2025浙江中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)：二次根式（含答案詳解）

專題04二次根式

考情聚焦

課標要求考點考向

1.掌握二次根式有意義的條件和基本性質(zhì)（/）2=a（aN0）.考向一二次根式概念及性

2.能用二次根式的性質(zhì)聲=|a|來化簡根式.質(zhì)

考向二二次根式計算化簡

3.能識別最簡二次根式、同類二次根式.二次根式

求值

4.能根據(jù)運算法則進行二次根式的加減乘除運算以及混合

運算.考向三二次根式綜合應(yīng)用

真題透視A

考點二次根式

A考向一二次根式概念及性質(zhì)

1.（2023?金華）要使《工有意義，則x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式，解不等式求出x的范圍，判斷即可.

【解答】解：由題意得：尤-220,

解得：尤22,

則x的值可以是2,

故選：D.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?寧波）二次根式中字母x的取值范圍是（）

A.x>2B.無#2C.x22D.xW2

【答案】C

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列不等式求解即可.

【解答】解：由題意得，尤-220,

解得x22.

故選：C.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意

義.

3.（2020?衢州）要使二次根式J啟有意義，則尤的值可以為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可得X-3N0,再解即可.

【解答】解：由題意得：x-320,

解得：工23,

故選：D.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關(guān)鍵是掌握二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù).

22

4.（2000?杭州）已知二次根式J就，/曲，悔，i/a+b,J了中最簡二次根式共有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】判斷一個二次根式是否為最簡二次根式主要方法是根據(jù)最簡二次根式的定義進行，或直觀地觀

察被開方數(shù)的每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2,且被開方數(shù)中不含有分母，被開方數(shù)是多

項式時要先因式分解后再觀察.

【解答】解：22~2V2a,可化簡；

持后哼可化簡；

=Va2*a）可化簡；

所以，本題的最簡二次根式有兩個：忘,7a2+b2;故選私

【點評】根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個條件：

（1）被開方數(shù)不含分母；

（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式.

被開方數(shù)是多項式時，還需將被開方數(shù)進行因式分解，然后再觀察判斷.

5.（2021?麗水）要使式子J言有意義，則x可取的一個數(shù)是4（答案不唯一）.

【答案】4（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出x-320,再求出不等式的解集，最后求出答案即可.

【解答】解：要使式子J啟有意義，必須x-320,

解得：無23,

所以x可取的一個數(shù)是4,

故答案為：4（答案不唯一）.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件和解一元一次不等式，注意：式子?中“20.

6.（2021?衢州）若J二工有意義，則。的值可以是2（答案不唯一）.（寫出一個即可）

【答案】2（答案不唯一）.

【分析】由題意可得：x-1^0,解不等式即可得出答案.

【解答】解：由題意可得：

x-120,

即在1.

則x的值可以是大于等于1的任意實數(shù).

故答案為：2（答案不唯一）.

【點評】本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練應(yīng)用二次根式有意義的條件進行計算是解決本題

的關(guān)鍵.

7.（2012?杭州）已知?（a-V3）<0,若6=2-a,則6的取值范圍是2-?<6<2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0以及不等式的基本性質(zhì)求出a的取值范圍，然后再求出2-a的范圍即

可得解.

【解答】解：vVa（?-V3）<0,

a-V3<0,

解得o>0且a<百，

：.0<a<\[3,

-V3<-a<Q,

：.2-43<2-a<2,

即2--/3<b<2.

故答案為：2-百<6<2.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，不等式的基本性質(zhì)，先確定出a的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

A考向二二次根式計算化簡求值

1.（2021?杭州）下列計算正確的是（）

A.亞^=2B.J（-2）2=-2

C.*=±2D.1（一2產(chǎn)=±2

【答案】A

【分析】利用二次根式的性質(zhì)值=|2|可知答案.

【解答】解：4*=|2|=2,符合題意；

B.J（-2）2=|-2|=2f不符合題意；

C=|2|=2,不符合題意；

D.q（一2）2=|-2|=2>不符合題意,

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記性質(zhì)進行計算.

2.（2020?杭州）V2XV3=（）

A.V5B.VeC.2V3D.3V2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的乘法運算法則進行運算即可.

【解答】解：近乂如=瓜，

故選：B.

【點評】本題主要考查二次根式的乘法運算法則，關(guān)鍵在于熟練正確的運用運算法則，比較簡單.

3.（2016?杭州）下列各式變形中，正確的是（）

A.B.-^2=|x|

C.（x2--）+尤=x-ID.x2-x+l=（x-—）2+—

x24

【答案】B

【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及同底數(shù)幕的乘法運算法則和分式的混合運算法則分別化簡求出答

案.

【解答】解：A、/?/=2,故此選項錯誤；

B、正確；

C、（?-1）+x=x-1-,故此選項錯誤；

xXx2

D、x2-A+1=（x-—）2+—,故此選項錯誤；

24

故選:B.

【點評】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)以及同底數(shù)幕的乘法運算和分式的混合運算等知識，正確掌握

相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

4.（2012?杭州）已知機=（二巨）X（-2721則有（）

3

A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<-4D.-6<m<-5

【答案】A

【分析】求出機的值，求出2?。╒28）的范圍5<加<6,即可得出選項.

【解答】解：機=（-返）X（-2721），

3

=173X21,

3

=2x377,

3

=2A/7=V28-

vV25<V28<V36,

.'.5<V28<6,

即5<m<6,

故選：A.

【點評】本題考查了二次根式的乘法運算和估計無理數(shù)的大小的應(yīng)用，注意：5<V28<6,題目比較好，

難度不大.

5.（2003?杭州）已知—,b=_」-，則Ja?+b2+7的值為（）

V5-2V5+2v

A.5B.6C.3D.4

【答案】A

【分析】先化簡m6后，再代入代數(shù)式求值.

【解答】解：：a=-j=J—=V5+2,b=-=l—=V5-2，

<5-2V5+2

Va2+b2+7=V（V5+2）2+（V5-2）2+7=5-

故選：A.

【點評】先化簡再代入，是求值題的一般步驟；不化簡，直接代入，雖然能求出結(jié)果，但往往導(dǎo)致繁瑣

的運算.

6.（2005?杭州）若化簡|『x|HX2_8X+16的結(jié)果為2》-5,則x的取值范圍是（）

A.尤為任意實數(shù)B.

C.尤21D.xW4

【答案】B

【分析】根據(jù)完全平方公式先把多項式化簡為11-x|-|x-4|,然后根據(jù)x的取值范圍分別討論，求出符合

題意的x的值即可.

【解答】解：原式可化簡為|1-尤|-|x-4|,

當(dāng)1-xNO,X-4N0時，可得x無解，不符合題意；

當(dāng)l-x>0,X-4W0時，可得xW4時，原式=1-x-4+x=-3；

當(dāng)1-xWO,x-420時，可得x24時，原式=x-1-x+4=3；

當(dāng)1-xWO,x-4W0時，可得時，原式=x-1-4+x=2x-5.

據(jù)以上分析可得當(dāng)1WxW4時，多項式等于2%-5.

故選：B.

【點評】本題主要考查絕對值及二次根式的化簡，要注意正負號的變化，分類討論.

7.（2023?杭州）計算：V2-^8—1y[2_.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接化簡二次根式，再利用二次根式的加減運算法則計算得出答案.

【解答】解：原式=&-2近

=-我.

故答案為：-V2.

【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵.

8.（2010?杭州）先化簡欄-（卷煙-適），再求得它的近似值為5.20（精確至U0.01,-

1.414,73^1.732）.

【答案】見試題解答內(nèi)容

=3?

^3X1.732

-5.196

-5.20

【點評】在根式的解答過程中，經(jīng)常遇到類似本題的題型，在解答此類題型時，化簡時，先把分數(shù)化成

根式形式后，再去解答會比較容易一些.

9.（2004?寧波）已知：a<0,化簡｛4-（di]4+=-2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡.

又?.?二次根式內(nèi)的數(shù)為非負數(shù)

'.a--=0

a

*.a=\或-1

??"V0

??6Z=-1

?，?原式=0-2=-2.

【點評】解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式內(nèi)的數(shù)為非負數(shù)得到〃的值.

10.（1999?杭州）如果a+b+|=477^+27^1-4,那么a+2b-3c=0.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先移項，然后將等號左邊的式子配成兩個完全平方式，從而得到三個非負數(shù)的和為0,根據(jù)非

負數(shù)的性質(zhì)求出。、b.c的值后，再代值計算.

【解答】解：原等式可變形為：

a-2+b+l+Wc-1-11=Wa-2+2Vb+l-5

（o-2）+（b+1）+|Vc<-1|-4\^2-2Vb+l+5=0

（a-2）-4-a-2+4+（6+1）-2Vb+1+1+|Vc-l-l|=0

（7a-2-2）2+（Vb+1_1）2+lVc-l_1|-0；

即：7a-2-2=0,Vb+1-1=0,Vc-l_1=0,

?Wa-2=2,Vb+l=l,7c-l=l,

J.a-2=4,0+1=1,c-1=1,

解得：a=6,b=0,c=2；

，〃+2b-3c=6+0-3X2=0.

【點評】此題較復(fù)雜，能夠發(fā)現(xiàn)所給等式的特點，并能正確地進行配方是解答此題的關(guān)鍵.

11.（1998?杭州）已知JI5+X2H19-X2=2,則419-X2+2A/15+X2=4?

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】用換元法代替兩個帶根號的式子，得出加、〃的關(guān)系式，解方程組求〃7、〃的值即可.

【解答】解：設(shè)m=N15+>2，n=yJ19-x2J

那么7"-w=2①，nr+n2="15+x2）+（V19-X2）=34②.

由①得，"2=2+〃③，

將③代入②得：T^+ln-15=0,

解得：n=-5（舍去）或〃=3,

因此可得出，m=5,n=3（根20,〃20）.

所以719-X2+2115+X2=〃+2%=13.

【點評】本題通過觀察，根號里面未知數(shù)的系數(shù)為相反數(shù)，可通過換元法求解.

2I2

12.（2001?浙江）已知：a=-J，求a八飛_'Va-2a+l的值.

2^3a+22_a

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】首先化簡。=2-然后根據(jù)約分的方法和二次根式的性質(zhì)進行化簡，最后代入計算.

【解答】解：—

2W3

...原式=（a+2）（a-3）業(yè)盧戈_=._3+1

a+2a（a-l）a

=2-V3-3+2+V3=l.

【點評】此題中注意：當(dāng)時，有.（a-l）2=1-

13.（1999?杭州）已知求代數(shù)式蠟號----/'了廠的值.

Vx-VyxVy-yvx

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出x、y的值，然后將所求的代數(shù)式化簡，再代值計算即可.

｛卷解得『

【解答】解:由已知，得:此時y=18；

原式=產(chǎn)廠2xy

Vx7yVxy(Vx-Vv)

X切

Vx-Vy

_(Vx-Vy)2

Vx-Vy

=Vx-Vy

當(dāng)x=8,y=18時，

原式=2&-3近=-

【點評】能夠根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出小y的值，并能正確的將所求的式子化簡是解答此題的關(guān)鍵.

A考向三二次根式綜合應(yīng)用

1.（2003?杭州）對于以下四個命題：①若直角三角形的兩條邊長為3與4,則第三邊的長是5；②（右）

2=a；③若點P（a,b）在第三象限，則點。（-a,-b）在第一象限；④兩邊及其第三邊上的中線對

應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確的說法是（）

A.只有①錯誤，其他正確B.①②錯誤，③④正確

C.①④錯誤，②③正確D.只有④錯誤，其他正確

【答案】A

【分析】①應(yīng)明確邊長為4的邊是直角邊還是斜邊；

②隱含條件a20,根據(jù)二次根式的定義解答；

③根據(jù)每個象限內(nèi)點的符號特點判斷出a、b的符號，再判斷出-a、-b的符號即可；

④用“倍長中線法”可證明兩個三角形全等.

【解答】解：①錯誤，應(yīng)強調(diào)為直角三角形的兩條直角邊長為3與4,則第三邊的長是5；

②正確，隱含條件根據(jù)二次根式的意義，等式成立；

③正確，若點P(a,b)在第三象限，則a<0,b<0；則-a>0,-b>0,點。(-a,-b)在第一象

限；

④正確，作輔助線，倍長中線，可證明兩個三角形全等.

故選：A.

【點評】本題考查了對勾股定理的理解，二次根式的化簡，點的對稱性質(zhì)，全等三角形的判定方法.

2.(2005?臺州)我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即己知三角形的三邊

I2222

長，求它的面積.用現(xiàn)代式子表示即為：S唱段一￡)]“@(其中。、b、c為

三角形的三邊長，s為面積).

而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：

s=4p(p-a)(p-b)(p-c)…②(其中p=a+￡+c.)

(1)若已知三角形的三邊長分別為5,7,8,試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積s；

(2)你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請試試.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)代入計算即可；

(2)需要在括號內(nèi)都乘以4,括號外再乘工，保持等式不變，構(gòu)成完全平方公式，再進行計算.

4

I2222

【解答】解：(1)s=KHX72-(5-+、-*-)]，

=^752(72-11)-|V48=1073；

(5+7+8)=10,

2

又S=410(10-5)(10-7)(10-8)=710X5X3X2=1073；

22222222222222

(2)1r2,2/a+b-c-._1(4ab_(a+b)-2(a+b)*c+(c))

⑵-[ab-(—2)]-4---------------------4----------------

-[c2-(a-b)2][(a+b)2-c2],

=—^(c+a-Z?)(c-a+b)(a+6+c)Ca+b-c),

16

=春(2p-2a)(2p-2b)，2p,(2p-2c),

p(〃-〃)(p-Z?)(p-c)

/222______________________

**?[a2b2-（"~~）]=Vp（p-a）（p-b）（p-c）.

V3乙

（說明：若在整個推導(dǎo)過程中，始終帶根號運算當(dāng)然也正確）

【點評】考查了三角形面積的海倫公式的用法，也培養(yǎng)了學(xué)生的推理和計算能力.

新即特訓(xùn),

1.（2024?余姚市一模）下列計算正確的是（）

.（-3）2=-3B.后=3

C.1（一3）2=±3D.后=±3

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行化簡，從而作出判斷.

【解答】解：A、原式=3,故此選項不符合題意；

B、原式=3,故此選項符合題意；

C、原式=3,故此選項不符合題意；

D、原式=3,故此選項不符合題意.

故選：B.

【點評】本題考查二次根式的性質(zhì)，理解二次根式的性質(zhì)值=13是解題關(guān)鍵.

2.（2024?義烏市二模）二次根式4T§有意義，則實數(shù)x的取值范圍是（）

A.x>3B.x?3C._r》-3D.-3

【答案】C

【分析】直接利用二次根式的定義分析得出答案.

【解答】解：???二次根式心看有意義，

/?x+3^0,

解得：工2-3.

故選：C.

【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式的定義是解題關(guān)鍵.

3.（2024?濱江區(qū)二模）計算：3^j--V27=（）

A.-3V3B.-2V3C.-V3D.V3

【答案】B

【分析】先把算式中的二次根式化為最簡二次根式，然后進行計算即可.

【解答】解：原式=3乂爽-3^

3

=我-3如

=_酮,

故選：B.

［點評】本題主要考查了二次根式的混合運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握如何把二次根式化成最簡二次根式.

4.（2011?杭州模擬）要使代數(shù)式運W有意義，則x應(yīng)滿足（）

x-1

A.xWlB.尤>-2且xWlC.x》-2D.尤》-2且無#1

【答案】D

【分析】代數(shù)式運之有意義的條件為：分母x-1#0且被開方數(shù)x+2>0.即可求出x的范圍.

x-l

【解答】解：根據(jù)題意得：尤-1W0且無+220.解得：工2-2且*/1.

故選：D.

【點評】式子有意義的條件必須同時滿足：分式有意義和二次根式有意義兩個條件.

分式有意義的條件為：分母#0；

二次根式有意義的條件為：被開方數(shù)20.

此類題的易錯點是忽視了二次根式有意義的條件，導(dǎo)致漏解情況.

5.（2024?寧波模擬）在二次根式《2x+4中,x的取值范圍是（）

A.x>-2B.-2C.xW-2D.xW-2

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到2x+420,然后解不等式即可.

【解答】解：??,2x+420,

:?x2-2.

故選：B.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件：五有意義的條件為a》0.

6.（2024?浙江模擬）已知代數(shù)式Va-2023f/2024-a，下列說法不正確的是（）

A.代數(shù)式有最大值

B.代數(shù)式有最小值

C.代數(shù)式值隨。的增大而增大

D.代數(shù)式值不可能為0

【答案】。

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件確定。的范圍，判斷即可.

【解答】解：由題意得：a-2023^0,2024-aNO,

解得：2023WaW2024,

A、當(dāng)a=2024時，代數(shù)式有最大值1,本選項說法正確，不符合題意；

B、當(dāng)a=2023時，代數(shù)式有最小值-1,本選項說法正確，不符合題意；

C、當(dāng)。增大時，Ja-2023增大,42024-a減小,則代數(shù)式值隨。的增大而增大，本選項說法正確，不

符合題意；

D、當(dāng)“a-2023="2024-a，即。=期二時，代數(shù)式值為0,故本選項說法錯誤，符合題意；

2

故選：D.

【點評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵.

7.(2024?蕭山區(qū)一模)下列計算或變形正確的是()

A.2a+3b=6abB.—+-^-=~-—

aba+b

C.Va+Vb-Va+bD.a2,b2=(ab)2

【答案】。

【分析】根據(jù)合并同類項法則、分式的加減、二次根式的加減、單項式乘單項式的運算法則分別計算判

斷即可.

【解答】解：2a與死不是同類項，不能合并，故此選項不符合題意；

B、①電，故此選項不符合題意；

abab

C、Va+Vb7^Va+b＞故此選項不符合題意；

D、a1*b1=(ab)2,故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了合并同類項法則、分式的加減、二次根式的加減、單項式乘單項式，熟練掌握這些

運算法則是解題的關(guān)鍵.

8.(2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級一模)下列運算，結(jié)果正確的是()

A.cr'+c^=2tz3B.(a3)2=a5C.cr'^a=aD.J^=a

【答案】A

【分析】利用合并同類項的法則，塞的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)基的除法法則和二次根式的性質(zhì)

對每個選項進行逐一判斷即可.

【解答】解：'.'a3+a3=2a3,

選項的結(jié)論正確，符合題意；

*/(a3)2=a6,

.?,2選項的結(jié)論不正確，不符合題意；

.?.3a?~a_—2a,

；.c選項的結(jié)論不正確，不符合題意；

?4a2=⑷，

選項的結(jié)論不正確，不符合題意.

故選：A.

【點評】本題主要考查了合并同類項的法則，募的乘方與積的乘方的法則，同底數(shù)嘉的除法法則和二次

根式的性質(zhì)，熟練掌握上述法則與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.（2024?寧波模擬）計算：5a-&=口6_.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)二次根式的運算法則即可求出答案

【解答】解：原式=（5-1）義弧=4泥,

故答案為：46

【點評】本題考查二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

10.（2024?拱墅區(qū)校級二模）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)x的取值范圍是無22.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到x-220,解之即可求出x的取值范圍.

【解答】解：根據(jù)題意得：％-220,

解得：無22.

故答案為：工三2.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義時被開方數(shù)是非負數(shù).

11.（2024?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）二次根式,2x+l有意義的條件是

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)，被開方數(shù)大于等于0,列不等式求解.

【解答】解：根據(jù)二次根式有意義，得：2x+l>0,

解得：X，-1.

2

故答案為X2-2.

2

【點評】本題主要考查二次根式有意義的條件，解答本題的關(guān)鍵是掌握二次根式有意義，則被開方數(shù)不

小于0,此題比較簡單.

12.（2024?浙江模擬）要使二次根式“x-2024有意義,實數(shù)x的取值范圍是G2024.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用二次根式有意義的條件可得尤-202420,進而得出答案.

【解答】解：?.?二次根式/-2024有意義,

-202420,

解得：尤N2024.

故答案為：x22024.

【點評】本題考查了二次根式有意義的條件，掌握被開方數(shù)不小于零的條件是解題的關(guān)鍵.

13.(2023?臨安區(qū)校級模擬)計算我-2患的結(jié)果是

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】原式各項化為最簡二次根式，合并即可得到結(jié)果.

【解答】解：原式=2a-2X，Z

2

=272-72

=我，

故答案為：V2.

【點評】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵.

14.(2024?錢塘區(qū)一模)已知x=l-y=\+42,則/+3xy+/的值為3.

【答案】3.

【分析】根據(jù)二次根式的加法法則、乘法法則分別求出x+y、孫，根據(jù)完全平方公式把所求的式子變形,

代入計算即可.

【解答】解：尸1+血，

'.x+y=(1-V2)+(1+V2)=2,xy=(1-^2)(1+V2)=1-2=-1,

貝！J/+3孫+y2

=x2+2xy+y2+xy

=(%+y)2+xy

=22-l

=3,

故答案為：3.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則是解題的關(guān)鍵.

15.(2024?拱墅區(qū)二模)計算：了X欄+a=」反

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先計算二次根式的乘法，再算加減，即可解答.

【解答】解：，無X患+企

=憫+我

=2a+2加

=4A/2，

故答案為：4A歷.

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵.

16.（2024?浙江模擬）先化簡，再求值：2（aW^）（a-述）-a（a-4）+14,其中-2.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)平方差公式、單項式乘多項式的運算法則、完全平方公式把原式化簡，把。的值代入計算

即可.

【解答】解：原式=2（$-5）-（/-4〃）+14

=2/-10-〃2+4。+14

=/+4〃+4

=（〃+2）2,

當(dāng)。=*\/^-2時，原式=（V6-2+2）2=6.

【點評】本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握平方差公式、單項式乘多項式的運算法則是解題的關(guān)

鍵.

17.（2024?浙江模擬）問題：先化簡，再求值：2。+1@2_]0/25,其中。=3.

小宇和小穎在解答該問題時產(chǎn)生了不同意見，具體如下.

小宇的解答過程如下：

解:24+42-儂+25

=2a+J（a-5）2……（第一步）

—2a+a-5（第二步）

=3a-5.……（第三步）

當(dāng)a—3時，

原式=3X37=4....（第四步）

小穎為驗證小宇的做法是否正確，她將a=3直接代入原式中：

2fl+7a2-10a+25

=6+^32-iQX3+25

=6+2

=8.

由此，小穎認為小宇的解答有錯誤，你認為小宇的解答錯在哪一步？并給出完整正確的解答過程.

【答案】a+5；8.

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)將二次根式進行化簡后，再代入求值即可.

【解答】解：錯在第二步，

原式=2〃+｛（軟—5）2=2〃+|〃-5|,

\'a=3<5,

:.a-5V0,

；?原式=2。+（5-〃）

=a+5,

當(dāng)〃=3時,

原式=3+5

=8.

【點評】本題考查二次根式的化簡與求值，掌握值=間，是正確解答的關(guān)鍵.

18.（2024?杭州一模）以下是小濱計算/適.祗唔的解答過程：

解:原式■喙-加

=巫-/.

小濱的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的解答過程.

【答案】有錯誤.

【分析】先把J五和聆化簡，再患化為巖，接著把除法運算轉(zhuǎn)化為乘法運算，然后根據(jù)二次根式的

乘法法則運算.

【解答】解：小濱的解答過程有錯誤.

正確的解答過程為：原式=2我+1

V22

=2百義6-逅

2

=2>/6-返.

2

【點評】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解

決問題的關(guān)鍵.

19.（2023?舟山一模）觀察下列各式:

(1)請觀察規(guī)律，并寫出第④個等式:

(2)請用含"521）的式子寫出你猜想的規(guī)律:(n+1)

n+2—

(3)請證明（2）中的結(jié)論.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）認真觀察題中所給的式子，得出其規(guī)律并根據(jù)規(guī)律寫出第④個等式;

（2）根據(jù)規(guī)律寫出含"的式子即可;

（3）結(jié)合二次根式的性質(zhì)進行化簡求解驗證即可.

【解答】解：（1）

⑵/磊=31）舄;

【點評】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解答本題的關(guān)鍵在于認真觀察題中所給的式子，得出其規(guī)

律并根據(jù)規(guī)律進行求解即可.

20.（2023?衢州一模）已知若x,y為實數(shù)，且尸Jx2-9x2+小求肝〉的值.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件得出x的值，代回代數(shù)式求出y的值，繼而代入計算可得.

【解答】解：由題意，7-920,9-/NO

，怔=9,

，％=±3

又?.?x+3W0,

-3,

.,.x=3,y=0+0+4=4,

；?x+y=7

【點評】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式和分式有意義的條件.

專題04二次根式

考情聚焦

課標要求考點考向

1.掌握二次根式有意義的條件和基本性質(zhì)（/）2=a（aN0）.考向一二次根式概念及性

2.能用二次根式的性質(zhì)聲=|a|來化簡根式.質(zhì)

考向二二次根式計算化簡

3.能識別最簡二次根式、同類二次根式.二次根式

求值

4.能根據(jù)運算法則進行二次根式的加減乘除運算以及混合

運算.考向三二次根式綜合應(yīng)用

真題透視A

考點二次根式

A考向一二次根式概念及性質(zhì)

1.（2023?金華）要使《工有意義，則x的值可以是（）

A.0B.-1C.-2D.2

2.（2020?寧波）二次根式中字母尤的取值范圍是（）

A.x>2B.%W2C.D.

3.（2020?衢州）要使二次根式丁啟有意義，則X的值可以為（）

A.0B.1C.2D.4

已知二次根式而,，

4.（2000?杭州）JJa2+b?,7?中最簡二次根式共有）

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（2021?麗水）要使式子JI互有意義，則X可取的一個數(shù)是—

6.（2021?衢州）若GI有意義，則X的值可以是___________.（寫出一個即可）

7.（2012?杭州）已知4（a-眄）＜0,若b=2-a,則b的取值范圍是___________.

A考向二二次根式計算化簡求值

1.（2021?杭州）下列計算正確的是（

A.4^=2B.y（-2產(chǎn)=.

C.后=±2d-a-2）2=±2

2.（2020?杭州）72X^3=（）

A.V5B.娓C.2^3D.3A/2

3.（2016?杭州）下列各式變形中，正確的是（）

A.x2,x3=x6B.

C.（7~~）~^~x=x-1D.X2-x+l=（x-—）2+—

X24

m=（岑■）X（-2V21）1

4.（2012?杭州）已知則有（）

A.5<m<6B.4<m<5C.-5<m<--4D.-6<m<

5.（2003?杭州）已知a^-3—,b'l，則、^a2+b2+7的值為（）

V5-2V5+2'

A.5B.6C.3D.4

6.（2005?杭州）若化簡|「X|-VX2-8X+16的結(jié)果為2x-5,則x的取值范圍是（）

A.x為任意實數(shù)B.

C.九21D.xW4

7.（2023?杭州）計算：加一強=.

8.（2010?杭州）先化簡聘-（1V24--|V12^-再求得它的近似值為（精確到0.01，近y

1.414,73^1.732）.

9.（2004?寧波）已知：a<0,化簡,4-（a4）2-14+（a-―）2=.

10.（1999?杭州）如果a+b+-1|=4Va^2+27b+l-4,那么a+2b-3c=.

11.（1998?杭州）已知“15+x?-419-X2=2,則J19-x2+2415+x?

12.（2001?浙江）已知：a=匚，求記士§_'a2-2a+l的值.

2+>/3a+22

a-a

求代數(shù)式廣切一的值.

13.（1999?杭州）已知x-8+V8-x+18-/xy

Vx-VyWy-yVx

A考向三二次根式綜合應(yīng)用

1.（2003?杭州）對于以下四個命題：①若直角三角形的兩條邊長為3與4,則第三邊的長是5；②（4）

2=a；③若點P（a,b）在第三象限，則點0（-a,-b）在第一象限；④兩邊及其第三邊上的中線對

應(yīng)相等的兩個三角形全等，正確的說法是（）

A.只有①錯誤，其他正確B.①②錯誤，③④正確

C.①④錯誤，②③正確D.只有④錯誤，其他正確

2.（2005?臺州）我國古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，即已知三角形的三邊

I2222

長，求它的面積.用現(xiàn)代式子表示即為：sJI[a2xb2_①（其中°、從c為

三角形的三邊長，s為面積）.

而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：

s=4p（p-a）（p-b）（p-c）…②（其中p=）

（1）若已知三角形的三邊長分別為5,7,8,試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積s；

（2）你能否由公式①推導(dǎo)出公式②？請試試.

,新題特訓(xùn)/

1.（2024?余姚市一模）下列計算正確的是（)

{（-3）2=-3