北師大版 第08講 整式的加減（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4種題型+過(guò)關(guān)檢測(cè)）（原卷版）

第08講整式的加減（5個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4種題型+過(guò)關(guān)檢測(cè)）知識(shí)點(diǎn)1．同類項(xiàng)（1）定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．同類項(xiàng)中所含字母可以看成是數(shù)字、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式等．（2）注意事項(xiàng)：①一是所含字母相同，二是相同字母的指數(shù)也相同，兩者缺一不可；②同類項(xiàng)與系數(shù)的大小無(wú)關(guān)；③同類項(xiàng)與它們所含的字母順序無(wú)關(guān)；④所有常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng)．知識(shí)點(diǎn)2．合并同類項(xiàng)（1）定義：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合成一項(xiàng)，叫做合并同類項(xiàng)．（2）合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．（3）合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；字母和字母指數(shù)；②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變．知識(shí)點(diǎn)3．去括號(hào)與添括號(hào)（1）去括號(hào)法則：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反．（2）去括號(hào)規(guī)律：①a+（b+c）＝a+b+c，括號(hào)前是“+”號(hào)，去括號(hào)時(shí)連同它前面的“+”號(hào)一起去掉，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)不變號(hào)；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括號(hào)前是“﹣”號(hào)，去括號(hào)時(shí)連同它前面的“﹣”號(hào)一起去掉，括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)都要變號(hào)．說(shuō)明：①去括號(hào)法則是根據(jù)乘法分配律推出的；②去括號(hào)時(shí)改變了式子的形式，但并沒(méi)有改變式子的值．（3）添括號(hào)法則：添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào)，如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)．添括號(hào)與去括號(hào)可互相檢驗(yàn)．知識(shí)點(diǎn)4．整式的加減（1）幾個(gè)整式相加減，通常用括號(hào)把每一個(gè)整式括起來(lái)，再用加減號(hào)連接；然后去括號(hào)、合并同類項(xiàng)．（2）整式的加減實(shí)質(zhì)上就是合并同類項(xiàng)．（3）整式加減的應(yīng)用：①認(rèn)真審題，弄清已知和未知的關(guān)系；②根據(jù)題意列出算式；③計(jì)算結(jié)果，根據(jù)結(jié)果解答實(shí)際問(wèn)題．【規(guī)律方法】整式的加減步驟及注意問(wèn)題1．整式的加減的實(shí)質(zhì)就是去括號(hào)、合并同類項(xiàng)．一般步驟是：先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)．2．去括號(hào)時(shí)，要注意兩個(gè)方面：一是括號(hào)外的數(shù)字因數(shù)要乘括號(hào)內(nèi)的每一項(xiàng)；二是當(dāng)括號(hào)外是“﹣”時(shí)，去括號(hào)后括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)都要改變符號(hào)．知識(shí)點(diǎn)5．整式的加減—化簡(jiǎn)求值給出整式中字母的值，求整式的值的問(wèn)題，一般要先化簡(jiǎn)，再把給定字母的值代入計(jì)算，得出整式的值，不能把數(shù)值直接代入整式中計(jì)算．題型一、整式加減運(yùn)算1．（23-24七年級(jí)上·四川攀枝花·期中）一個(gè)多項(xiàng)式與的和是，則這個(gè)多項(xiàng)式為（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則．3．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）馬虎同學(xué)在計(jì)算一個(gè)多項(xiàng)式減去另一個(gè)多項(xiàng)式時(shí)，錯(cuò)將減號(hào)抄成了加號(hào)，于是他得到的結(jié)果是，請(qǐng)問(wèn)如果不抄錯(cuò)，正確答案該是多少？題型二、整式加減應(yīng)用4．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知某個(gè)長(zhǎng)方形相鄰的兩邊長(zhǎng)為和，那么這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）一列火車原有人，中途有一半人下車，又有若干人上車，現(xiàn)在車上有人，則上車的人數(shù)是．6．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）將連續(xù)的奇數(shù)1，3，5，7，9，…排成如圖所示的數(shù)表．(1)十字框中的五個(gè)數(shù)之和與中間數(shù)15有什么關(guān)系？(2)設(shè)中間數(shù)為a，如何用代數(shù)式表示十字框中五個(gè)數(shù)之和？(3)若將十字框上下左右移動(dòng)，可框住另外五個(gè)數(shù)，這五個(gè)數(shù)還有上述的規(guī)律嗎？(4)十字框中的五個(gè)數(shù)之和能為2018嗎？能為2025嗎？題型三、整式的加減中的化簡(jiǎn)求值7．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知a是方程的解，則代數(shù)式的值為（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．20268．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，，則代數(shù)式的值是．9．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）我們知道，，類似地，我們把看成一個(gè)整體，則．“整體思想”是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，它在多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)與求值中應(yīng)用極為廣泛．(1)把看成一個(gè)整體，化簡(jiǎn)：；(2)已知，求（1）中整式的值；(3)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．題型四、整式加減中的無(wú)關(guān)問(wèn)題10．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）多項(xiàng)式與的差中不含項(xiàng)，則m的值為（

）A．9 B．3 C．1 D．11．（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）當(dāng)關(guān)于x的多項(xiàng)式中不含二次項(xiàng)和一次項(xiàng)時(shí)，，．12．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）老師寫出一個(gè)整式：，其中、為常數(shù)，且表示為系數(shù)，然后讓同學(xué)們給、賦予不同的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算．(1)甲同學(xué)給出了一組數(shù)據(jù)，然后計(jì)算的結(jié)果為，則甲同學(xué)給出、的值分別是，；(2)乙同學(xué)給出了，，請(qǐng)按照乙同學(xué)給出的數(shù)值化簡(jiǎn)整式；(3)丙同學(xué)給出一組數(shù)，計(jì)算的最后結(jié)果與x的取值無(wú)關(guān)，請(qǐng)直接寫出丙同學(xué)的計(jì)算結(jié)果．一、單選題1．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．2．下列運(yùn)算中正確的是（

）A． B． C． D．3．對(duì)多項(xiàng)式添括號(hào)，正確的是（

）A． B．C． D．4．下列各式計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．5．下列運(yùn)算正確的是（

）A． B． C． D．6．不改變代數(shù)式的值，把的二次項(xiàng)放在前面帶有“+”號(hào)的括號(hào)里，把一次項(xiàng)放在前面帶有“-”號(hào)的括號(hào)里，正確的是（

）A． B．C． D．7．下列計(jì)算正確的是（

）A． B．C． D．8．設(shè)A是一個(gè)三次多項(xiàng)式，B是一個(gè)四次多項(xiàng)式，則的次數(shù)是（

）A．7 B．4 C．3 D．4或39．如圖，六邊形是由9個(gè)等邊三角形拼成的，若中間的小等邊三角形的周長(zhǎng)為，那么六邊形的周長(zhǎng)為（

）．A． B． C． D．10．任意寫下一個(gè)兩位數(shù)，用它兩個(gè)數(shù)位的數(shù)字和的10倍減去這個(gè)兩位數(shù)，得差．然后對(duì)差重復(fù)這一運(yùn)算程序……，以下結(jié)論正確的是（

）A．差是7的倍數(shù) B．差是8的倍數(shù) C．差是9的倍數(shù) D．差是10的倍數(shù)二、填空題11．化簡(jiǎn)：．12．若a＜3，則|a﹣3|﹣（1﹣a）的值是．13．若關(guān)于x的多項(xiàng)式中不含二次項(xiàng)，則．14．若兩個(gè)單項(xiàng)式與的和仍然是單項(xiàng)式，則和的次數(shù)為．15．當(dāng)?shù)闹禐闀r(shí)，與的和不含的一次項(xiàng)．16．已知有理數(shù)，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡(jiǎn)：的結(jié)果為．17．甲、乙、丙三名同學(xué)在課間玩卡牌互動(dòng)游戲：首先三名同學(xué)手上有著相同數(shù)量的卡牌（假定每名同學(xué)手中的卡牌數(shù)量足夠多），然后依次完成以下三個(gè)步驟：第一步，甲同學(xué)拿出三張卡牌給乙同學(xué)；第二步，丙同學(xué)拿出五張卡牌給乙同學(xué)；第三步，甲同學(xué)手中此時(shí)有多少?gòu)埧ㄅ疲彝瑢W(xué)就拿出多少?gòu)埧ㄅ平o甲同學(xué)．請(qǐng)你確定，最終乙同學(xué)手中剩余的卡牌的張數(shù)為．18．對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)P按照如下方式進(jìn)行操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以3，再把表示得到的這個(gè)數(shù)的點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)P′．這樣的操作稱為點(diǎn)P的“倍移”，數(shù)軸上的點(diǎn)A、B經(jīng)過(guò)“倍移”后，得到的點(diǎn)分別為A′、B′，將點(diǎn)A′、B′，若A′B′＝2022，則AB＝．三、解答題19．小林到某紙箱廠參加社會(huì)實(shí)踐，該廠計(jì)劃用50張白板紙制作某種型號(hào)的長(zhǎng)方體紙箱，如圖，每張白板紙有三種剪裁方法，其中種裁法：裁成4個(gè)側(cè)面；種裁法：裁成3個(gè)側(cè)面與2個(gè)底面；種裁法：裁成2個(gè)側(cè)面與4個(gè)底面．已知四個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面恰好能做成一個(gè)紙箱．設(shè)按種方法剪裁的白板紙有張，按種方法剪裁的白板紙有張．(1)按種方法剪裁的白板紙有______張．（用含的式子表示）(2)將50張白板紙剪裁完后，一共可以裁出多少個(gè)側(cè)面與多少個(gè)底面？（用含的式子表示，結(jié)果要化簡(jiǎn)）20．小亮房間窗戶的窗簾如圖（1）所示，它是由兩個(gè)四分之一圓組成（半徑相同）．(1)如圖（1），請(qǐng)用代數(shù)式表示窗簾的面積：________；用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積：__________；（結(jié)果保留π）(2)小亮又設(shè)計(jì)了如圖（2）的窗簾（由一個(gè)半圓和兩個(gè)四分之一圓組成，半徑相同），請(qǐng)你用代數(shù)式表示窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積：________；（結(jié)果保留π）(3)當(dāng)米，米時(shí)，圖（2）中窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積與圖（1）中窗戶能射進(jìn)陽(yáng)光的面積的差為________（π取3）21．整式加減：(1)整式化簡(jiǎn)：．(2)先化簡(jiǎn)，再求值：，其中，．22．有一個(gè)三位數(shù)，其百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為．若這個(gè)三位數(shù)百位數(shù)字的4倍加上十位數(shù)字的2倍，再加上個(gè)位數(shù)字的和能被8整除，則稱這個(gè)三位數(shù)是“航天數(shù)”．如：232，，故232是“航天數(shù)”．（1）請(qǐng)你寫出最小的三位“航天數(shù)”______；并判斷448是否是“航天數(shù)”；（2）請(qǐng)證明任何一個(gè)三位“航天數(shù)”能被8整除，23．我校七年級(jí)有象棋、足球、演講、美術(shù)共四個(gè)社團(tuán)，參加象棋社團(tuán)的有x人，參加足球社團(tuán)的人數(shù)比象棋社團(tuán)的人數(shù)的兩倍少y人，參加演講社團(tuán)的人數(shù)比足球社團(tuán)人數(shù)的一半多1人，每個(gè)學(xué)生都限報(bào)一項(xiàng)，參加社團(tuán)的學(xué)生共有人．(1)足球社團(tuán)有________人，演講社團(tuán)有________人．（用含x，y的式子表示）(2)若，，求美術(shù)社團(tuán)的人數(shù)．24．“歌唱家在家唱歌”“蜜蜂釀蜂蜜”這兩句話從左往右讀和從右往左讀，結(jié)果完全相同．文學(xué)上把這樣的現(xiàn)象稱為“回文”，數(shù)學(xué)上也有類似的“回文數(shù)”，比如252，7887，34143．小明在計(jì)算兩位數(shù)減法的過(guò)程中意外地發(fā)現(xiàn)有些等式從左往右讀的結(jié)果和從右往左讀的結(jié)果一樣，如：；；．?dāng)?shù)學(xué)上把這類等式叫做“減法回文等式”．(1)觀察以上等式，請(qǐng)你再寫出一個(gè)“減法回文等式”；(2)請(qǐng)歸納“減法回文等式”的被減數(shù)（十位數(shù)字為，個(gè)位數(shù)字為）與減數(shù)應(yīng)滿足的條件，并證明．25．如圖：(1)在數(shù)軸上標(biāo)出數(shù)、、、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、、、；(2)、兩點(diǎn)間距離=______；、兩點(diǎn)間距離=______；、兩點(diǎn)間距離______；(3)設(shè)數(shù)軸上兩點(diǎn)、，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為、點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），那么、兩點(diǎn)之間的距離______；(4)若動(dòng)點(diǎn)、分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；已知點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)的速度是每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，則秒后、兩點(diǎn)之間的距離是______．(5)有理數(shù)，在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，試簡(jiǎn)化：．26．某“綜合與實(shí)踐”小組開展了“長(zhǎng)方體紙盒的制作”實(shí)踐活動(dòng)，他們利用邊長(zhǎng)為（）的正方形紙板制作出兩種不同方案的長(zhǎng)方體盒子（圖為無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，圖為有蓋的長(zhǎng)方體紙盒），請(qǐng)你動(dòng)手操作驗(yàn)證制作的可行性并解答問(wèn)題．（紙板厚度及接縫處忽略不計(jì)）

【動(dòng)手操作一】根據(jù)圖方式制作一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒．方法：先在紙板四角剪去四個(gè)同樣大小邊長(zhǎng)為（）的小正方形，再沿虛線折合起來(lái)．(1)該長(zhǎng)方體紙盒的底面面積