內蒙古包頭市2025屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題含答案

/內蒙古包頭市2025屆高三下學期第二次模擬考試數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，若，且，則（

）A． B． C． D．2．已知角的終邊經過點，則（

）A． B．C． D．3．已知復數(shù)是關于的方程的一個根，則實數(shù)的積為（

）A． B． C．2 D．44．已知向量，則（

）A．2 B． C． D．15．直線與雙曲線交于兩點，線段的中點為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．6．已知在上單調遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知圓臺的上、下底面半徑分別為．半徑為的球與該圓臺的上、下底面及母線均相切，圓臺的側面積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，它可應用到有限維空間，并構成了一般不動點定理的基石．簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個點，使得，那么我們稱為“不動點”函數(shù)．若存在個點，滿足，則稱為“型不動點”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動點”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，過的焦點的直線與交于兩點，分別過兩點作的準線的垂線，垂足分別為，則下列結論正確的是（

）A．拋物線的準線方程為B．以線段為直徑的圓與拋物線的準線相切C．以線段為直徑的圓與軸相交D．以線段為直徑的圓過定點10．一組樣本數(shù)據(jù)．其中，，求得其經驗回歸方程為：，殘差為．對樣本數(shù)據(jù)進行處理：，得到新的數(shù)據(jù)，求得其經驗回歸方程為，其殘差為分布如圖所示，且，，則（

）A．樣本正相關 B．C． D．處理后的決定系數(shù)變大11．已知如圖為方格，挖去左上角的一個方格后，可以用個下列圖形完全覆蓋?。梢孕D，翻折但不能重疊）的有（

）（注：題中每個方格都是邊長為1的正方形）A． B． C． D．三、解答題（本大題共5小題）12．在平面直角坐標系中，雙曲線的離心率為，點是上任意一點．拋物線的焦點到準線的距離是1．(1)求的方程；(2)過點作的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于兩點，求證：平行四邊形的面積為定值；(3)是的兩條切線，是切點，求面積的最小值．13．高三某班為緩解學生高考壓力，班委會決定在周班會課上進行“聽音樂，猜歌名”的趣味游戲比賽，現(xiàn)將全班學生分為9組，每組5人，剩余的學生做裁判．比賽規(guī)則如下：比賽共分為兩輪，第一輪比賽中9個小組分三場進行比賽，每場比賽有3個小組參加，在規(guī)定的時間內猜對歌名最多的小組獲勝，獲勝的三個小組進入第二輪比賽；第二輪進行一場比賽，選出獲勝隊伍．已知甲、乙、丙3個小組的學生能成功猜對歌名的概率分別為．(1)現(xiàn)從甲組中任選一名學生進行歌曲試猜，記5首歌曲中猜對的歌曲數(shù)為，求隨機變量的數(shù)學期望；(2)若從甲、乙、丙3個小組中任選一名學生參加猜歌游戲，求該學生猜對歌曲的概率；(3)若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一，則設置以下游戲決定最終獲勝的小組，游戲規(guī)則如下：從丁、戊小組中任選一名代表，從裝有3個白球和2個紅球的不透明的盒子中有放回地隨機摸出一個球，摸出白球記分，摸出紅球記分，以0分開始計分，恰好獲得分或分則結束摸球．若該代表獲得分，則該代表所在小組獲得勝利，否則另外一組獲得勝利．若該代表來自戊組，試估計戊組獲勝的概率．14．已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)在有最小值4，求的值．15．如圖，在四棱錐中，平面，，點在棱上，且不與和重合，平面交棱于點．(1)求證：；(2)若為棱的中點，求二面角的正弦值；(3)記點到平面的距離分別為，求的最大值．16．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，，且對任意的正整數(shù)都有成立，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設，是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出滿足要求的和的所有值；若不存在，請說明理由．四、填空題（本大題共3小題）17．在中，角所對的邊分別為，若，則的最大值為．18．已知是數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)，若，則．19．若函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù)．

參考答案1．【答案】B【詳解】因為，所以，且.故選B.2．【答案】D【詳解】因為角的終邊經過點，可得，由三角函數(shù)的定義，可得，故A，B，C錯誤，D正確.故選D.3．【答案】A【詳解】∵復數(shù)是關于的方程的一個根，∴，即∴，解得，故選A.4．【答案】C【詳解】已知向量所以，即，即，故選C.5．【答案】A【詳解】設，，因為線段的中點為，所以，，所以，兩式相減可得：，即，所以，即，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：，化簡為：，經檢驗符合題意.故選A.6．【答案】B【詳解】由題意可知，則，因，則，則，，因在上單調遞增，結合正弦函數(shù)圖象性質可得，解得，故的取值范圍是.故選B.

7．【答案】C【詳解】如圖，設內切球的半徑為，設圓臺上、下底面圓心分別為，則圓臺內切球的球心一定在的中點處，設球與母線切于點，所以，所以，所以與全等，所以，同理，圓臺的母線長，而，因此，所以，過作，垂足為，則，所以，所以球的表面積為.故選C.8．【答案】D【分析】結合“不動點”函數(shù)的概念，轉化為方程有根或對應函數(shù)有零點的問題，依次求解判斷各個選項.【詳解】對于A，令，即．因為滿足，所以在區(qū)間上單調遞增，所以不可能為“3型不動點”函數(shù)，故A錯誤；對于B，令，即．易判斷在區(qū)間上單調遞增，所以不可能為“3型不動點”函數(shù)，故B錯誤；對于C，由，得，易知當時，單調遞減，且，所以當時，的圖象與直線有且只有一個交點；當時，單調遞減，且；當時，單調遞增．令，得，解得，此時，所以直線與曲線相切于點．所以直線與曲線共有兩個交點，所以為“2型不動點”函數(shù)，故C錯誤；對于D，，作出的圖象，如圖所示．易知其與直線有且只有三個不同的交點，即有三個不同的解，所以為“3型不動點”函數(shù)，故D正確．故選D.9．【答案】ABD【詳解】對于A，因為拋物線的焦點到準線的距離為2，所以，所以拋物線，所以拋物線的準線方程為，故A正確；對于B，設的中點為D點，過D點作準線的垂線，垂足為，可得，所以B正確；對于C，設、，則由拋物線的定義可得：,，的中點為，的中點到軸的距離為，所以以線段為直徑的圓與軸相切，故C正確；對于D，、，所以的中點，，設直線為，所以聯(lián)立，所以，所以，因為，所以，以線段為直徑的圓過定點，故D正確.故選ABD.10．【答案】BD【詳解】A選項，因為原始數(shù)據(jù)的經驗回歸方程為，斜率為負數(shù)，所以樣本負相關，A選項錯誤；B選項，，所以，B選項正確；C選項，由圖可知處理后的數(shù)據(jù)的殘差分布更集中，說明處理后的數(shù)據(jù)的殘差方差更小，所以，C錯誤；D選項，處理后的數(shù)據(jù)的經驗回歸方程的斜率絕對值更大，這表明處理后的數(shù)據(jù)的線性關系更強，因此決定系數(shù)變大，D選項正確.故選BD.11．【答案】ACD【詳解】由題意，假設每種不同的顏色代表選項給出的一個基本圖形A項，∴能夠用12個圖形完全覆蓋住剩余部分，A正確；C項，∴能夠用6個圖形完全覆蓋住剩余部分，C正確；D項，∴能夠用8個圖形完全覆蓋住剩余部分，D正確；而B項則無法不重疊地將剩余部分覆蓋住，故選ACD.12．【答案】(1)的方程為；的方程為(2)證明見解析(3)【詳解】（1）設雙曲線的半焦距為，則，又因為離心率為，所以，代入得，解得，所以雙曲線的方程為．因為拋物線焦點到準線的距離為1，所以，所以拋物線的方程為．（2）設雙曲線的半焦距為，則，又因為離心率為，所以，代入得，解得，所以雙曲線的方程為．因為拋物線焦點到準線的距離為1，所以，所以拋物線的方程為．（3）設，因為函數(shù)的導數(shù)為，所以直線的方程為，由于在直線上，則，同理，所以均滿足方程，所以直線的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，則，又因為到直線的距離，所以面積，又因為，所以，當為時取最小值，所以面積最小值為．13．【答案】(1)4(2)(3)【詳解】（1）由題意可知，，由二項分布的期望公式可得．（2）記事件分別表示該學生來自甲，乙，丙組，事件B表示該同學能猜對，所以，，由全概率公式可得．所以，該學生能猜對的概率為．（3）由題意可知，積分增加1分的概率為，增加2分的概率為，記得分為的概率為，且，，所以，，且，所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，則，由累加法可得．因此，戊組獲勝的概率為．14．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，，故曲線在點處的切線方程為．（2），①當時，，因為，所以，此時在無最小值；②當時，（i）若，則在上，，所以在上單調遞增，無最小值．（ii）若，則時，有在上單調遞減，時，有在上單調遞增，故在上的最小值為，即，整理得，解得或（舍去）．綜上，得．15．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因為，且平面平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以；（2）取的中點，連接，則，又，所以四邊形為平行四邊形，因為平面平面，所以，故四邊形為矩形，在中，，又，所以在中，，所以．因為平面平面，所以，又因為平面，且，所以平面，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則．，設平面的法向量為，則，即，可?。O平面的法向量為，則，即，可?。O二面角的大小為，則則二面角的正弦值為；（3）設，則，設平面的法向量為，則，即，可?。驗?，所以，故，設，則，令，得，解得（舍去），，故時，時，，所以，故的最大值為．16．【答案】(1)證明見解析(2)存在；或或或或或【詳解】（1）由，得，又數(shù)列的各項均為正數(shù)，則，所以，又，所以數(shù)列是以3為首項，以3為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）得，于是，假設存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則，即，即，整理得，因為均為正整數(shù)且，所以的正整數(shù)解為：或或或或或所以存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列．17．【答案】【詳解】∵，∴,.當且僅當，即時等號成立.又，∴，∴.故答案為：18．【答案】80【詳解】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：，因為，所以數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第5個數(shù)