2025年中考數(shù)學總復習：三角形及全等三角形 （原卷版）

專題08三角形及全等三角形

目錄

01理?思維導圖：呈現(xiàn)教材知識結構，構建學科知識體系。

02盤.基礎知識：甄選核心知識逐項分解，基礎不丟分。（2大模塊知識梳理）

知識模塊一：三角形

知識模塊二：全等三角形

03究?考點考法：對考點考法進行細致剖析和講解，全面提升。（10大基礎考點）

考點一：三角形的穩(wěn)定性

考點二：與五線有關的計算

考點三：與五線有關的作圖問題

考點四：利用三角形三邊關系求解

考點五：三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合考點六：利用全等三角形的性質(zhì)求解【熱考】

考點七：全等三角形證明方法的合理選擇

考點八：利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結論問題考點九：利用全等三角形解決實際問題

考點十：全等三角形與相似三角形綜合

04破,重點難點：突破重難點，沖刺高分。（5大重難點）

重難點一：添加輔助線證明兩個三角形全等-構造平行線

重難點二：添加輔助線證明兩個三角形全等-構造垂線

重難點三：添加輔助線證明兩個三角形全等-倍長中線法

重難點四：添加輔助線證明兩個三角形全等-截長補短法

重難點五：與全等三角形有關的基礎模型-一線三等角【熱考】

重難點六：與全等三角形有關的基礎模型-手拉手模型【熱考】

05辨?易混易錯：點撥易混易錯知識點，沖刺高分。（4大易錯點）

易錯點1：對三角形的高理解不到位

易錯點2：與三角形高有關的分類討論問題

易錯點3：在等腰三角形中，忽略三邊關系而致錯【失分點】

易錯點4：未掌握全等三角形的判定定理

1

思維早襟

高面點到對邊的垂鰻

頂點到對邊中點的線段

中線/------

------《重心三條中線的交點

五線

/~4c

角平分線

中位線三角形中位線平行第三邊且等于第三邊的一半

垂直平分線經(jīng)過線段中點與線段垂直的直線

不等腰，等腰，等邊

知識梳理按邊分

按角分銳角、直角、鈍角

對應邊相等

對應角相等

周長、面積相等

\全等對應的角平分線，中線，高相等

一般三角形SSS,SAS,ASA,AAS

判定

------《直角三角形HL

三角形及全等三角形我第三邊SSS

已知兩邊找夾角SAS

找直角HL

一邊為角的對邊找另一角AAS

判定兩個已知一邊、一角找夾角的另一邊SAS

三角形全

是角的鄰邊找夾邊的另一角ASA

等的思路

我邊的對角AAS

找夾邊ASA

學法指導已知兩角

找其中一角的對邊AAS

判斷三條線段能否組成三角形最短的兩邊之和〉第三邊

利用三角形全等證明線段的和/差截長補短法

三角股卜角定理碉侖是"角"轉換的有效工具

技能提升

構造三角形，利用三角形全等，是證明線段相等或角相等的常規(guī)方

法

［已知中點/中線倍長中線法

知識模塊一：三角形

知識點一：三角形的相關概念

三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

三角形的表示：用符號表示，頂點是A、B、C的三角形記作“AABC”，讀作“三角形ABC”.

【補充】三角形的表示方法中代表“三角形”，后邊的字母為三角形的三個頂點，字母的順序可以自

2

由安排，即AABC,AACB等均為同一個三角形.

三角形的穩(wěn)定性：三角形三條邊確定之后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)

定性.

【補充】四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣

多邊形就具有穩(wěn)定性了.

三角形三邊關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊.

三角形三邊關系的應用：

1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形.

2）已知三角形兩邊的長度分別為a,b,求第三邊長度的范圍：|a-b|<c<a+b

3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形.

知識點二：與三角形的有關線段（掌握）

類型三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

從三角形的一個頂點向它的對三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對

文字三角形中，連接一個頂點和它對邊中

邊所在的直線作垂線，頂點和垂邊相交，這個角的頂點與交點之間的

語言點的線段.

足之間的線段.線段.

AAA

圖形

語言

DDD

VAD是AABC中BC邊的高VAD是AABC中BC邊的中線VAD是AABC中NBAC的角平分線

性質(zhì)

???ZADB=ZADC=90°==1

ABD=CDSAABDSAADC^~SAABCZBAD=ZDAC=-ZBAC

2

2

用途

1）線段垂直.2）角度相等.1）線段相等.2）面積相等.角度相等.

舉例

類型三角形的中位線三角形的垂直平分線

文字

連接三角形兩邊中點的線段經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線

語言

圖形

語言小

3

VDE是AABC的中位線??,直線1是AB的垂直平分線

性質(zhì)

.\DE=-BCDE//BC???PA=PB,AC=BC,ZPCA=ZPCB=90°

2

用途

1）線段平行.2）線段關系.1）線段相等.2）角度相等.

舉例

知識點三：與三角形有關的角（掌握）

三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180。.

推論：直角三角形的兩個銳角互余.

三角形的內(nèi)角和定理的應用：

1）在三角形中，己知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；

2）在三角形中，已知三個內(nèi)角的比例關系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；

3）在直角三角形中，已知一個銳角的度數(shù)，可以求出另一個銳角的度數(shù).

三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360。.

三角形的外角的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

知識模塊二：全等三角形

知識點一：全等三角形的概念

全等圖形的概念：能完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.

特征：①形狀相同.②大小相等.③對應邊相等、對應角相等.④周長、面積相等.

全等三角形的概念：能完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

【補充】

1）全等三角形是特殊的全等圖形，同樣的，判斷兩個三角形是否為全等三角形，主要看這兩個三角形的形

狀和大小是否完全相同，與它們所處的位置無關.

2）形狀相同的兩個圖形不一定是全等圖形，面積相同的兩個圖形也不一定是全等圖形.

全等三角形的表示：全等用符號“0”，讀作“全等于”.

【補充】書寫三角形全等時，要注意對應頂點字母要寫在對應位置上.如4ABC和4DEF全等，記作4ABC

4

^△DEF,讀作AABC全等于ADEF.

全等變換定義：只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的變換.

常見的全等變換：平移變換、翻折變換、旋轉變換，即過平移、翻折、旋轉后得到的圖形與原圖形是全等

圖形.

知識點二：全等三角形的性質(zhì)與判定

全等三角形的性質(zhì)：1）全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

2）全等三角形對應邊上的高線相等，對應邊上的中線相等，對應角的角平分線相等.

3）全等三角形的周長相等，面積相等（但周長或面積相等的三角形不一定是全等三角形）.

全等三角形的判定：

1）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）；

5）斜邊、直角邊：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.

【總結】從判定兩個三角形全等的方法可知，要判定兩個三角形全等，需要知道這兩個三角形分別有三個

元素（其中至少有一個元素是邊）對應相等，這樣就可以利用題目中的已知邊（角）準確地確定要補充的

邊（角），有目的地完善三角形全等的條件，從而得到判定兩個三角形全等的思路.

考點一：三角形的穩(wěn)定性

1.（2023?吉林?中考真題）如圖，鋼架橋的設計中采用了三角形的結構，其數(shù)學道理是

5

2.（2022?廣東?中考真題）下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（）.

A.三角形B.長方形C.正方形D.平行四邊形

3.（2024?吉林長春?一模）四邊形結構在生活實踐中有著廣泛的應用，如圖所示的升降機，通過控制平行

四邊形形狀的升降桿，使升降機降低或升高，其蘊含的數(shù)學道理是（）

A.平行四邊形的對邊相等B.平行四邊形的對角相等

C.四邊形的不穩(wěn)定性D.四邊形的內(nèi)角和等于360。

考點二：與五線有關的計算

1.（2024?山東德州?中考真題）如圖，在AdBC中，4。是高，4E是中線，AD=4,S^ABC=12,貝UBE的長

C.4D.6

2.（2022.貴州安順.中考真題）如圖，在△ABC中，AC=2或，4ACB=120°,。是邊AB的中點，E是邊BC上

一點，若DE平分ATIBC的周長，則DE的長為（）

6

3.（2021?遼寧阜新?中考真題）如圖，直線4B〃CD,一塊含有30。角的直角三角尺頂點E位于直線C。上,

EG平分乙CEF,則N1的度數(shù)為°.

4.（2024?山東濟南?中考真題）如圖，在正方形4BCD中，分別以點A和B為圓心，以大于的長為半徑

作弧，兩弧相交于點E和F,作直線EF,再以點A為圓心，以4。的長為半徑作弧交直線EF于點G（點G在正

方形力BCD內(nèi)部），連接DG并延長交BC于點K.若BK=2,則正方形ABC。的邊長為（）

A.V2+1B.-C.—D.V3+1

22

5.（2024?四川巴中?中考真題）如圖，團4BCD的對角線AC、BD相交于點。，點E是BC的中點，AC=4.若

EUBCD的周長為12,則△COE的周長為（）

BEC

7

A.4B.5C.6D.8

考點三：與五線有關的作圖問題

1.(2024?黑龍江綏化?中考真題)已知：AABC.

(1)尺規(guī)作圖：畫出△28C的重心G.(保留作圖痕跡，不要求寫作法和證明)

⑵在(1)的條件下，連接4G,BG.己知A/IBG的面積等于5cm2,則△ABC的面積是cm2.

2.(2024.湖北武漢.模擬預測)如圖是由小正方形組成的7X5網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點.AABC

的三個頂點都是格點.僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示.

(1)在圖1中，BD平分N4BC交邊力C于點D,先畫出△力BC的角平分線力E,再在射線BD上畫點尸，連接2F,

使得”=沙1;

(2)在圖2中，先畫AaBC的高再畫N4F7C的平分線HP.

3.(2024?吉林?模擬預測)圖①、圖②、圖③均是5x5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小

正方形的邊長均為1,AABC的頂點均在格點上，點G是圖③中邊4C上的任意一點：只用無刻度的直尺按

下列要求在給定的網(wǎng)格中畫圖，不要求寫出畫法，保留作圖痕跡.

(1)在圖①中作邊BC上的高2D；

(2)在圖②中作△ABC的中位線EF,使點E、尸分別在邊4C、4B上;

(3)在圖③中4ABC的邊4B上找到一點H,使4"=AG.

8

考點四：利用三角形三邊關系求解

1.（2023?江蘇鹽城?中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm）,其中能搭成一個三

角形的是（）

A.5,7,12B.7,7,15C.6,9,16D.6,8,12

2（2023?山東?中考真題）在△48C中，BC=3,AC=4,下列說法錯誤的是（）

A.1<AB<7B.SAABC<6

C.AABC內(nèi)切圓的半徑r<1D.當=時，AABC是直角三角形

3.（2023?河北?中考真題）四邊形4BCO的邊長如圖所示，對角線4c的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當

△力8C為等腰三角形時，對角線4C的長為（）

A.2B.3C.4D.5

考點五：三角形內(nèi)角和定理與外角和定理的綜合

1.（2024?天津?中考真題）如圖，Rt△力BC中，ZC=90°,ZB=40°,以點4為圓心，適當長為半徑畫弧，

交4B于點E,交2C于點F；再分別以點民尸為圓心，大于［EF的長為半徑畫弧，兩?。ㄋ趫A的半徑相等）

在484c的內(nèi)部相交于點P；畫射線2P,與相交于點D,貝|乙4。。的大小為（）

2.（2024?四川涼山?中考真題）如圖，△2BC中，N8CD=30。，^ACB=80°,CD是邊4B上的高，2E是NdB

的平分線，貝亞/lEB的度數(shù)是.

9

c

3.（2023?遼寧錦州?中考真題）如圖，在△力BC中，BC的垂直平分線交BC于點D交AB于點E.連接CE.若

CE=CA,/.ACE=40°,則N8的度數(shù)為.

考點六：利用全等三角形的性質(zhì)求解

1.（2024.四川資陽?中考真題）第14屆國際數(shù)學教育大會（JCME-14）會標如圖1所示，會標中心的圖案

來源于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，如圖2所示的“弦圖”是由四個全等的直角三角形（A/IBE,4BCF,

ACDG,ADAH）和一個小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD.若EF：AH=1：3,則sinN力BE=（）

A,匹BD*

5-1

2.（2024?甘肅臨夏?中考真題）如圖，在AABC中，點4的坐標為（0,1）,點B的坐標為（4,1）,點C的坐標為（3,4）,

點。在第一象限（不與點C重合），且△4BD與△ABC全等，點。的坐標是

10

3.（2024?四川遂寧?中考真題）如圖1,A4BC與44祖6滿足〃=Z.Ar,AC=A^,BC=8心，“*zC1；

我們稱這樣的兩個三角形為“偽全等三角形”如圖2,在小4BC中,AB=AC,點、D,E在線段BC上,且BE=CD,

則圖中共有“偽全等三角形”（）

考點七：全等三角形證明方法的合理選擇

1.（2024.江蘇徐州?中考真題）己知：如圖，四邊形48CD為正方形，點E在的延長線上，連接E4EC.

⑴求證：4EAB34ECB；

（2）若N&EC=45°,求證：DC=DE.

2.（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，固4BCD的對角線AC,BD相交于點。，點E,尸在力C上，且4E=CF.

⑴求證：BE||DF；

（2）過點。作。MlBD,垂足為。，交DF于點M,若ABFM的周長為12,求四邊形BEDF的周長.

3.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）如圖，△ABC中，AACB=90°,點。為AC邊上一點，以點。為圓心，。。為

半徑作圓與力B相切于點D,連接CD.

11

⑴求證：/-ABC=2^ACD；

（2）若AC=8,BC=6,求。。的半徑.

考點八：利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結論問題

1.（2024?山東泰安?中考真題）如圖，RtAABC中，^ABC=90°,分別以頂點A,C為圓心，大于|aC的長

為半徑畫弧，兩弧分別相交于點M和點N,作直線MN分別與BC,4C交于點E和點F；以點A為圓心，任意

長為半徑畫弧，分別交48,AC于點H和點G,再分別以點H,點G為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧

交于點P，作射線4P,若射線4P恰好經(jīng)過點E,則下列四個結論：①NC=30。；②4P垂直平分線段BF；

③C￡=2BE；@S^-^S.其中，正確結論的個數(shù)有（）

BEF6AABC

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2024?北京?中考真題）如圖，在菱形48CD中，Z.BAD=60°,。為對角線的交點.將菱形A8CD繞點。逆

時針旋轉90。得到菱形ABO,兩個菱形的公共點為E,F,G,從對八邊形給出下面四個結

論：①該八邊形各邊長都相等；②該八邊形各內(nèi)角都相等；③點。到該八邊形各頂點的距離都相等；

④點。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。上述結論中，所有正確結論的序號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

3.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，△力BC和AaDE是以點力為直角頂點的等腰直角三角形，把AADE以4

為中心順時針旋轉，點M為射線BD、CE的交點.若力B=?AD=1.以下結論：①BD=CE；②BD1CE；

12

③當點E在B4的延長線上時，MC=萼；④在旋轉過程中，當線段MB最短時，AMBC的面積為/其中

C.3個D.4個

考點九：利用全等三角形解決實際問題

1.（2024?山東?中考真題）【實踐課題】測量湖邊觀測點4和湖心島上鳥類棲息點P之間的距離

【實踐工具】皮尺、測角儀等測量工具

【實踐活動】某班甲小組根據(jù)湖岸地形狀況，在岸邊選取合適的點B.測量A,B兩點間的距離以及NP4B和

4PBA,測量三次取平均值，得到數(shù)據(jù)：4B=60米，4PAB=79°,Z.PBA=64°.畫出示意圖，如圖

圖I

【問題解決】（1）計算4P兩點間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin64°?0.90,sin79°?0.98,cos79°?0.19,sin37°?0.60,tan37°?0.75）

【交流研討】甲小組回班匯報后，乙小組提出了另一種方案：

如圖2,選擇合適的點D,E,F,使得4D,E在同一條直線上，S.AD=DE,乙DEF=LDAP,當F,D,

P在同一條直線上時，只需測量EF即可.

13

D

F

圖2

（2）乙小組的方案用到了.（填寫正確答案的序號）

①解直角三角形②三角形全等

【教師評價】甲、乙兩小組的方案都很好，對于實際測量，要根據(jù)現(xiàn)場地形狀況選擇可實施的方案.

2.（2024?四川宜賓?中考真題）宜賓地標廣場位于三江匯合口（如圖1,左側是岷江，右側是金沙江，正面

是長江）.某同學在數(shù)學實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標點C、D,在地標廣場上

選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、。在同一水平面，且4B||CD）.如圖2所示，在點A處測得點C在

北偏西18.17。方向上，測得點。在北偏東21.34。方向上；在2處測得點C在北偏西21.34。方向上，測得點。

在北偏東18.17。方向上，測得2B=100米.求長江口的寬度CD的值（結果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：

sinl8.17°x0.31,cosl8.17°?0.95,tanl8.17°?0.33,sin21.34°-0.36,cos21.34°-0.93,tan21.34°-0.39）

圖1圖2

3.（2024?河北石家莊.模擬預測）小亮想測量屋前池塘的寬度，他結合所學的數(shù)學知識，設計了如圖1的

測量方案：先在池塘外的空地上任取一點O,連接4。，CO,并分別延長至點B,點D,使。B=OA,0D=0C,

連接8D.

J4

c

o

DE

備用圖

⑴如圖1,①求證：AC=BD；②若44=35。，乙4OC=90。，貝此。='

(2)如圖2,但在實際測量中，受地形條件的影響，于是小亮采取以下措施：延長CO至點Z),使0。=。。,

過點D作AC的平行線。E,延長40至點F,連接EF,測得NDEF=120°,/.OFE=90°,DE=5m,EF=9m,

請求出池塘寬度4c.

考點十：全等三角形與相似三角形綜合

1.(2023?浙江紹興?中考真題)如圖，正方形48CD中，28=3,點E在邊4。上，DE=24E,F是8E的中

點，點H在CD邊上，AEFH=45°,貝的長為().

2月

3

2.(2024.四川?中考真題)如圖，在四邊形4BCD中，N力=90。，連接BD,過點C作CE14B,垂足為E,CE交

BD于點F,zl=AABC.

(1)求證：z2=Z3；

(2)若N4=45°.

①請判斷線段BC,的數(shù)量關系，并證明你的結論;

15

②若BC=13,AD=5,求E尸的長.

3.（2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題）如圖，在團4BCD中，乙4BC為銳角，點E在邊4D上，連接BE,CE,且〃加；=

SAOCE?

（1）如圖1,若F是邊BC的中點，連接EF,對角線AC分別與BE,EF相交于點G,”.

①求證：H是4C的中點；

②求4G:G//://C；

（2）如圖2,BE的延長線與CD的延長線相交于點M,連接力M,CE的延長線與2M相交于點N.試探究線段AM與

線段4N之間的數(shù)量關系，并證明你的結論.

重難點一：添加輔助線證明兩個三角形全等-構造平行線

1.（2024葫蘆島市模擬預測）【問題初探】

（1）數(shù)學課上，李老師出示了這樣一個問題：如圖1,在A/IBC中，=4C,點F是4C上一點，點E是

延長線上的一點，連接EF,交BC于點D,若ED=DF,求證：BE=CF.

圖1

①如圖2,小樂同學從中點的角度，給出了如下解題思路：在線段DC上截取DM,使DM=8。，連接FM,

利用兩個三角形全等和已知條件，得出結論；

16

A

②如圖3,小亮同學從平行線的角度給出了另一種解題思路：過點E作EM||4。交。8的延長線于點",利

用兩個三角形全等和已知條件，得出了結論；

請你選擇一位同學的解題思路，寫出證明過程；

【類比分析】

(2)李老師發(fā)現(xiàn)兩位同學的做法非常巧妙，為了讓同學們更好的理解這種轉化的思想方法，李老師提出了

新的問題，請你解答，

如圖4,在4ABC中，點E在線段力B上，。是BC的中點，連接CE,AD,CE與40相交于點N,若乙EAD+乙ANC=

180°,求證：AB=CN；

圖4

【學以致用】

(3)如圖5,在RtAABC中，^BAC=90°,zC=30°,4F平分NB4C,點E在線段B4的延長線上運動，

過點E作EDIMF,交AC于點N,交BC于點、D,且BD=C。，請直接寫出線段AE,CN和BC之間的數(shù)量關

系.

17

2.（2024?江蘇宿遷?模擬預測）【感知】（1）小明同學在學習相似三角形時遇到這樣一個問題：

如圖①，在AABC中，點。是BC的中點，點E是4C的一個三等分點，S.AE=^AC.連結力D,BE交于點G,

錯值?

小明發(fā)現(xiàn)，過點。作2c的平行線或過E作BC的平行線，利用相似三角形的性質(zhì)即可得到問題的答案.請你

根據(jù)小明的提示（或按自己的思路）寫出求解過程

【嘗試應用】

（2）如圖②，在AABC中，。為AC上一點，4B=AD,連結BD,若4E1BD,交BD、BC于點E.F.^AD=9,

CD=3,AF=8,貝ME的長為一.

【拓展提高】

（3）如圖③，在平行四邊形4BCD中，點E為BC的中點，點F為CD上一點，BF與AE、力C分別交于點G、

M,若胎=:若△BEG的面積為2,則△力8G的面積為

重難點二：添加輔助線證明兩個三角形全等-構造垂線

1.（2024?山東青島?中考真題）如圖，將正方形4BCD先向右平移，使點B與原點。重合，再將所得正方形

繞原點。順時針方向旋轉90。，得到四邊形4BO,則點A的對應點4的坐標是（）

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A.(-1,-2)B.(—2,—1)C.(2,1)D.(1,2)

2.（2024?內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）數(shù)學課上，老師給出以下條件，請同學們經(jīng)過小組討論，提出探究問題.如

圖1,在AABC中，4B=4C,點。是4C上的一個動點，過點。作DE1BC于點E,延長ED交B4延長線于

點?

圖1圖2

請你解決下面各組提出的問題:

（1）求證：AD=AF；

⑵探究黑與喘的關系;

某小組探究發(fā)現(xiàn)，當黑=刎，^=1當空=±時，竺J

DC3DE3DC5DE5

請你繼續(xù)探究:

①當筆=:時，直接寫出第I勺值;

DCoDr,

②當喧=陽猜想器的值（用含m,”的式子表示），并證明;

（3）拓展應用：在圖1中，過點P作FP1AC,垂足為點P,連接CF,得到圖2,當點。運動到使NACF=乙ACB

時，若冷拳直接寫喘的值（用含，”的式子表示）.

3.（2023?浙江紹興?中考真題）如圖，在矩形48CD中，48=4,BC=8,點E是邊4。上的動點，連結CE,

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以CE為邊作矩形CEFG（點。，G在CE的同側），且CE=2EF,連結8F.

（1）如圖1,當點E為力D邊的中點時，點8,E,產(chǎn)在同一直線上，求BF的長.

（2）如圖2,若乙BCE=30°,設CE與BF交于點K.求證：BK=FK.

（3）在點E的運動過程中，B尸的長是否存在最大（小）值？若存在，求出BF■的最值；若不存在，請說明理由.

重難點三：添加輔助線證明兩個三角形全等-倍長中線法

1.（2024?吉林長春.一模）【發(fā)現(xiàn)問題】數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣的一個問題:

如圖①，在△ABC中，AB=6,AC=8,第三邊上的中線4D=久，貝h的取值范圍是.

（1）如圖②，延長4。至點A,使得連結4C,根據(jù)“SAS”可以判定A28。三,得出

A'C=AB=6.在△44'C中，A'C=6,AC=8,AA'=2x,故中線4D的長龍的取值范圍是.

【活動經(jīng)驗】當條件中出現(xiàn)“中點”，“中線”等條件時，可以考慮將中線延長一倍，構造全等三角形，把分散

的已知條件和所求的問題集中到同一個三角形中，進而解決問題，這種作輔助線的方法叫做“倍長中線”法.

【問題解決】（2）如圖③，=AC,AD=AE,Z.BAE+AD=180°,連接BE和CD,點尸是CD的

中點，連接AF.求證：BE=2AF.小明發(fā)現(xiàn)，如圖④，延長4尸至點4,使F4=4/，連接4D,通過證

明AdBE三△DA4,可推得BE=A4'=24F.

下面是小明的部分證明過程：

證明：延長4尸至點4,使尸A=4尸，連接4D,

???點F是CD的中點，

：.CF=DF.

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■：AF=A'F,/.AFC=/-A'FD,

：.AACF三△A'DF（SAS）,

：.A'D=AC,^A'DF=AACF,

■■.A'DWAC,AA'DA+^CAD=180°.

請你補全余下的證明過程.

【問題拓展】（3）如圖⑤，在△48C和AAEF中，AB=AE,AC=AF,ABAC+^EAF=180°,點、M,

N分別是BC和EF的中點.若BC=4,EF=6,則MN的取值范圍是

重難點四：添加輔助線證明兩個三角形全等-截長補短法

1.（2020?湖南湘西?中考真題）問題背景：如圖1,在四邊形力BCD中，NB4D=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

^ABC=120°,乙MBN=60°,NMBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.探究圖中線段4E,CF,

EF之間的數(shù)量關系.小李同學探究此問題的方法是：延長FC到G,使CG=2E,連接BG,先證明ABCG三

△BAE,再證明ABFCmABFE,可得出結論，他的結論就是；

探究延伸1：如圖2,在四邊形A8CD中，^BAD=90°,4BCD=90°,BA=BC,^ABC=2乙MBN,ZJWBN繞

B點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”

或者“不成立”），不要說明理由.

探究延伸2：如圖3,在四邊形2BCD中，BA=BC,ABAD+Z.BCD=180°,4ABe=2乙MBN,/MBN繞B

點旋轉，它的兩邊分別交AD、DC于E、F.上述結論是否仍然成立？并說明理由.

實際應用：如圖4,在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30。的A處艦艇乙在指揮中心南

偏東70。的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里〃卜時的

速度前進，同時艦艇乙沿北偏東50。的方向以100海里/小時