實現Dijkstra算法最短路徑問題詳解

第實現Dijkstra算法最短路徑問題詳解問題解釋：

從圖中的某個頂點出發(fā)到達另外一個頂點的所經過的邊的權重和最小的一條路徑，稱為最短路徑

解決問題的算法：

迪杰斯特拉算法（Dijkstra算法）

弗洛伊德算法（Floyd算法）

SPFA算法

這篇博客，我們就對Dijkstra算法來做一個詳細的介紹

2、Dijkstra算法介紹

算法特點：

迪科斯徹算法使用了廣度優(yōu)先搜索解決賦權有向圖或者無向圖的單源最短路徑問題，算法最終得到一個最短路徑樹。該算法常用于路由算法或者作為其他圖算法的一個子模塊。

算法的思路

Dijkstra算法采用的是一種貪心的策略，聲明一個數組dis來保存源點到各個頂點的最短距離和一個保存已經找到了最短路徑的頂點的集合：T，初始時，原點s的路徑權重被賦為0（dis[s]=0）。若對于頂點s存在能直接到達的邊（s,m），則把dis[m]設為w（s,m）,同時把所有其他（s不能直接到達的）頂點的路徑長度設為無窮大。初始時，集合T只有頂點s。然后，從dis數組選擇最小值，則該值就是源點s到該值對應的頂點的最短路徑，并且把該點加入到T中，OK，此時完成一個頂點，

然后，我們需要看看新加入的頂點是否可以到達其他頂點并且看看通過該頂點到達其他點的路徑長度是否比源點直接到達短，如果是，那么就替換這些頂點在dis中的值。

然后，又從dis中找出最小值，重復上述動作，直到T中包含了圖的所有頂點。

3、Dijkstra算法示例演示

下面我求下圖，從頂點v1到其他各個頂點的最短路徑

首先第一步，我們先聲明一個dis數組，該數組初始化的值為：

我們的頂點集T的初始化為：T={v1}

既然是求v1頂點到其余各個頂點的最短路程，那就先找一個離1號頂點最近的頂點。通過數組dis可知當前離v1頂點最近是v3頂點。當選擇了2號頂點后，dis[2]（下標從0開始）的值就已經從“估計值”變?yōu)榱恕按_定值”，即v1頂點到v3頂點的最短路程就是當前dis[2]值。將V3加入到T中。

為什么呢？因為目前離v1頂點最近的是v3頂點，并且這個圖所有的邊都是正數，那么肯定不可能通過第三個頂點中轉，使得v1頂點到v3頂點的路程進一步縮短了。因為v1頂點到其它頂點的路程肯定沒有v1到v3頂點短.

OK，既然確定了一個頂點的最短路徑，下面我們就要根據這個新入的頂點V3會有出度，發(fā)現以v3為弧尾的有：v3,v4,那么我們看看路徑：v1–v3–v4的長度是否比v1–v4短，其實這個已經是很明顯的了，因為dis[3]代表的就是v1–v4的長度為無窮大，而v1–v3–v4的長度為：10+50=60，所以更新dis[3]的值,得到如下結果：

因此dis[3]要更新為60。這個過程有個專業(yè)術語叫做“松弛”。即v1頂點到v4頂點的路程即dis[3]，通過v3,v4這條邊松弛成功。這便是Dijkstra算法的主要思想：通過“邊”來松弛v1頂點到其余各個頂點的路程。

然后，我們又從除dis[2]和dis[0]外的其他值中尋找最小值，發(fā)現dis[4]的值最小，通過之前是解釋的原理，可以知道v1到v5的最短距離就是dis[4]的值，然后，我們把v5加入到集合T中，然后，考慮v5的出度是否會影響我們的數組dis的值，v5有兩條出度：v5,v4和v5,v6,然后我們發(fā)現：v1–v5–v4的長度為：50，而dis[3]的值為60，所以我們要更新dis[3]的值.另外，v1-v5-v6的長度為：90，而dis[5]為100，所以我們需要更新dis[5]的值。更新后的dis數組如下圖：

然后，繼續(xù)從dis中選擇未確定的頂點的值中選擇一個最小的值，發(fā)現dis[3]的值是最小的，所以把v4加入到集合T中，此時集合T={v1,v3,v5,v4},然后，考慮v4的出度是否會影響我們的數組dis的值，v4有一條出度：v4,v6,然后我們發(fā)現：v1–v5–v4–v6的長度為：60，而dis[5]的值為90，所以我們要更新dis[5]的值，更新后的dis數組如下圖：

然后，我們使用同樣原理，分別確定了v6和v2的最短路徑，最后dis的數組的值如下：

因此，從圖中，我們可以發(fā)現v1-v2的值為：∞，代表沒有路徑從v1到達v2。所以我們得到的最后的結果為：

起點終點最短路徑長度

v1v2無∞

v3{v1,v3}1