2025年山東省淄博市臨淄區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2025年山東省淄博市臨淄區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，每小題4分，滿分40分，錯選、不選、多選，均記0分．）1．（4分）篆刻是中華傳統(tǒng)藝術(shù)之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（）A． B． C． D．2．（4分）如圖，數(shù)軸上點P向右平移3個單位后表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．（4分）請用我們課本上采用的科學(xué)計算器按鍵，顯示的結(jié)果最接近的整數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．34．（4分）若不等式組有解，則m的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．65．（4分）在一個不透明的袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色小球．已知袋中有紅球2個，白球5個，從袋中隨機摸出一個紅球的概率是，則袋中黑球的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．56．（4分）一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則下列說法錯誤的是（）A．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，?，x6的中位數(shù) B．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，?，x6的平均數(shù) C．x2，x3，x4，x5的方差不大于x1，x2，?，x6的方差 D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，?，x6的極差7．（4分）計算的結(jié)果是（）A．x2 B．x2+n C． D．x2n8．（4分）如圖，已知AB∥CD，點E為AC上一點，下列說法不一定正確的是（）A．∠C+∠A＝180° B．∠B+∠D＝∠BED C．∠CED+∠CDE＝∠CAB D．∠C+∠D＝180°﹣∠AED9．（4分）如圖，在?ABCD中，以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF，交DE于點M，過點M作MN∥AB交BC于點N，若MN＝4，AE：EB＝2：1，則AD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．510．（4分）如圖，拋物線y＝x2﹣2x+m（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B．①拋物線y＝x2﹣2x+m與直線y＝﹣4x+m﹣1有且只有一個交點；②m的取值范圍為﹣3＜m＜0；③若點M（﹣1，y1），點N（0，y2），點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＞y2＞y3；④若將該拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，所得拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2+m；⑤若點A關(guān)于直線x＝1的對稱點為C，點D，E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝﹣2時，四邊形BCDE周長的最小值為．其中正確結(jié)論的序號有（）A．①②④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．②③④二、填空題（每小題4分，共20分）11．（4分）請寫出2xy的一個同類項：．12．（4分）分解因式（m+n）2﹣4（m+n）+4＝．13．（4分）如圖，將線段AB先向右平移1個單位，再繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段A′B′，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是．14．（4分）如圖，曲線C2是雙曲線繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形，P是曲線C2上任意一點，點A在直線l：y＝x上，且PA⊥OA，則△POA的面積為．15．（4分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，點D，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則5GF+4FB的最小值是．三、解答題（第16，17，18，19題每題10分；第20，21題每題12分，第22，23題每題13分；滿分90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．16．（10分）（1）計算：；（2）化簡：．17．（10分）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球所在位置A處看一棟樓頂部B處的仰角為35°，看這棟樓底部C處的俯角為61°．已知這棟樓BC的高度為300m，求熱氣球所在位置與樓的水平距離（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，tan61°≈1.8018．（10分）隨著AI技術(shù)的發(fā)展，越來越多的人借助AI軟件協(xié)助辦公和學(xué)習(xí)，某公司組織全體員工學(xué)習(xí)和使用AI軟件，并抽取部分員工每天學(xué)習(xí)使用的累計時間t（分鐘）進行統(tǒng)計調(diào)查，記：A組“t＜60”，B組“60≤t＜90”，C組“90≤t＜120”，D組“t≥120”，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）這次抽樣調(diào)查的人數(shù)是人，本次抽查的每天學(xué)習(xí)和使用時間的中位數(shù)落在組；（2）B組所在扇形的圓心角大小是度；（3）該公司共有800人，估計該公司平均每天學(xué)習(xí)和使用不少于90分鐘的人數(shù)是多少？19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A（3，m），B兩點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出時x的取值范圍；（3）若點C為y軸正半軸上一點，且滿足AC⊥BC，求點C的坐標(biāo)．20．（12分）當(dāng)前，隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)正進入加速發(fā)展的新階段.2023年，我國已成為全球最大的新能源汽車市場，“購買新能源汽車到底劃不劃算？”是消費者關(guān)心的話題之一．下面是車身價相同的燃油車與新能源汽車的部分相關(guān)信息對比：燃油車油箱容積：50升油價：7.2元/升續(xù)航里程：a千米每千米行駛費用：元新能源汽車電池容量：80千瓦時電價：0.55元/千瓦時續(xù)航里程：a千米每千米行駛費用：元（1）若燃油車每千米的行駛費用比新能源汽車每千米的行駛費用多0.79元，分別求出這兩款車每千米行駛的費用；（2）若燃油車和新能源汽車每年其它費用分別為4240元和7400元，問：每年行駛里程超過多少千米時，買新能源汽車的年費用更低？（年費用＝年行駛費用+年其它費用）21．（12分）如圖1所示，A，B，C，D是⊙O上的四個點，BD是⊙O的直徑，AB＝AC，AD交BC于點E，AE＝2，ED＝4．（1）求證：△ABE∽△ADB；（2）求AB的長；（3）連接OA，交BC于點F，求圖2中陰影部分的面積．22．（13分）東漢末年，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》注中用一幅“弦圖”巧妙證明了勾股定理．這幅圖（如圖1）由四個全等的直角三角形（稱為“朱實”）和一個小正方形（稱為“黃實”）拼成一個大正方形ABCD．其中，Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△CDG≌Rt△DHA，四邊形EFGH恰為正方形，體現(xiàn)了“數(shù)形相生”的思想．今年3月14日，恰逢學(xué)校數(shù)學(xué)文化節(jié)，數(shù)學(xué)社的同學(xué)們接到了一項實踐探究任務(wù)：仿照趙爽弦圖，探究圖形的分解與再生．（1）任務(wù)一：弦圖生變，形解三角某數(shù)學(xué)探究小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，將正方形變成三角形，如圖2所示，在正△ABC的內(nèi)部，構(gòu)造∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF，兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點（D，E，F(xiàn)三點不重合）．①請?zhí)骄俊鰽BD，△BCE，△CAF是否全等？②△DEF是否為等邊三角形？請說明理由．（2）任務(wù)二：弦圖拓新，巧構(gòu)六合該數(shù)學(xué)探究小組仿照趙爽弦圖，利用6個全等的三角形和一個小的正六邊形GHMNPQ，拼成一個大正六邊形ABCDEF，如圖3所示，若點G為AH的中點，求大正六邊形ABCDEF與小正六邊形GHMNPQ的面積比．（3）任務(wù)三：弦圖妙用，面積探究該數(shù)學(xué)探究小組又嘗試將正方形變成矩形，如圖4所示，由兩對全等的直角三角形（△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD，請?zhí)骄俊鰽DH與△DCG是否相似？并說明理由．若BC＝2AB，HG＝2，連結(jié)CH，tan∠CDG＝（tan∠CHG）2，求矩形EFGH的面積．23．（13分）已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C（0，8），對稱軸為直線x＝1，直線AD交拋物線于點D（2，m），連接BD．（1）求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；（2）如圖1所示，點E在線段AB上運動，過點E作AD的平行線，交BD于點F，連接DE，求△DEF面積的最大值；（3）如圖2所示，直線x＝4上有一個動點G，點G在第一象限內(nèi)，過點G作任意一條直線交拋物線于P，Q兩點，AP，AQ所在的直線，分別交y軸與M，N兩點，則是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

2025年山東省淄博市臨淄區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案DDCABBDDCA一、選擇題（本題共10小題，在每小題所給出的四個選項中，只有一個是正確的，每小題4分，滿分40分，錯選、不選、多選，均記0分．）1．（4分）篆刻是中華傳統(tǒng)藝術(shù)之一，雕刻印章是篆刻基本功．如圖是一塊雕刻印章的材料，其俯視圖為（）A． B． C． D．【解答】解：俯視圖為是．故選：D．2．（4分）如圖，數(shù)軸上點P向右平移3個單位后表示的數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：由題意得，﹣1向右平移3個單位后表示的數(shù)是﹣1+3＝2，故選：D．3．（4分）請用我們課本上采用的科學(xué)計算器按鍵，顯示的結(jié)果最接近的整數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：運用科學(xué)計算器錄入后顯示的數(shù)據(jù)結(jié)果為1.7320?，∴最接近整數(shù)2，故選：C．4．（4分）若不等式組有解，則m的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：，解不等式①，得x＜4，∵不等式組有解，∴m＜4，A．∵3＜4，∴m能為3，故本選項符合題意；B．∵4＝4，∴m不能為4，故本選項不符合題意；C．∵5＞4，∴m不能為5，故本選項不符合題意；D．∵6＞4，∴m不能為6，故本選項不符合題意；故選：A．5．（4分）在一個不透明的袋中，裝有一些除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色小球．已知袋中有紅球2個，白球5個，從袋中隨機摸出一個紅球的概率是，則袋中黑球的個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：設(shè)袋中黑球有x個，∵袋中有紅球2個，白球5個，從袋中隨機摸出一個紅球的概率是，∴，解得x＝3，經(jīng)檢驗，x＝3是分式方程的解，即袋中黑球的個數(shù)為3，故選：B．6．（4分）一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，則下列說法錯誤的是（）A．x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，?，x6的中位數(shù) B．x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，?，x6的平均數(shù) C．x2，x3，x4，x5的方差不大于x1，x2，?，x6的方差 D．x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，?，x6的極差【解答】解：根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的概念及計算判定如下：一組數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6中位數(shù)是，平均數(shù)為，一組數(shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的中位數(shù)，故A選項正確，不符合題意；一組數(shù)據(jù)x2，x3，x4，x5的平均數(shù)，故B選項錯誤，符合題意；∵去掉了最大值，和最小值，數(shù)據(jù)波動變小了，∴x2，x3，x4，x5的方差不大于x1，x2，?，x6的方差，故C選項正確，不符合題意；∴x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，?，x6的極差，故D選項正確，不符合題意．故選：B．7．（4分）計算的結(jié)果是（）A．x2 B．x2+n C． D．x2n【解答】解：原式＝（xn）2＝x2n．故選：D．8．（4分）如圖，已知AB∥CD，點E為AC上一點，下列說法不一定正確的是（）A．∠C+∠A＝180° B．∠B+∠D＝∠BED C．∠CED+∠CDE＝∠CAB D．∠C+∠D＝180°﹣∠AED【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠A＝180°，所以A正確不符合題意；過點E作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），∴∠B+∠D＝∠BEF+DEF＝∠BED，所以B選項正確，不符合題意；由三角形內(nèi)角和定理可知，∠CED+∠CDE＝180°﹣∠C＝∠A，所以C正確，不符合題意；由三角形外角的性質(zhì)可知，∠C+∠D＝∠AED≠180°﹣∠AED，所以D不一定正確，符合題意；故選：D．9．（4分）如圖，在?ABCD中，以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點F，作射線AF，交DE于點M，過點M作MN∥AB交BC于點N，若MN＝4，AE：EB＝2：1，則AD的長為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：由作圖以A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接DE，分別以D，E為圓心，可知AD＝AE，∴AF垂直平分DE，則DM＝EM，取AE的中點G，連接MG，即AG＝EG，∴MG∥AD∥BC，，∵MN∥AB，∴四邊形MGBN是平行四邊形，∴MN＝BG＝4，又∵AE：EB＝2：1，即，∴AG＝EG＝BE，而BG＝GE+NE＝4，∴BE＝GE＝2，則AD＝AE＝2GE＝4，故選：C．10．（4分）如圖，拋物線y＝x2﹣2x+m（m為常數(shù)）交y軸于點A，與x軸的一個交點在2和3之間，頂點為B．①拋物線y＝x2﹣2x+m與直線y＝﹣4x+m﹣1有且只有一個交點；②m的取值范圍為﹣3＜m＜0；③若點M（﹣1，y1），點N（0，y2），點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y1＞y2＞y3；④若將該拋物線向右平移2個單位，再向上平移1個單位，所得拋物線的解析式為y＝（x﹣3）2+m；⑤若點A關(guān)于直線x＝1的對稱點為C，點D，E分別在x軸和y軸上，當(dāng)m＝﹣2時，四邊形BCDE周長的最小值為．其中正確結(jié)論的序號有（）A．①②④ B．①③⑤ C．②③⑤ D．②③④【解答】解：拋物線y＝x2﹣2x+m（m為常數(shù)）交y軸于點A，∴a（0，m），m＜0，則有x2+2x+1＝0，∴Δ＝4﹣4＝0，∴拋物線y＝x2﹣2x+m與直線y＝﹣4x+m﹣1有且只有一個交點，故①正確；∵拋物線y＝x2﹣2x+m（m為常數(shù)）與x軸的一個交點在2和3之間，對稱軸直線為，∴另一個交點在0和﹣1之間，根據(jù)圖示可得，當(dāng)x＝﹣1時，y＝1+2+m＞0，∴m＞﹣3，當(dāng)x＝0時，y＝m＜0，∴﹣3＜m＜0，故②正確；若點M（﹣1，y1），點N（0，y2），點P（2，y3）在該函數(shù)圖象上，對稱軸直線為x＝1，離對稱軸直線越近，函數(shù)值越小，∴1﹣（﹣1）＝2，1﹣0＝1，2﹣1＝1，∴y1＞y2＝y(tǒng)3，故③錯誤；∵二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+m﹣1，∴平移后得拋物線的解析式為y＝（x﹣1﹣2）2+m﹣1+1＝（x﹣3）2+m，故④正確；當(dāng)m＝﹣2時，則A（0，﹣2），∴點A關(guān)于直線x＝1的對稱點為C（2，﹣2），∴頂點坐標(biāo)B（1，﹣3），則，如圖所示，作點B關(guān)于y軸對稱點B′（﹣1，﹣3），作點C關(guān)于x軸對稱點C′（2，2），∴BE＝B′E，DC＝DC′，∴四邊形BC+CD+DE+EB＝BC+C′D+DE+EB′，當(dāng)點C′，D，E，B′四點共線時，CD+DE+EB＝C′D+DE+EB′＝C′B′值最小，∴，∴周長的最小值為，故⑤錯誤．綜上所述，正確的有①②④，故選：A．二、填空題（每小題4分，共20分）11．（4分）請寫出2xy的一個同類項：15xy（答案不唯一）．【解答】解：答案不唯一，如15xy．故答案為：15xy（答案不唯一）．12．（4分）分解因式（m+n）2﹣4（m+n）+4＝（m+n﹣2）2．【解答】解：（m+n）2﹣4（m+n）+4＝（m+n﹣2）2．故答案為：（m+n﹣2）2．13．（4分）如圖，將線段AB先向右平移1個單位，再繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段A′B′，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（3，1）．【解答】解：如圖，線段AB經(jīng)過平移和旋轉(zhuǎn)后，點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（3，1），故答案為：（3，1）．14．（4分）如圖，曲線C2是雙曲線繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到的圖形，P是曲線C2上任意一點，點A在直線l：y＝x上，且PA⊥OA，則△POA的面積為1．【解答】解：如圖：∵點A在直線l：y＝x上，∴由題意可得：Rt△OAP和Rt△OA′P′重合，∵，∴S△OAP＝1，故答案為：1．15．（4分）如圖，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，點D，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的動點，連接CD，過點A作AE⊥CD交BC于點E，垂足為G，連接GF，則5GF+4FB的最小值是13．【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，如圖，由勾股定理得：AB5，∴，作∠CBL＝∠BAC，過點F作FN⊥BL，過點G作GM⊥BL，則：，∴，∴，∴當(dāng)FG+FN的值最小時，5GF+4FB的值最小，∵FG+FN≥GM，∴當(dāng)GM最小時，F(xiàn)G+FN的值最小，5GF+4FB的值最小，∵AG⊥CD，∴∠ACG＝90°，∴點G在以AC為直徑的圓上，取AC的中點O，連接OG，過點O作OH⊥BL，OH交BC于點F′，∴GM≥OM﹣OG≥OH﹣OG，，∴當(dāng)O，G，H三點共線時，GM的值最小為HG的長，此時點F與點F′重合，∵∠OF′B＝∠ACB+∠COF′＝∠F′HB+∠F′BH，∠ACB＝∠F′BH＝90°，∴∠COF′＝∠CBL，∴∠COF′＝∠CAB，∴OF′∥AB，∴，∴，在直角三角形COF′中，由勾股定理得：，∴，∴，∴FG+FN的最小值為，∴5GF+4FB的最小值為；故答案為：13．三、解答題（第16，17，18，19題每題10分；第20，21題每題12分，第22，23題每題13分；滿分90分）解答要寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．16．（10分）（1）計算：；（2）化簡：．【解答】解：（1）原式＝4﹣1＝3；（2）原式．17．（10分）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球所在位置A處看一棟樓頂部B處的仰角為35°，看這棟樓底部C處的俯角為61°．已知這棟樓BC的高度為300m，求熱氣球所在位置與樓的水平距離（結(jié)果保留整數(shù)）參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，tan61°≈1.80【解答】解：如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)題意，∠BAD＝35°，∠CAD＝61°，BC＝300m，∵tan∠BAD，∴BD＝AD?tan35°，∵tan∠CAD，∴CD＝AD?tan61°，又∵BC＝BD+CD，∴AD?tan35°+AD?tan61°＝300，AD120（m），答：水平距離120m．18．（10分）隨著AI技術(shù)的發(fā)展，越來越多的人借助AI軟件協(xié)助辦公和學(xué)習(xí)，某公司組織全體員工學(xué)習(xí)和使用AI軟件，并抽取部分員工每天學(xué)習(xí)使用的累計時間t（分鐘）進行統(tǒng)計調(diào)查，記：A組“t＜60”，B組“60≤t＜90”，C組“90≤t＜120”，D組“t≥120”，繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）這次抽樣調(diào)查的人數(shù)是200人，本次抽查的每天學(xué)習(xí)和使用時間的中位數(shù)落在B組；（2）B組所在扇形的圓心角大小是126度；（3）該公司共有800人，估計該公司平均每天學(xué)習(xí)和使用不少于90分鐘的人數(shù)是多少？【解答】解：（1）這次抽樣調(diào)查的人數(shù)是45÷22.5%＝200（人），B組人數(shù)為200﹣45﹣60﹣25＝70（人），45+70＝115（人），∴本次抽查的每天學(xué)習(xí)和使用時間的中位數(shù)落在B組，故答案為：200，B；（2），故答案為：126；（3）（人），答：不少于90分鐘的人數(shù)是340人．19．（10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A（3，m），B兩點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出時x的取值范圍；（3）若點C為y軸正半軸上一點，且滿足AC⊥BC，求點C的坐標(biāo)．【解答】解：（1）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A（3，m），B兩點．將點A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)，得：，∴點A的坐標(biāo)為（3，4），將A（3，4）代入反比例函數(shù)，得：4，解得：k＝12，∴反比例函數(shù)的解析式為；（2）由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于A（3，m），B兩點，得：聯(lián)立得：，解得：（與點A重合，舍去）或，∴點B的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4），要使得，只需，即一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，由圖象可知，此時x＞3或﹣3＜x＜0；（3）A（3，4），B（﹣3，﹣4），如圖，∴，∵AC⊥BC，∴OC＝OA＝OB＝5，又∵點C為y軸正半軸上一點，∴點C的坐標(biāo)為（0，5）．20．（12分）當(dāng)前，隨著新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革孕育興起，新能源汽車產(chǎn)業(yè)正進入加速發(fā)展的新階段.2023年，我國已成為全球最大的新能源汽車市場，“購買新能源汽車到底劃不劃算？”是消費者關(guān)心的話題之一．下面是車身價相同的燃油車與新能源汽車的部分相關(guān)信息對比：燃油車油箱容積：50升油價：7.2元/升續(xù)航里程：a千米每千米行駛費用：元新能源汽車電池容量：80千瓦時電價：0.55元/千瓦時續(xù)航里程：a千米每千米行駛費用：元（1）若燃油車每千米的行駛費用比新能源汽車每千米的行駛費用多0.79元，分別求出這兩款車每千米行駛的費用；（2）若燃油車和新能源汽車每年其它費用分別為4240元和7400元，問：每年行駛里程超過多少千米時，買新能源汽車的年費用更低？（年費用＝年行駛費用+年其它費用）【解答】解：（1）依題意得：，解得a＝400，經(jīng)檢驗，a＝400是原分式方程的解，且符合題意，當(dāng)a＝400時，，，答：燃油車每千米的行駛費為0.9元，新能源汽車每千米的行駛費為0.11元；（2）設(shè)每年行駛里程為xkm，依題意得：0.9x+4240＞0.11x+7400，解得x＞4000，答：行駛里程超過4000km時，買新能源汽車的年費用更低．21．（12分）如圖1所示，A，B，C，D是⊙O上的四個點，BD是⊙O的直徑，AB＝AC，AD交BC于點E，AE＝2，ED＝4．（1）求證：△ABE∽△ADB；（2）求AB的長；（3）連接OA，交BC于點F，求圖2中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴，∴∠ABC＝∠ADB，∵∠ABE＝∠ADB，∠BAD＝∠BAD，∴△ABE∽△ADB，（2）解：∵△ABE∽△ADB，∴，∵AE＝2，AD＝AE+ED＝2+4＝6，∴，解得；（3）解：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，則，∴，∴△AOB為等邊三角形，則∠AOB＝60°，∵AB＝AC，∴OA⊥BC，則，，∴陰影部分的面積S扇形AOB﹣S△BOF，所以圖2中陰影部分的面積為．22．（13分）東漢末年，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》注中用一幅“弦圖”巧妙證明了勾股定理．這幅圖（如圖1）由四個全等的直角三角形（稱為“朱實”）和一個小正方形（稱為“黃實”）拼成一個大正方形ABCD．其中，Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△CDG≌Rt△DHA，四邊形EFGH恰為正方形，體現(xiàn)了“數(shù)形相生”的思想．今年3月14日，恰逢學(xué)校數(shù)學(xué)文化節(jié)，數(shù)學(xué)社的同學(xué)們接到了一項實踐探究任務(wù)：仿照趙爽弦圖，探究圖形的分解與再生．（1）任務(wù)一：弦圖生變，形解三角某數(shù)學(xué)探究小組受趙爽弦圖的啟發(fā)，將正方形變成三角形，如圖2所示，在正△ABC的內(nèi)部，構(gòu)造∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF，兩兩相交于D，E，F(xiàn)三點（D，E，F(xiàn)三點不重合）．①請?zhí)骄俊鰽BD，△BCE，△CAF是否全等？②△DEF是否為等邊三角形？請說明理由．（2）任務(wù)二：弦圖拓新，巧構(gòu)六合該數(shù)學(xué)探究小組仿照趙爽弦圖，利用6個全等的三角形和一個小的正六邊形GHMNPQ，拼成一個大正六邊形ABCDEF，如圖3所示，若點G為AH的中點，求大正六邊形ABCDEF與小正六邊形GHMNPQ的面積比．（3）任務(wù)三：弦圖妙用，面積探究該數(shù)學(xué)探究小組又嘗試將正方形變成矩形，如圖4所示，由兩對全等的直角三角形（△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG）和矩形EFGH拼成大矩形ABCD，請?zhí)骄俊鰽DH與△DCG是否相似？并說明理由．若BC＝2AB，HG＝2，連結(jié)CH，tan∠CDG＝（tan∠CHG）2，求矩形EFGH的面積．【解答】解：（1）①△ABD≌△CBE≌△ACF，理由如下：由題意可得：AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝∠CAB＝60°，∵∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，∴∠ABD＝∠BCE＝∠CAD，∴△ABD≌△CBE≌△ACF（ASA）；②△DEF為等邊三角形，理由如下：∵△ABD≌△CBE≌△ACF（ASA），∴AD＝BE＝CF，BD＝CE＝AF，∴DF＝DE＝EF，∴△DEF為等邊三角形；（2）連接AQ，∵，∵6個三角形全等，∴FG＝AH，F(xiàn)Q＝AG，∴，∴FG＝QG＝AG，∵GHMNPQ是正六邊形，∴，∴∠AGF＝180°﹣∠HGF＝180°﹣120°＝60°，∴△AGQ為等邊三角形，