2025年中考數學三輪復習之命題與證明

2025年中考數學三輪復習之命題與證明

選擇題（共10小題）

1.（2025?九龍坡區(qū)校級模擬）下列關于命題的說法中，正確的是（）

A.到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上

B.平行四邊形是中心對稱圖形

C.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

D.最小的有理數是0

2.（2025?方山縣一模）“趙爽弦圖”是第24屆國際數學家大會的會徽圖案，源于趙爽所著的《勾股圓方

圖注》.趙爽運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理，他所用的方法是（）

A.分析法B.相似法C.反證法D.等面積法

3.（2025?常州模擬）如圖，在△ABC中，/C=90°,ZBAC=45°，AB=2,BC邊上有一動點。，作

點2關于直線的對稱點E,當點。從點B運動到點C時，點E的運動路徑長為（）

4.（2025?閔行區(qū)模擬）已知在四邊形ABC。中，AD//BC,對角線AC、8。交于點O,S.AC^BD,下列

四個命題中真命題是（）

A.若AB=CD,則四邊形ABC。一定是等腰梯形

B.若則四邊形ABC。一定是等腰梯形

C.若絲=絲，則四邊形A8C。一定是矩形

OBOD

D.若AC_L8O且AO=。。，則四邊形ABCZ）一定是正方形

5.（2025?鐵西區(qū)模擬）下列命題正確的是（）

A.每條邊都相等的多邊形是正多邊形

B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.過線段中點的直線是線段的垂直平分線

D.三角形的角平分線將三角形的面積分成1：2兩部分

6.（2025?重慶模擬）下列命題中，是真命題的是（）

A.同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行

B.對頂角相等

C.如果|旬=|例，那么a=6

D.三角形的一個外角大于任意一個內角

7.（2025?潮陽區(qū)一模）要說明命題”兩個數相加，和一定大于其中一個加數”是假命題，能夠作為反例

的是（）

A.1+3=4B.-1+3=2

C.0+3=3D.-1+（-3）=-4

8.（2025?寧波模擬）將函數y=|（x>0）的圖象繞原點。逆時針旋轉45°得到圖象C,在圖象C上任取

兩點（xi,yi）,（%2,>2）,下列命題：①若無1+無2=0,則yi="；②若yi>”，則比>2%；③若無1<

x2<0,則yi>>2.其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

9.（2025?大連一模）下列命題中，是真命題的是（）

A.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

B.過一點有無數條直線與已知直線平行

C.在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行

D.直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到直線的距離

10.（2025?南寧模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,AC=BC=2,P是AC上的動點，點C與點C'

關于尸8對稱，當點P從點C到點A的運動過程中C'的運動路徑長是（）

A.nB.2TCC.4V2D.4

二.填空題（共5小題）

11.（2025?烏魯木齊一模）如圖，48是。。的直徑，M,N是貓（異于A、B）上兩點，C是而上一動

點，ZACB的角平分線交。。于點D,ABAC的平分線交CD于點E.當點C從點M運動到點N時,

則C、E兩點的運動路徑長的比是.

12.（2025?岳麓區(qū)校級一模）有黑、白各6張卡片，分別寫有數字1至6,把它們像撲克牌那樣洗過后，

數字朝下，如圖排成兩行，排列規(guī)則如下：

①從左至右，按數字從小到大的順序排列；

②黑、白卡片數字相同時，黑卡片放在左邊.

將第一行卡片用大寫英文字母按順序標注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標注，則標注字母e的卡

片寫有數字.

ABCDEF

第一行：

第二行：

abcdef

13.（2025?涼州區(qū)校級模擬）如圖，等邊△ABC內接于。。，BC=6,。為弧AC上一動點，過點B作射

線。O的垂線，垂足為E.當點。由點C沿運動到點A時，點E的運動路徑長為.

14.（2025?管城區(qū)一模）舉出一個可以說明命題“若a2=b2,則a=b,t是假命題的反

例：.

15.（2025?長沙一模）四人分別姓張、李、高和陳，他們每人各任一個職務，四個職位是班長、學習委員、

體育委員和勞動委員，已知：

（1）體育委員下圍棋很厲害，班長和姓李的同學都不是他的對手；

(2)班長主持班會的時候，學習委員和姓張的同學都舉手提了些建議；

(3)學習委員分別給班長和姓李的同學輔導過功課；

(4)體育委員參加籃球賽時，班長和姓高的同學一起為他助威.

根據以上信息，可以推斷勞動委員姓.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?石家莊模擬)如圖1筒車是我國古代利用水利驅動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水

筒.如圖2,筒車。。按逆時針方向轉動，與水面分別交于A、B,且48=4百小，筒車的軸心。距離

水面的高度OC長為2/77.

圖1圖2

(1)求筒車的半徑；

(2)盛水桶尸從剛浮出水面繞到離水面最高點時，求它走過的路徑長.

17.(2025?江北區(qū)模擬)如圖，在RtaABC中，NB=90°,AD平分NA4C.小智在剛學完“三角形全

等的判定”這節(jié)課后，老師給出了一個富有挑戰(zhàn)性的題目，利用所學知識推導出△A3。和△AC。面積

的比值與邊AB和AC長度的比值之間的關系.經過小組討論他們的總體思路是控制變量法，即過點D

作AC的垂線，垂足為點E,再根據三角形全等來證明△A3。和△ACD的高相等，從而得到結論，請根

據小智他們的思路完成以下作圖與填空：

(1)尺規(guī)作圖：過點。作AC的垂線，交AC于點E(不寫作法，保留作圖痕跡).

(2)證明：平分NBAC,

???①.

:DELAC,

ZAED=ZB=9Q°.

又②，

：.(AAS).

S^ABD=^AB,DB,S^ACD=^AC'DE,

.S^ABD_AB

SAACDAC

小智他們再進一步研究發(fā)現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論.請

你依照題意完成下面命題：

如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對

應的兩邊長度的比值④.

18.（2024?沙坪壩區(qū)校級三模）學習了平行四邊形的知識后，同學們進行了拓展性研究.他們發(fā)現作平行

四邊形一組對角的角平分線與另一組對角的頂點所連對角線相交，則這兩個交點與這條對角線兩側的對

角頂點的連線所圍成的封閉圖形是一個特殊四邊形.他的解決思路是通過證明對應線段平行且相等得出

結論.請根據她的思路完成以下作圖和填空：

用直尺和圓規(guī)，過點B作NABC的角平分線，交AC于點凡連接8￡、。足（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形A8CZ）是平行四邊形，AC是對角線，OE平分NAZJC,交AC于點E.求證：四邊

形2瓦不是平行四邊形.

證明：???四邊形A8CO是平行四邊形，

：.AD^CB,①,

：.ZDAC^ZBCA.

E平分/AOC,2尸平分NCBA,

11

/ADE=工/.ADC,NCBF=*/.ABC.

'：ZADC=ZCBA,

：.(ASA).

:.DE=BF,/DEA=/BFC.

四邊形BEDF是平行四邊形.

同學們再進一步研究發(fā)現，過平行四邊形任意一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相

交，均具有此特征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，則

④.

我們解決某些數學題的時候，經常會遇到題目中的條件比較含糊，它們常常巧妙地隱蔽在題設的背后，

不易被發(fā)現和運用，導致我們解題受阻，因此，挖掘題設中的隱含條件，應該成為我們必備的一種能力.請

閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現隱含條件，并依次解決所給的問題.

化簡：(—1—5a)2—11—a|.

解：由題意可知隱含條件1-5心0,解得：a<1,

1-a>0,

1—5a)2—11—a|=1—5a—(1—a)——1—5a—1+a=-4a.

啟發(fā)應用：

(1)按照上面的解法，化簡：—5乃一(V3—771)2;

類比遷移：

(2)己知△ABC的三邊長分別為(《)2,J.+y)2,(行二三)2,請求出△ABC的周長.(用含有x、y

的代數式表示，結果要求化簡)

拓展延伸：

(3)若(V^^)2+J(久_7)2=3,請直接寫出尤的取值范圍.

20.(2024?重慶二模)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分N8AC.小明在剛學完“三角形全等

的判定”這節(jié)課后，想利用所學知識，推導出△ABD和△AC。面積的比值與ABAC兩邊比值的關系.他

的思路是：過點。作AC的垂線，垂足為點H,再根據三角形全等來證明△A3。和△ACD的高相等，

進一步得到△A3。和△AC。的面積之比等于N54C的兩鄰邊邊長之比.請根據小明的思路完成以下作

圖與填空：

(1)尺規(guī)作圖：過點D作AC的垂線，垂足為點X(保留作圖痕跡，不寫作法，要下結論).

(2)證明：9：DHLAC,

：.ZAHD=90°=NB

9：AD平分NBA。，

在△A3。和△AH。中，

'/B=NAHD

?4BAD=4HAD

<()

AABD^AAHD(AAs).

：.BD=DH.

1

,S—BO=2"8,BD9

1

s“cD~,DH,

?S^ABD_

S^ACD

小明再進一步研究發(fā)現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論.請你

依照題意完成下面命題：如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那

么.

A

BC

D

2025年中考數學三輪復習之命題與證明

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案BDCCBBDDCA

選擇題（共10小題）

1.（2025?九龍坡區(qū)校級模擬）下列關于命題的說法中，正確的是（）

A.到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上

B.平行四邊形是中心對稱圖形

C.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

D.最小的有理數是0

【考點】命題與定理；中心對稱圖形；有理數；角平分線的性質；垂徑定理.

【專題】平移、旋轉與對稱；圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】B

【分析】根據角平分線的判定、中心對稱圖形、垂徑定理的推論、有理數的概念判斷即可.

【解答】解：A、在角的內部，到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，故本選項說法錯誤，

不符合題意；

8、平行四邊形是中心對稱圖形，說法正確，符合題意；

C、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故本選項說法錯誤，不符合題意；

。、沒有最小的有理數，故本選項說法錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關

鍵是要熟悉課本中的性質定理.

2.（2025?方山縣一模）“趙爽弦圖”是第24屆國際數學家大會的會徽圖案，源于趙爽所著的《勾股圓方

圖注》.趙爽運用弦圖（如圖所示）巧妙地證明了勾股定理，他所用的方法是（）

A.分析法B.相似法C.反證法D.等面積法

【考點】反證法；勾股定理的證明.

【專題】幾何圖形；運算能力.

【答案】D

【分析】根據大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個直角三角形的面積，即可證明勾股定理.

a)2=4x5ab，

整理得/+房=02,

???他所用的方法是等面積法,

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的證明，正確進行計算是解題關鍵.

3.（2025?常州模擬）如圖，在△ABC中，ZC=90°,ZBAC=45°，AB=2,8c邊上有一動點D,作

點5關于直線A0的對稱點當點。從點6運動到點。時，點E的運動路徑長為（）

71V27T

A.-B.——C.nD.V2TT

22

【考點】軌跡；軸對稱的性質；勾股定理；等腰直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；與圓有關的計算；運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】延長到點凡FC=BC,連接ARAE,由NC=90°,ZBAC=45°,得AC垂直平分

BF,ZABF=ZBAC=45°,貝l]AF=AB=2,ZAFB=ZABF=45°,所以/8A尸=90°,由點E與點

2關于直線4。對稱，得A￡=AB=2,可知點E的運動路徑長為以A為圓心，半徑長為2,且圓心角為

90°的辦的長，根據弧長公式求得/存=m于是得到問題的答案.

【解答】解：延長BC到點R使PC=BC,連接AF、AE,

VZC=90a,ZBAC=45°,AB=2,

；.AC垂直平分ZABF^ZBAC^45°,

：.AF^AB=2,ZAFB^ZABF^45°,

.?.NBA尸=180°-ZAFB-ZABF^90°,

:點E與點B關于直線AD對稱，

AO垂直平分BE,

：.AE=AB=2,

...點E在以A為圓心，半徑長為2的圓弧上運動，

:當點。與點8重合時，則點E與點8重合；當點。與點C重合時，則點E與點/重合，

.?.點E的運動路徑為長以A為圓心，半徑長為2,且圓心角為90°的齊的長，

.,_907rx2_

??l§p=1go=m

F

【點評】此題重點考查等腰直角三角形的性質、軸對稱的性質、弧長公式、軌跡問題的求解等知識與方

法，正確地作出輔助線是解是的關鍵.

4.（2025?閔行區(qū)模擬）已知在四邊形ABC。中，AD//BC,對角線AC、BD交于點O,且AC=B。，下列

四個命題中真命題是（）

A.若A8=CD,則四邊形ABC。一定是等腰梯形

B.若/DBC=/ACB,則四邊形ABC。一定是等腰梯形

C.若空=半，則四邊形A8CD一定是矩形

OB0D

D.若ACJ_8D且4。=。。，則四邊形ABCD一定是正方形

【考點】命題與定理.

【專題】幾何圖形.

【答案】C

【分析】根據等腰梯形、矩形、正方形的判定判斷即可.

【解答】解：A、在四邊形A8C。中，AD//BC,對角線AC、BD交于點、O,S.AC=BD,若AB=CD,

則四邊形A3CD可能是矩形，錯誤；

B、在四邊形ABCZ）中，AD//BC,對角線AC、8。交于點。，S.AC^BD,若NDBC=NACB,則四

邊形ABC?？赡苁钦叫?，錯誤；

AOCO

C、在四邊形A8CD中，AD//BC,對角線AC、BD交于點、O,S.AC=BD,若布=—,則四邊形A2CD

一定是矩形，正確；

D、在四邊形ABCZ）中，AD//BC,對角線AC、3。交于點。，且AC=B。，若AC_L2￡）且40=0。，

則四邊形A8CO可能是等腰梯形，錯誤；

故選：C.

【點評】此題考查命題與定理，關鍵是根據等腰梯形、矩形、正方形的判定解答.

5.（2025?鐵西區(qū)模擬）下列命題正確的是（）

A.每條邊都相等的多邊形是正多邊形

B.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

C.過線段中點的直線是線段的垂直平分線

D.三角形的角平分線將三角形的面積分成1：2兩部分

【考點】命題與定理；三角形的面積；平行四邊形的判定與性質；正多邊形和圓.

【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據各個選項中的說法可以判斷是否正確，從而可以判斷哪個選項符合題意.

【解答】解：每條邊都相等，每個內角都相等的多邊形是正多邊形，每條邊都相等的多邊形不一定是正

多邊形，如菱形不是正四邊形，故選項A錯誤，不符合題意；

對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故選項8正確，符合題意；

過線段中點且垂直于這條線段的直線是線段的垂直平分線，故選項c錯誤，不符合題意；

三角形的角平分線將三角形的面積分成1：2兩部分是錯的，如△ABC的邊A8=6,AC=4,平分/

BAC,則AO將△ABC分出來的兩個三角形的面積比為3：2,故選項。錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查命題與定理、三角形的面積、角平分線的性質、平行四邊形的判定、正多邊形的定義，

解答本題的關鍵是明確題意，可以判斷選項中的命題是否正確.

6.（2025?重慶模擬）下列命題中，是真命題的是（）

A.同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線平行

B.對頂角相等

C.如果⑷=|6],那么a—b

D.三角形的一個外角大于任意一個內角

【考點】命題與定理；平行公理及推論；平行線的性質；三角形內角和定理；三角形的外角性質.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】根據平行公理、對頂角相等、絕對值的性質、三角形的外角性質判斷即可.

【解答】解：A、同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項命題是假命

題，不符合題意；

8、對頂角相等，是真命題，符合題意；

C、如果⑷=|可，那么a=±b,故本選項命題是假命題，不符合題意；

。、三角形的一個外角大于和它不相鄰的任意一個內角，故本選項命題是假命題，不符合題意；

故選：B.

【點評】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關

鍵是要熟悉課本中的性質定理.

7.（2025?潮陽區(qū)一模）要說明命題”兩個數相加，和一定大于其中一個加數”是假命題，能夠作為反例

的是（）

A.1+3=4B.-1+3=2

C.0+3=3D.-1+（-3）=-4

【考點】命題與定理；有理數的加法.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】D

【分析】根據加法法則知識進行判斷即可.

【解答】解：兩個負數相加，和一定小于其中一個加數，如-1+（-3）=-4,

故選：D.

【點評】此題考查了命題與定理、加法法則等知識，熟練掌握加法法則是解題的關鍵.

8.（2025?寧波模擬）將函數y=］（x>0）的圖象繞原點。逆時針旋轉45°得到圖象C,在圖象C上任取

兩點（xi,yi）,（X2,>2）,下列命題：①若尤1+%2=0,則yi=y2；②若yi>”，則無>2%；③若無1<

%2<0,則yi>>2.其中正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【考點】命題與定理；坐標與圖形變化-旋轉；反比例函數圖象上點的坐標特征.

【專題】反比例函數及其應用；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】D

【分析】先根據反比例函數的對稱性和旋轉性質得到圖象C關于y軸對稱，根據軸對稱性質可判斷①；

根據圖象C與y軸交于點（0,2）,yi>”，利用不等式的性質可判斷②；根據圖象C的增減性可判斷

③，進而可得答案.

【解答】解：：反比例函數的圖象關于直線y=x對稱，且過點（魚，V2）

圖象C關于y軸對稱，圖象C與y軸交于點（0,2）,

...當xi+x2=0時，故命題①正確.

:圖象C與y軸交于點（0,2）,V1>J2.

；.yi>y222.

.'.y^>y1y2>2y2>即無>2%，故命題②正確.

:在圖象C上，當尤<0時，y隨x的增大而減小，

...當xi<x2<0時，yi>yi.即命題③正確.

綜上，正確的是①②③，

故選：D.

【點評】本題考查反比例函數的性質、旋轉性質、軸對稱性、不等式性質，利用數形結合思想求解是解

答的關鍵.

9.（2025?大連一模）下列命題中，是真命題的是（）

A.兩條直線被第三條直線所截，同位角相等

B.過一點有無數條直線與已知直線平行

C.在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行

D.直線外一點到這條直線的垂線段叫做這點到直線的距離

【考點】命題與定理；對頂角、鄰補角；點到直線的距離；同位角、內錯角、同旁內角；平行公理及推

論；平行線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】C

【分析】根據平行線的性質、平行公理的推論、平行線的判定、點到直線的距離的定義判斷即可.

【解答】解：A、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故本選項命題是假命題，不符合題意；

8、過一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本選項命題是假命題，不符合題意；

C、在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線平行，是真命題，符合題意；

。、直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，故本選項命題是假命題，不符合

題意；

故選：C.

【點評】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關

鍵是要熟悉課本中的性質定理.

10.（2025?南寧模擬）如圖，在中，NC=90°,AC=BC=2,尸是AC上的動點，點C與點C'

關于PB對稱，當點P從點C到點A的運動過程中C,的運動路徑長是（）

A

c*\\

P

B

A.JTB.2TIc.4V2D.4

【考點】軌跡；軸對稱的性質；勾股定理；等腰直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】A

【分析】根據對稱性分析得出長度固定，當點P與點C重合時，。與點C重合，當點P與點A重

合時，。與點。重合，可得點。的運動路徑是以8為圓心，8c為半徑的弧CZ）的長，再求出圓心角和

半徑，根據弧長公式計算即可.

【解答】解：,??點C與點。關于PB對稱,

：.BC=BC,

長度固定,

.?.8C長度固定,

當點尸與點C重合時，。與點C重合,

當點尸與點A重合時，。與點。重合,

.?.點。的運動路徑是以8為圓心，BC為半徑的弧。的長,

VZC=90°,AC=BC=2,

ZABC=45°,

AZCB￡>=90°,

...運動路徑長為：'潸=兀，

故選：A.

【點評】本題考查了弧長公式，等腰直角三角形的性質，對稱性質，解題的關鍵是得出點。的運動路

徑.

填空題（共5小題）

11.（2025?烏魯木齊一模）如圖，48是。。的直徑，M,N是熊（異于A、B）上兩點，C是而上一動

點，NACB的角平分線交O。于點NBAC的平分線交CD于點E.當點C從點M運動到點N時,

則C、E兩點的運動路徑長的比是

D

【考點】軌跡；圓周角定理.

【專題】推理填空題；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力.

【答案】V2.

【分析】連接即，設。A=r,作等腰直角三角形A。"AD=DB,ZADB=90°,則點E在以。為圓

心D4為半徑的弧上運動，運動軌跡是彈，點C的運動軌跡是血，由題意/A/ON=2/GDF,設NGDF

=a,則/MON=2a,利用弧長公式計算即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接即，設。4=r,

,：AB是OO的直徑，

AZACB=90°,

VZACB的角平分線交。。于點D,ABAC的平分線交CD于點E.

是△ACB的內心，

ZA￡B=135",

作等腰直角三角形A。'AD=DB,ZADB=90°,

則點E在以D為圓心DA為半徑的弧上運動，運動軌跡是存，

點C的運動軌跡是立由題意/MON=2/GOF,

設/GDF=a,則/M0N=2a,

2aX7i"Xr

弧MN的長度：弧GF的長度=18。=V2.

aXTTXj2r

-180-

故答案為：V2.

【點評】本題考查了軌跡，圓周角定理，弧長公式，解決本題的關鍵是掌握與圓有關的性質.

12.（2025?岳麓區(qū)校級一模）有黑、白各6張卡片，分別寫有數字1至6,把它們像撲克牌那樣洗過后，

數字朝下，如圖排成兩行，排列規(guī)則如下：

①從左至右，按數字從小到大的順序排列；

②黑、白卡片數字相同時，黑卡片放在左邊.

將第一行卡片用大寫英文字母按順序標注，第二行卡片用小寫英文字母按順序標注，則標注字母e的卡

片寫有數字4.

ABCDEF

第一行：

第二行：

abcdef

【考點】推理與論證.

【專題】證明題；推理能力.

【答案】4.

【分析】根據排列規(guī)則依次確定白1,白2,白3,白4的位置，即可得出答案.

【解答】解：第一行中8與第二行中c肯定有一張為白1,若第二行中。為白1,則左邊不可能有2張

黑卡片，

白卡片數字1擺在了標注字母B的位置，

???黑卡片數字1擺在了標注字母A的位置,；

第一行中C與第二行中?？隙ㄓ幸粡垶榘?,若第二行中。為白2,則a,b只能是黑1,黑2,而A為

黑1,矛盾，

.,.第一行中C為白2；

第一行中尸與第二行中c肯定有一張為白3,若第一行中尸為白3,則。，E只能是黑2,黑3,此時黑

2在白2右邊，與規(guī)則②矛盾，

.,.第二行中c為白3,

.,.第二行中a為黑2,b為黑3；

第一行中尸與第二行中e肯定有一張為白4,若第一行中尸為白4,則。，E只能是黑3,黑4,與b

為黑3矛盾，

.,.第二行中e為白4.

故答案為：4.

【點評】本題考查了推論與論證，圖形類規(guī)律探索，解題的關鍵是理解題意，根據所給規(guī)則依次確定出

白1,白2,白3,白4的位置.

13.（2025?涼州區(qū)校級模擬）如圖，等邊△ABC內接于。。，BC=6,。為弧AC上一動點，過點8作射

線DO的垂線，垂足為E.當點D由點C沿運動到點A時，點E的運動路徑長為—.

3

【考點】軌跡；等邊三角形的性質；三角形的外接圓與外心.

【專題】三角形；與圓有關的計算.

【答案】浮

【分析】連接B。，過點。作。于點凡在尸中，根據含30度角的直角三角形的性質，

勾股定理即可求出圓的半徑，然后取8。的中點G,連接EG,OC,OA,貝1]6￡=帝8。=百，延長C。

交OG于點H,根據NCOD=NE。/，得出E點在OG上運動了120。，進而根據弧長公式進行計算即

可求解.

【解答】解：如圖所示，連接8。，過點。作。于點尸，

1

則BF=^BC=3,

?/△ABC為等邊三角形，

1

AZFBO=^ZABC=30°,

：.OB=2同取2。的中點G,

連接EG,OC,OA,

-1

貝ijGE=^BO=V3,

■:/BEO=9G°,

在OG上運動，

'：AC^AC,

：.ZCOA=2ZABC^120°,

延長CO交OG于點H,

,：ZCOD=ZEOH,

當點。由點C沿衣運動到點A時，E點在OG上運動了120°,

120X7TXV32V3

點E的運動路徑長為

180

【點評】本題考查了等邊三角形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，垂徑定理，直角

所對的弦是直徑，求弧長，熟練掌握以上知識是解題的關鍵.

14.（2025?管城區(qū)一模）舉出一個可以說明命題''若/=廿，則。=匕”是假命題的反例：。=3,5=-3

（答案不唯一）.

【考點】命題與定理.

【專題】證明題；推理能力.

【答案】a=3,b=-3（答案不唯一）.

【分析】a=3,b=-3,則32=（-3）2,3W-3,滿足/=廬，不滿足a=6.

【解答】解：舉出。=3,b=-3代入驗證可得：

32=（-3）2,3W-3,滿足/=必，不滿足

故命題“若『=必，則。=〃，是假命題，

故答案為：。=3,b=-3(答案不唯一).

【點評】本題考查了命題與定理掌握相關知識是解題的關鍵.

15.(2025?長沙一模)四人分別姓張、李、高和陳，他們每人各任一個職務，四個職位是班長、學習委員、

體育委員和勞動委員，已知：

(1)體育委員下圍棋很厲害，班長和姓李的同學都不是他的對手；

(2)班長主持班會的時候，學習委員和姓張的同學都舉手提了些建議；

(3)學習委員分別給班長和姓李的同學輔導過功課；

(4)體育委員參加籃球賽時，班長和姓高的同學一起為他助威.

根據以上信息，可以推斷勞動委員姓李.

【考點】推理與論證.

【專題】推理能力.

【答案】李.

【分析】根據題干中的四條信息分析作答.

【解答】解：本題中“班長與姓李的同學都不是他的對手”意味著體育委員和班長不姓李；“學習委員

和姓張的同學都舉手提了些建議”意味著出班長和學習委員不姓張；“學習委員分別給班長和姓李的同

學輔導過功課”意味著班長和學習委員不姓李；“體育委員參加籃球賽時，班長和姓高的同學一起為他

助威”這表明體育委員和班長不姓高.

班長不姓李、張、高，所以班長姓陳；體育委員不姓李、高，也不能姓陳，所以體育委員姓張；剩余李

和高姓，因為學習委員不姓李，所以學習委員姓高，勞動委員姓李.

故答案為：李.

【點評】本題考查推理論證，演繹是一種由一般到個別的推理方法.在演繹推理過程中，前提和結論之

間的聯系是必然的，結論不能超出前提所斷定的范圍.對于一個正確的演繹推理過程，如果其前提是真

的，則所得到的結論也一定是真的，這是演繹推理的一個重要特征.

三.解答題(共5小題)

16.(2025?石家莊模擬)如圖1筒車是我國古代利用水利驅動的灌溉工具，筒車上均勻分布著若干個盛水

筒.如圖2,筒車。。按逆時針方向轉動，與水面分別交于A、B,且43=4百小，筒車的軸心。距離

水面的高度OC長為2m.

G

aP水面

圖14圖2

(1)求筒車。。的半徑；

(2)盛水桶尸從剛浮出水面繞到離水面最高點時，求它走過的路徑長.

【考點】軌跡；垂徑定理的應用.

【專題】圓的有關概念及性質；推理能力.

【答案】(1)筒車。。的半徑為4加；

8

(2)-TTm.

3

【分析】(1)連接根據勾股定理即可解決問題

(2)利用銳角三角函數求出/CO4=60°,再根據弧長公式即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖，連接04,

(I、、J。水面

圖1圖2

'：AB=4V3,OCLAB,

：.AC=2V3,

在RtZXACO中，0C=2,AO2=OC2+AC2,

：,A0=J22+(2舊/=4,

答：筒車。。的半徑為4%；

(2)由(1)可得加714。4=差=百，

：.ZCOA=60°,

盛水桶P從剛浮出水面繞到離水面最高點時，它走過的路徑長為竺上絲兀x4=-Tim.

1803

【點評】本題考查軌跡，垂徑定理的應用，解決本題的關鍵是掌握垂徑定理.

17.(2025?江北區(qū)模擬)如圖，在RtZ\ABC中，ZB=90°,平分NA4c.小智在剛學完“三角形全

等的判定”這節(jié)課后，老師給出了一個富有挑戰(zhàn)性的題目，利用所學知識推導出△A3。和△AC。面積

的比值與邊48和AC長度的比值之間的關系.經過小組討論他們的總體思路是控制變量法，即過點D

作AC的垂線，垂足為點E,再根據三角形全等來證明△A3。和△AC￡?的高相等，從而得到結論，請根

據小智他們的思路完成以下作圖與填空：

(1)尺規(guī)作圖：過點。作AC的垂線，交AC于點E(不寫作法，保留作圖痕跡).

(2)證明：平分NBAC,

①/CAD=/BAD.

■:DELAC,

：.ZAED^ZB^90°.

又②>￡>=>￡>,

：.AABD^AAED(AAS).

.,.③DE=BD.

S^ABD=^AB,DB,S^ACD=^AC'DE,

,S-4BD_AB

S&ACDAC

小智他們再進一步研究發(fā)現,只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形,均有此結論.請

你依照題意完成下面命題：

如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對

應的兩邊長度的比值④相等.

【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；作圖一復雜作圖.

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；尺規(guī)作圖；推理能力.

【答案】ZCAD^ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【分析】（1）以。為圓心畫弧交AC于M、N,作線段的垂直平分線交AC于E；

（2）判定△A3。g△AE。（AAS）,推出DE=BD,由三角形面積公式推出包迺=",由以上證明

St,ACDAC

即可得到結論.

【解答】（1）解:如圖所示：DE1AC；

（2）證明：平分NA4C,

：.ZCAD^ZBAD,

'：DE±AC,

：.ZAED=ZB=90°,

5LAD=AD,

：.AABD^AAED（AAS）.

:.DE=BD.

Sabd

SAABD=^AB'DB,S^ACD^^AC'DE,,\^.

22SAACDAC

小智他們再進一步研究發(fā)現，只要一個三角形被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，均有此結論,

如果一個三角形滿足被其任意一內角角平分線分為兩個三角形，那么這兩個三角形面積的比值與該角對

應的兩邊長度的比值相等.

故答案為：ZCAD=ZBAD,AD=AD,DE=BD,相等.

【點評】本題考查命題與定理，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，作圖-復制作圖，關鍵是

掌握尺規(guī)作圖：過直線外一點作已知直線的方法，判定△A3。g△AED（AAS）,推出

18.（2024?沙坪壩區(qū)校級三模）學習了平行四邊形的知識后，同學們進行了拓展性研究.他們發(fā)現作平行

四邊形一組對角的角平分線與另一組對角的頂點所連對角線相交，則這兩個交點與這條對角線兩側的對

角頂點的連線所圍成的封閉圖形是一個特殊四邊形.他的解決思路是通過證明對應線段平行且相等得出

結論.請根據她的思路完成以下作圖和填空：

用直尺和圓規(guī)，過點2作/ABC的角平分線，交AC于點R連接BE、DF.（只保留作圖痕跡）

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AC是對角線，ZJE平分/AZJC,交AC于點E.求證：四邊

形BEDE是平行四邊形.

證明：：四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD=CB,①D=〃8C,

：.ZDAC=ZBCA.

;平分NAOC,3斤平分NCBA,

11

^ADE=W"DC,/CBF=|UBC.

'：ZADC^ZCBA,

：.②/ADE=NCBF,

.MADE咨ACBF(ASA).

:.DE=BF,NDEA=NBFC.

：.③NDEA=/BFC,

四邊形BED尸是平行四邊形.

同學們再進一步研究發(fā)現，過平行四邊形任意一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相

交，均具有此特征.請你依照題意完成下面命題：

過平行四邊形一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，則④這兩個交點與這條對

角線兩側的對角頂點的連線所圍成的四邊形是平行四邊形.

【考點】命題與定理；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；平行四邊形的判定與性質；作圖一

復雜作圖.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】利用基本作圖作/ABC的平分線得到BR再利用平行四邊形的性質得到AD=C8,AD//BC,

所以/ZMC=/8CA,接著根據角平分線的定義可證明NADC=/CA4,于是可判斷?則

DE=BF,ZDEA=ZBFC.然后證明從而得到四邊形8EDF是平行四邊形.類比方法可得

到過平行四邊形一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，則這兩個交點與這條對角

線兩側的對角頂點的連線所圍成的四邊形是平行四邊形.

【解答】證明：如圖，

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AD=CB,AD//BC,

：.ZDAC=ZBCA.

￡平分NAOC,BF平分NCBA,

11

^ADE=W/.ADC,NCBF=|UBC.

ZADC^ZCBA,

：.NADE=ZCBF,

.MADE咨ACBF(ASA).

:.DE=BF,NDEA=NBFC.

：.DE//BF,

...四邊形BED尸是平行四邊形.

一般地，過平行四邊形一組對角的頂點作平行線與另一組對角頂點所連對角線相交，則這兩個交點與這

條對角線兩側的對角頂點的連線所圍成的四邊形是平行四邊形.

故答案為：AD//BC,ZADE=ZCBF,ZDEA=ZBFC；這兩個交點與這條對角線兩側的對角頂點的

連線所圍成的四邊形是平行四邊形.

【點評】本題考查了命題：要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證.也考查了平行四邊形的判

定與性質、全等三角形的判定與性質.

19.(2024?定海區(qū)三模)閱讀理解：

我們解決某些數學題的時候，經常會遇到題目中的條件比較含糊，它們常常巧妙地隱蔽在題設的背后,

不易被發(fā)現和運用，導致我們解題受阻，因此，挖掘題設中的隱含條件，應該成為我們必備的一種能力.請

閱讀下面的解題過程，體會如何發(fā)現隱含條件，并依次解決所給的問題.

化簡：(A/1-5a)2—11-a|.

解：由題意可知隱含條件1-5aN0,解得：a<±

1-a>0.

(V1—5CL)—11—d\——1—5a—(1—a)——1—5a—1+a=-4a.

啟發(fā)應用：

(1)按照上面的解法，化簡：-5尸-(V^F)2;

類比遷移：

(2)己知△ABC的三邊長分別為(?)2,J(>+y)2,請求出△人與。的周長.(用含有了、y

的代數式表示，結果要求化簡)

拓展延伸：

(3)若(ST。)？+J(x—7尸=3,請直接寫出尤的取值范圍.

【考點】命題與定理；二次根式的性質與化簡；二次根式的乘除法；不等式的性質.

【專題】二次根式；運算能力.

【答案】(1)2；

(2)x+2y；

(3)4OW7.

【分析】(1)先根據二次根式有意義的條件求出機的范圍，再根據二次根式的性質化簡即可；

(2)先根據二次根式有意義的條件求出x、y的范圍，再根據二次根式的性質化簡即可；

(3)先根據二次根式有意義的條件求出尤的范圍，再分類討論，根據二次根式的性質化簡即可.

【解答】解：(1)由題意可知隱含條件3-解得：根W3,

m-5<0,

y/(m—5)2—(V3—m)2—5—m—(3—m)—5—m—3+m=2,

(2)由題意可知隱含條件xNO,y-x^O,解得：尤>0,y^x,

.,.x+y^0,

(V%)2+J(x+y)2+(Jy—「)2=x+x+y+y-x=x+2y,

：.△ABC的周長為x+2y；

(3)由題意可知隱含條件x-420,解得：尤24,

當4Wx<7時，X-7W0,

則(V%-4)2+J(久-7尸=%—4+7-%=3,符合題意，

當x>7時，x-7>0,

貝!—4產+J(久一7尸=久一4+久一7=2%—11,不符合題意,

綜上所述，尤的取值范圍為4WxW7.

【點評】本題考查了二次根式的性質和二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的性質和二次根式有

意義的條件是解題的關鍵.

20.(2024?重慶二模)如圖，在RtAABC中，ZB=90°,AD平分N8AC.小明在剛學完“三角形全等

的判定”這節(jié)課后，想利用所學知識，推導出△48。和△AC。面積的比值與ABAC兩邊比值的關系.他

的思路是：過點。作AC的垂線，垂足為點再根據三角形全等來證明△A3。和△ACD的高相等，

進一步得到△A3。和△AC。的面積之比等于/8AC的兩鄰邊邊長之比.請根據小明的思路完成以下作

圖與填空：

(1)尺規(guī)作圖：過點。作AC的垂線，垂足為點“(保留作圖痕跡，不寫作法，要下結論).

(2)證明：'：DH±AC,

：.ZAHD=90°=NB

平分/BAC,

NBAD=/HAD.

在△ABD和△A