河北省邢臺(tái)市卓越聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

卓越聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第二冊(cè)第六章到第八章8.5。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限2．如圖，在四棱錐中，點(diǎn)G在正方形ABCD內(nèi)，點(diǎn)F在BE上，若DF與EG相交，則下列說法一定正確的是（）A．點(diǎn)G在AC上B．C．D．直線EB，GD交于點(diǎn)B3．已知點(diǎn)，向量，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)是（）A．B．C．D．4．在菱形ABCD中，，點(diǎn)P在線段CD上，則的最小值是（）A．8B．12C．16D．205．如圖，已知用斜二測畫法得到的水平放置的直觀圖為，已知是周長為6的正三角形，則的面積是（）A．B．4C．D．6．某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，如圖，每個(gè)石凳都是由正方體截去八個(gè)相同的正三棱錐得到的幾何體，則下列結(jié)論不正確的是（）A．該幾何體有6個(gè)面是正方形B．該幾何體有8個(gè)面是正三角形C．該幾何體恰有26條棱D．該幾何體的表面積比原正方體的表面積小7．一口古井的形狀為正四棱臺(tái)，下小上大，在枯水時(shí)節(jié)，其水面面積大約為，水深，豐水時(shí)節(jié)水面面積大約為，水深，則枯水時(shí)節(jié)的水量大約為（）A．B．C．D．8．如圖，在正方體中，M，N，P分別是，BC，的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（）A．直線與NM是異面直線B．C．平面D．直線CP，，AM相交于一點(diǎn)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知復(fù)數(shù)，則（）A．B．C．在復(fù)平面上，對(duì)應(yīng)的向量與對(duì)應(yīng)的向量的夾角為D．若，則|之的最大值為10．如圖，正三棱柱的側(cè)面為邊長為6的正方形，現(xiàn)以上、下底面的內(nèi)切圓為底面挖掉一個(gè)圓柱，則下列說法正確的是（）A．內(nèi)切圓的半徑為B．被挖掉的圓柱的側(cè)面積為C．該幾何體的表面積為D．該幾何體的體積為11．奔馳定理：已知O是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，則．設(shè)O是內(nèi)一點(diǎn)，的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，若，且O為的垂心，則（）A．B．C．D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．正三棱柱的底面邊長為1，高為4，在棱上分別任取點(diǎn)E，F(xiàn)，則的最小值為_________．13．若某圓錐的側(cè)面積為，母線長是底面圓半徑的倍，則該圓錐的體積是_________．14．銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若的面積為，則的取值范圍是_________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知向量滿足．（1）設(shè)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．16．（15分）已知在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求的值；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)為同一點(diǎn)，求的取值范圍．17．（15分）在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C；（2）若的面積為S，求的取值范圍．18．（17分）如圖，在正四棱錐中，O，G分別是線段AC，PA的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在線段BP，BC上，且．（1）證明：O，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．（2）證明：平面BDG．（3）若點(diǎn)H在線段PD上，且滿足，試問側(cè)棱PC上是否存在一點(diǎn)K，使得平面HAC?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．19．（17分）如圖，在棱長為的正方體內(nèi)，球與球的球心均在線段AC上，這兩個(gè)球外切并且球與該正方體的上底面相切，球與該正方體的下底面相切．（1）求這兩個(gè)球的半徑之和．（2）當(dāng)這兩個(gè)球的半徑分別為多少時(shí)，這兩個(gè)球的表面積之和最?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最小值．

卓越聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一第二學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷參考答案1．C因?yàn)椋詮?fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．2．D因?yàn)镈F與EG相交，所以平面平面．3．B在方向上的投影向量是．4．A取AB的中點(diǎn)Q（圖略），，因?yàn)?，所以AB邊上的高為，所以，從而．5．D因?yàn)?，所以，所以的面積是．6．C因?yàn)檎襟w截去八個(gè)正三棱錐，所以比原正方體多出八個(gè)正三角形，所以A，B正確．因?yàn)樵襟w每個(gè)表面均有四條棱，所以該幾何體共有24條棱，C不正確．因?yàn)榻厝サ拿總€(gè)正三棱錐的側(cè)面面積比它的底面面積大，所以D正確．7．B作正四棱臺(tái)的中截面，如圖所示，AB，DC，F(xiàn)E分別為豐水、枯水、井底的水面邊長，則．因?yàn)?，所以，所以枯水時(shí)節(jié)的水量為．8．C連接（圖略）．點(diǎn)B，，M均在平面上，點(diǎn)N不在平面上，所以與NM是異面直線，A正確．連接（圖略）．因?yàn)?，所以，B正確．因?yàn)镃M與不平行，所以CM不平行于平面，C錯(cuò)誤．連接AP（圖略）．由，知M，P，A，C共面，且平面平面，如圖1，因?yàn)?，所以。如圖2，因?yàn)?，所以，則H，I兩點(diǎn)重合，所以CP，，AM相交于一點(diǎn)，D正確．9．ABD因?yàn)?，所以A正確．因?yàn)椋訠正確．，所以對(duì)應(yīng)的向量與對(duì)應(yīng)的向量的夾角為，所以C錯(cuò)誤．設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，因?yàn)椋?，所以點(diǎn)Z的軌跡是以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，所以的最大值為3，D正確．10．BD邊長為6的正三角形的內(nèi)切圓半徑為，A錯(cuò)誤．被挖掉的圓柱的側(cè)面積為，B正確．該幾何體的表面積為，體積為，C錯(cuò)誤，D正確．11．AC因?yàn)镺為的垂心，所以，A正確，B錯(cuò)誤．由上知，同理，．因?yàn)?，所以，所以，同理，所以．因?yàn)椋裕O(shè)，因?yàn)?，所以，所以，解得，以，C正確，D錯(cuò)誤．12．5將三棱柱的側(cè)面沿展開得到一個(gè)長與寬分別為4與3的長方形，所以．13．設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，由，得，又，所以，則該圓錐的體積為．14．由，得，解得．因?yàn)椋?，所以．，所以．因?yàn)?，所以，則，從而．15．解：（1）因?yàn)?，所以?分又，所以，3分解得，4分所以，5分所以．6分（2）因?yàn)?，所以?分因?yàn)椋裕?1分解得．13分16．解：（1）因?yàn)?，所以?分代入，得，6分所以．7分（2）由已知得消去m得，10分令，則，12分所以，14分所以，即的取值范圍為．15分17．解：（1）因?yàn)?，所以?分整理得，4分所以．5分因?yàn)?，所以?分（2）因?yàn)榈拿娣e，7分所以．9分又，所以，則．12分又所以，13分所以，14分故，即的取值范圍是．15分18．（1）證明：如圖，連接OG．因?yàn)镺，G分別是線段AC，PA的中點(diǎn)，所以．2分又，所以，4分所以，5分所以O(shè)，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面．6分（2）證明：由（1）得．7分因?yàn)槠矫鍮DG，平面BDG，8分所以平面BDG．9分（3）解：如圖，在線段PH上取一點(diǎn)M，使得，作，交PC于點(diǎn)K，連接BM，BK，OH．因?yàn)?，所以?0分因?yàn)槠矫鍴AC，平面HAC，11分所以平面HAC．12分同理可證平面HAC．13分因?yàn)?，平面BMK，平面BMK，所以平面平面HAC，又平面BMK，所以平面HAC．14分因?yàn)?，所以?6分因?yàn)椋裕试诶釶C上存在一點(diǎn)K，使得平面HAC，且．17分19．解：（1）由題知ABCD為過球心和對(duì)棱AB，C