"BE,

AE2-J2

所以tanZBPD=tanZABE==2.

BE

故答案為：2

(2)如圖，過點(diǎn)A作AE//CD,連接BE,可知E點(diǎn)在格點(diǎn)上，且NAE3=90°.

由勾股定理可得AE=、12+22=小，AB=yI?”=VT6,

\VsxVTo5二_y/2

所以cosZBPD=cos

」BAI-AB~y/TdXy/Td~10-2

(3)如圖，構(gòu)造網(wǎng)格，過點(diǎn)A作AN//PC,連接DN,由圖可知N點(diǎn)在格點(diǎn)上,

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且NA7VD=9O°.

由勾股定理可得22小,

DN=\12+32=A/TO,AD=^2+4=2

DNVioV10X^55^2

所以sinZCPD=sin￡NAD=

AD—2小—2小X小—10—2

五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）

19.某地廣播電視塔由塔體（含塔座、塔身、塔樓）和桅桿兩部分組成，如圖

1.

某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們開展了測(cè)量塔體部分高度的實(shí)踐活動(dòng)，過程如下：

【制訂方案】如圖2,在塔座底部所在的水平面上，選取兩個(gè)不同的測(cè)量地

點(diǎn)A,B,分別由甲、乙兩組同學(xué)測(cè)量塔體頂端點(diǎn)D和桅桿天線頂部點(diǎn)C的仰角，

丙組同學(xué)測(cè)量這兩個(gè)測(cè)量地點(diǎn)之間的距離.

【實(shí)地測(cè)量】水平地面上測(cè)量地點(diǎn)A,B與塔體底端（點(diǎn)功在同一條直線上，

線段AE,分別表示測(cè)角儀支架，線段。表示桅桿天線，DH表示塔體.

測(cè)量一：甲組同學(xué)在A處測(cè)量一次，測(cè)得塔體頂端點(diǎn)。的仰角為31。；

測(cè)量二：乙組同學(xué)在B處測(cè)量一次,測(cè)得桅桿天線頂部點(diǎn)C的仰角為45°；

測(cè)量三：丙組同學(xué)測(cè)量了三次，數(shù)據(jù)如下：

測(cè)量項(xiàng)目第一次第二次第三次

A,3之間的距離57.6m57.8m57.7m

（1）丙組同學(xué)三次測(cè)量A,B之間距離的平均值為m；

（2）已知塔頂部桅桿天線CD高100m,測(cè)角儀支架高1.6m,求塔體DH的

高度（結(jié)果精確到1m.參考數(shù)據(jù):tan31。^0.60,sin31°^0.52,cos31°心0.86）；

（3）從減小誤差的角度考慮，你認(rèn)為哪個(gè)小組的測(cè)量方法更合理？請(qǐng)說明理

第18頁共28頁

由.

解：(1gX(57.6+57.8+57.7)=57.7(m).

故答案為：57.7

(2)如圖，延長ER交于點(diǎn)N,

則NCNR=90°,/CFN=45°,

所以CN=NF.

設(shè)￡)N=xm,則NF=CN=(x+l00)m.

因?yàn)锳B=EF=57Jm,

所以EN=57J+(x+100)=(x+157.7)m.

DN

在RtADETV中，tan￡DEN=~r^,

1-JLV

則DN=EN-tanADEN,

即x^0.60X(x+157.7),

解得x=236.55,

貝”DH=DA^+AW=236.55+1.6=238.15^238(m).

答：塔體DH的高度約為238nl.

(3)丙組的測(cè)量方法更合理.因?yàn)閷?duì)多次測(cè)量結(jié)果取平均值可以減小誤差.

20.如圖，四邊形A3CD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，過點(diǎn)C作。。的

切線與AD的延長線相交于點(diǎn)E,EFLBC,交3c的延長線于點(diǎn)E

(1)求證：ZBAC=ZECF；

(2)若AD=6,CD=2,cosNB4C=嚅，求CT的長.

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解：(1)證明：因?yàn)锳C為。。的直徑，

所以/4。。=/。4。+/。以=90°.

因?yàn)镃E是。。的切線，

所以NACE=NDCE+NDC4=90°,

所以ND4C=NDCE.

因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于。。，

所以Nn43+N3CD=180°.

因?yàn)镹DCF+/BCD=180°,

所以ND43=NZXT,

所以/B4C=ZECF.

(2)因?yàn)锳C為。。的直徑，

所以NADC=NCDE=90°.

又由(1)知ND4C=ZDCE,

所以AACDsACED,

上.,42CD

所以CD=DE-

因?yàn)锳D=6,CD=2,

622

所以/=萬無，所以DE=g,

所以CE=7CD2+DE2=Y22+停J

=|Vio-

由(1)知NBACnNECR,

所以cosZBAC=cosAECF=^^.

因?yàn)镋RLBC,所以NCRE=90°,

CF

所以在尸中，

RtZkCEcos￡ECF=~V7zi-^L=

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2r~V102

所以CF=CEcosZECF=^V10義卡-=3-

六、（本題滿分12分）

21.綜合與探究

小明同學(xué)在學(xué)習(xí)“圓”這一章內(nèi)容時(shí)，發(fā)現(xiàn)如果四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上（即四

點(diǎn)共圓）時(shí)，就可以通過添加輔助圓的方式，使得某些復(fù)雜的問題變得相對(duì)簡單，

于是開始和同學(xué)一起探究四點(diǎn)共圓的條件.小明同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓內(nèi)接四邊形的

一個(gè)性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).因此，他想探究它的逆命題是否成立，以

下是小明同學(xué)的探究過程，請(qǐng)你補(bǔ)充完整.

（1）【猜想】“圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”的逆命題為：

如果該逆命題成立，則可以作為判定四點(diǎn)共圓的一個(gè)依據(jù)；

（2）【驗(yàn)證】如圖1,在四邊形A3CD中，ZABC+ZADC=1SO0,請(qǐng)?jiān)趫D

1中作出過A,B,C三點(diǎn)的。。，并直接判斷點(diǎn)。與。。的位置關(guān)系；（要求尺

規(guī)作圖，要保留作圖痕跡，不用寫作法）

（3）【證明】已知：如圖1,在四邊形A3CD中，ZABC+ZADC=180°.

求證：點(diǎn)A,B,C,。四點(diǎn)共圓.

證明：過A,B,C三點(diǎn)作。。，假設(shè)點(diǎn)。不在。。上，

則它有可能在圓內(nèi)（如圖2）,也有可能在圓外（如圖3）.

假設(shè)點(diǎn)。在。。內(nèi)時(shí)，如圖2,延長CD交。。于點(diǎn)E,連接AE.

因?yàn)镹ADC是△￡>￡4的外角，

所以NADONAEC.

因?yàn)樗倪呅蜛3CE是。。的內(nèi)接四邊形，所以NA3C+NAEC=180°.

又因?yàn)镹ABC+NADC=180°,

所以NADC=NAEC

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AD

?0

Bfc

圖3

這與NADONAEC相矛盾，所以假設(shè)不成立，所以點(diǎn)。不可能在。。內(nèi).

請(qǐng)仿照以上證明，用反證法證明”假設(shè)點(diǎn)。在。。外”(如圖3)的情形.

解：(1)對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是圓的內(nèi)接四邊形

(2)如圖，。。即為所求作.

點(diǎn)。在。。上.

(3)證明：假設(shè)點(diǎn)。在。。外，如圖，記CD交。。于點(diǎn)E,連接AE.

因?yàn)閆AEC是△￡>￡4的外角，

所以NAEONADC

因?yàn)樗倪呅蜛BCE是。。的內(nèi)接四邊形，

所以NA3C+NAEC=180°.

又因?yàn)镹A5C+NADC=180°,

所以NAEC=NADC.

這與NAEONADC相矛盾，所以假設(shè)不成立，

所以點(diǎn)。不可能在。。外.

七、(本題滿分12分)

22.(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,矩形AERG與矩形A3CD相似，且矩形AERG

的兩邊分別在矩形ABCD的邊AB和AD上，BC：AB=1：木,連接CT.線段

CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；

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(2)【拓展探究】如圖2,將矩形AERG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其他條件不變.在

旋轉(zhuǎn)的過程中，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖2說明理由；

圖1圖2

(3)【解決問題】如圖3,當(dāng)矩形A3CD的邊AD=A3時(shí)，點(diǎn)E為直線CD上

異于點(diǎn)D,C的一點(diǎn)，以AE為邊作正方形AERG,點(diǎn)H為正方形AERG的中心，

連接若AD=4,DE=2,直接寫出DH的長.

解：(1)如圖，延長EF,交CD于點(diǎn)H,連接AR

因?yàn)樗倪呅蜛BCD和四邊形AEFG都是矩形,

所以ND=NAGR=NERG=90°,

所以/D=NFGD=/HFG=90°,

所以四邊形DGFH是矩形，

所以切=GD,/DHF=90°.

因?yàn)榫匦蜛EFG與矩形ABCD相似，BC：AB=1：/,

ABAE_^3

所以前=~EF=1，

.ABTE_AE_^3

所以3C—ER=麗=1'

即地_CH—近

FH~FH~1"

在中，由勾股定理，得CF=qFH2+（事FH）2=2FH,

所以CF=2GD.

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故答案為：CF=2GD

(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.

理由如下：

如圖，連接AR,AC.

因?yàn)榫匦蜛EFG與矩形ABCD相似,

所以爺=AD

AC-

由旋轉(zhuǎn)可得ZCAF=ZDAG,

所以△ACRS/XADG,

c、,CFAC

所以麗=AD-

因?yàn)锽C：AB=1：y[3,

所以CD：AD=y[3：1,

姐JCD^AD-2

--

所以AD-AD1

CF2

所以麗=T，

所以CF=2GD.

(3)①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD上時(shí)，連接AC,AH.

因?yàn)樗倪呅蜛BC。，四邊形AERG為正方形，

所以NC4D=NE4H=45°,訪=麗=^2,

所以NC4E=ND4H,

所以AACEsAADH,

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小，L口ACr-

所以麗=AD=啦'

因?yàn)锳D=CZ>=4,DE=23

所以CE=4—2=2,

所以DH=@;

②如圖，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD的延長線上時(shí)，連接AC,AH.

因?yàn)樗倪呅蜛3CD,四邊形AERG為正方形，

ACAEr-

所以NCAD=NEAH=45°,訪=礪=6，

所以NC4E=ZDAH,

所以