第三章 整式及其加減 知識(shí)歸納與題型突破（十七題型清單） （原卷版）-2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)單元速記·巧練（北師大版2024）

第三章整式的加減知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記知識(shí)點(diǎn)1：代數(shù)式定義：用運(yùn)算符號(hào)（加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方等）把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子叫做代數(shù)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是代數(shù)式。注意：①代數(shù)式中除了含有數(shù)、字母和運(yùn)算符號(hào)外，還可以有括號(hào)；②代數(shù)式中不含有“=、>、<、≠”等符號(hào)。等式和不等式都不是代數(shù)式，但等號(hào)和不等號(hào)兩邊的式子一般都是代數(shù)式；③代數(shù)式中的字母所表示的數(shù)必須要使這個(gè)代數(shù)式有意義，是實(shí)際問(wèn)題的要符合實(shí)際問(wèn)題的意義。2.代數(shù)式的書(shū)寫(xiě)格式：①代數(shù)式中出現(xiàn)乘號(hào)，通常省略不寫(xiě)，如vt；②數(shù)字與字母相乘時(shí)，數(shù)字應(yīng)寫(xiě)在字母前面，如4a；③帶分?jǐn)?shù)與字母相乘時(shí)，應(yīng)先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，如應(yīng)寫(xiě)作；④數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“×”號(hào)，即“×”號(hào)不省略；⑤在代數(shù)式中出現(xiàn)除法運(yùn)算時(shí)，一般寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式，如4÷（a-4）應(yīng)寫(xiě)作；注意：分?jǐn)?shù)線(xiàn)具有“÷”號(hào)和括號(hào)的雙重作用。⑥在表示和（或）差的代數(shù)式后有單位名稱(chēng)的，則必須把代數(shù)式括起來(lái)，再將單位名稱(chēng)寫(xiě)在式子的后面，如平方米。知識(shí)點(diǎn)2：?jiǎn)雾?xiàng)式1.單項(xiàng)式定義（1）定義：由數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式。說(shuō)明：?jiǎn)为?dú)的一個(gè)數(shù)或者單獨(dú)的一個(gè)字母也是單項(xiàng)式.2.單項(xiàng)式的系數(shù)：?jiǎn)雾?xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù).說(shuō)明：（1）單項(xiàng)式的系數(shù)可以是整數(shù)，也可能是分?jǐn)?shù)或小數(shù)。如的系數(shù)是3；的系數(shù)是；的系數(shù)是4.8；（2）單項(xiàng)式的系數(shù)有正有負(fù)，確定一個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)，要注意包含在它前面的符號(hào)如的系數(shù)是；的系數(shù)是；（3）對(duì)于只含有字母因數(shù)的單項(xiàng)式，其系數(shù)是1或-1，不能認(rèn)為是0，如的系數(shù)是-1；的系數(shù)是1；（4）表示圓周率的π，在數(shù)學(xué)中是一個(gè)固定的常數(shù)，當(dāng)它出現(xiàn)在單項(xiàng)式中時(shí)，應(yīng)將其作為系數(shù)的一部分，而不能當(dāng)成字母。如2πxy的系數(shù)就是2.3.單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).說(shuō)明：（1）計(jì)算單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，應(yīng)注意是所有字母的指數(shù)和，不要漏掉字母指數(shù)是1的情況。如單項(xiàng)式的次數(shù)是字母z，y，x的指數(shù)和，即4＋3＋1=8，而不是7次，應(yīng)注意字母的指數(shù)是1而不是0；（2）單項(xiàng)式的指數(shù)只和字母的指數(shù)有關(guān)，與系數(shù)的指數(shù)無(wú)關(guān)。如單項(xiàng)式的次數(shù)是2＋3＋4=9而不是13次；（3）單項(xiàng)式是一個(gè)單獨(dú)字母時(shí)，它的指數(shù)是1，如單項(xiàng)式m的指數(shù)是1，單項(xiàng)式是單獨(dú)的一個(gè)常數(shù)時(shí)，一般不討論它的次數(shù)；4、在含有字母的式子中如果出現(xiàn)乘號(hào)，通常將乘號(hào)寫(xiě)作“”或者省略不寫(xiě)。例如：可以寫(xiě)成或5、在書(shū)寫(xiě)單項(xiàng)式時(shí)，數(shù)字因數(shù)寫(xiě)在字母因數(shù)的前面，數(shù)字因數(shù)是帶分?jǐn)?shù)時(shí)轉(zhuǎn)化成假分?jǐn)?shù).知識(shí)點(diǎn)3：多項(xiàng)式1、定義：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式.2、多項(xiàng)式的項(xiàng)：多項(xiàng)式中的每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng).3、多項(xiàng)式的次數(shù)多項(xiàng)式里，次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)叫多項(xiàng)式的次數(shù).4、多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：多項(xiàng)式中所含單項(xiàng)式的個(gè)數(shù)就是多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù).5、常數(shù)項(xiàng)：多項(xiàng)式里，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng).知識(shí)點(diǎn)4：整式（1）單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱(chēng)為整式。（2）單項(xiàng)式或多項(xiàng)式都是整式。（3）整式不一定是單項(xiàng)式。（4）整式不一定是多項(xiàng)式。（5）分母中含有字母的代數(shù)式不是整式；而是今后將要學(xué)習(xí)的分式。知識(shí)點(diǎn)5：同類(lèi)項(xiàng)1.定義：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類(lèi)項(xiàng)。2.合并同類(lèi)項(xiàng)：（1）合并同類(lèi)項(xiàng)的概念：把多項(xiàng)式中的同類(lèi)項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類(lèi)項(xiàng)。（2）合并同類(lèi)項(xiàng)的法則：同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變。（3）合并同類(lèi)項(xiàng)步驟：a．準(zhǔn)確的找出同類(lèi)項(xiàng)。b．逆用分配律，把同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)加在一起（用小括號(hào)），字母和字母的指數(shù)不變。c．寫(xiě)出合并后的結(jié)果。（4）在掌握合并同類(lèi)項(xiàng)時(shí)注意：a.如果兩個(gè)同類(lèi)項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類(lèi)項(xiàng)后，結(jié)果為0.b.不要漏掉不能合并的項(xiàng)。c.只要不再有同類(lèi)項(xiàng)，就是結(jié)果（可能是單項(xiàng)式，也可能是多項(xiàng)式）。說(shuō)明：合并同類(lèi)項(xiàng)的關(guān)鍵是正確判斷同類(lèi)項(xiàng)。0303題型歸納題型一用代數(shù)式表示式

例題1.如圖，陰影部分面積的表達(dá)式為（

）A．a(chǎn)b+14πa2 B．a(chǎn)b?1鞏固訓(xùn)練1.用代數(shù)式表示x的3倍與y的平方的差為（

）A．3x?y2 B．3x?y C．3x?y22．一個(gè)矩形的周長(zhǎng)為30，若矩形的一邊長(zhǎng)用字母x表示，則此矩形的面積為（

）A．x(15?x) B．x(30?x) C．x(30?2x) D．x(15+x)3．甲數(shù)是a，比乙數(shù)的3倍少b，表示乙數(shù)的式子是（

）A．3a?b B．a(chǎn)÷3?b C．a(chǎn)+b÷3 D．

題型二用代數(shù)式的概念及意義

例題2.下列代數(shù)式符合通常書(shū)寫(xiě)規(guī)范的是（

）．A．a(chǎn)×4 B．113a C．s÷t 鞏固訓(xùn)練1．下列各式中，書(shū)寫(xiě)正確的是（

）A．x2y23 B．1122．代數(shù)式5(y?5)的正確含義是（

）A．5乘y減5 B．y的5倍減去5C．y與5的差的5倍 D．5與y的積減去53．一種商品每件成本a元，原來(lái)按成本增加22%定出價(jià)格，現(xiàn)在由于庫(kù)存積壓減價(jià)，按原價(jià)的85%出售，現(xiàn)售價(jià)是題型三求代數(shù)式的值

例題3.若x2+3x的值為12，則3xA．0 B．24 C．34 D．44鞏固訓(xùn)練1．已知m=5，n=4，且mn>0，則A．?9 B．?1 C．9 D．9或?92．若代數(shù)式x+2y的值是3，則代數(shù)式2x+4y?2023的值是．3．若a2?3a+2=5，則3a2?9a+2022的值是．

題型四單項(xiàng)式的判斷

例題4.A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)鞏固訓(xùn)練1．系數(shù)是?15的單項(xiàng)式是（A．?15a B．?x5 C．2．下列代數(shù)式中，是單項(xiàng)式的是（

）A．x2 B．?xy+y C．3x 3．代數(shù)式5x+y，13a2b，x?yπA．3 B．4 C．5 D．6

題型五單項(xiàng)式的項(xiàng)和次數(shù)

例題5.單項(xiàng)式?5xy3A．系數(shù)是?5，次數(shù)是3 B．系數(shù)是?5C．系數(shù)是?52，次數(shù)是3鞏固訓(xùn)練1．單項(xiàng)式?x3y5的系數(shù)是2．單項(xiàng)式?37x3y2的次數(shù)是，系數(shù)是．

題型六多項(xiàng)式的判斷

例題6.下列式子13ab，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．下列式子：2a2b,3xy?2A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．代數(shù)式2a+b，a+b2r，?7，?14A．2 B．3 C．4 D．53．下列式子：①a2b+ab?b2；②0；③?xy23；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

題型七多項(xiàng)式的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)或次數(shù)

例題7.對(duì)于多項(xiàng)式7x2?3x?5A．它是二次三項(xiàng)式 B．各項(xiàng)分別是7x2，3xC．最高次項(xiàng)的系數(shù)是7 D．常數(shù)項(xiàng)是?5鞏固訓(xùn)練

1．多項(xiàng)式4a3b3?8ab+7a2b?15的二次項(xiàng)系數(shù)是2．多項(xiàng)式2a3b3．多項(xiàng)式a4?2a2b+

題型八多項(xiàng)式系數(shù)、指數(shù)中字母求值

例題8.如果多項(xiàng)式5xa?b?3x+6是關(guān)于xA．a(chǎn)=1,b=3 B．a(chǎn)=1,b=4 C．a(chǎn)=2,b=3 D．a(chǎn)=2,b=4鞏固訓(xùn)練

1．多項(xiàng)式x2ym+m+1xy+2是關(guān)于A．±1 B．?1 C．1 D．±32．多項(xiàng)式xm?m?4x+7是關(guān)于x的四次三項(xiàng)式，則A．?2 B．4 C．?4 D．4或?4題型九去括號(hào)和添括號(hào)

例題9.先去括號(hào)，再合并同類(lèi)項(xiàng)：(1)(2m?3)+m?(3m?2)；(2)4x?2(?5x+3x?6)．鞏固訓(xùn)練1．將下列各式去括號(hào)，并合并同類(lèi)項(xiàng)．(1)7y?2x?7x?4y2x?5y?3x?5y+1(5)?8x2+6x題型十同類(lèi)項(xiàng)和合并同類(lèi)項(xiàng)

例題10.已知單項(xiàng)式4x2ym與單項(xiàng)式A．?4 B．8 C．4 D．?8

鞏固訓(xùn)練

1．下列各題中的兩個(gè)項(xiàng)，不屬于同類(lèi)項(xiàng)的是（

）A．2x2y與?12yx2 B．1與?322．若5a2x?1b3與?2abA．4 B．3 C．2 D．13．若單項(xiàng)式2xm?1y2與單項(xiàng)式13A．2 B．?2 C．3 D．?3題型十一整式的加減運(yùn)算

例題11.化簡(jiǎn)：(1)32x?7y?4x?10y；鞏固訓(xùn)練1．化簡(jiǎn)：(1)x?2x?y(2)2a2．已知A=4a2+2a?1(1)2A?B；(2)?3A?2B．3．化簡(jiǎn)(1)?xy(2)3?ab+2a

題型十二整式的加減中的化簡(jiǎn)求值

例題12.先化簡(jiǎn)，再求值：(1)2a2?a(2)2x2?2y

鞏固訓(xùn)練

1．先化簡(jiǎn)，再求值：4xy+3x22．先化簡(jiǎn)，再求值：?212a3．先化簡(jiǎn)，再求值∶2a2b+ab2?2a2b?1?ab2?2，其中題型十三整式加減的應(yīng)用例題13.小紅臥室的窗戶(hù)上半部分是由4個(gè)扇形組成的半圓形，下半部分為4個(gè)大小一樣的長(zhǎng)方形組成的大長(zhǎng)方形，小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬的比為3:2，已知小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a．(1)求這個(gè)窗戶(hù)的面積和窗戶(hù)外框的總長(zhǎng)．(2)小紅想給窗戶(hù)上方做裝飾物，裝飾物所占的面積為上半部分半圓面積的13鞏固訓(xùn)練1．體育分值在中考總分中的比例逐漸加大，某校為適應(yīng)新中考要求，決定采購(gòu)一批某品牌足球和跳繩，用于學(xué)生訓(xùn)練，學(xué)校查閱天貓網(wǎng)店后發(fā)現(xiàn)足球每個(gè)定價(jià)129元，跳繩每條定價(jià)19元，現(xiàn)有A，B兩家網(wǎng)店均提供包郵服務(wù)，并提出了各自的優(yōu)惠方案，A網(wǎng)店：買(mǎi)一個(gè)足球送一條跳繩；B網(wǎng)店：足球和跳繩都按定價(jià)的90%付款，已知學(xué)校要采購(gòu)足球100個(gè)，跳繩x條（x>100)．(1)請(qǐng)用含x的代數(shù)式分別表示在這兩家網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)，各需付款多少元？(2)若x=300時(shí)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明此時(shí)在哪家網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)較為合算？2．如圖，長(zhǎng)為60cm，寬為xcm的大長(zhǎng)方形被分割成7小塊，除陰影A，B外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形．其較短一邊長(zhǎng)為(1)從圖中可知，這5塊完全相同的小長(zhǎng)方形中，每塊小長(zhǎng)方形較長(zhǎng)邊的長(zhǎng)是_______cm（用含y的代數(shù)式表示）．(2)分別計(jì)算陰影A，B的周長(zhǎng)（用含x，y的代數(shù)式表示）．(3)陰影A與陰影B的周長(zhǎng)差會(huì)不會(huì)隨著x的變化而變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)為(7a+b)米，寬為(6+2a+2b)米．將這塊長(zhǎng)方形鐵皮的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為(a+b)米的正方形，然后沿虛線(xiàn)折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子．（1）求這個(gè)盒子底部的長(zhǎng)和寬（用含a、b的式子表示，要求化簡(jiǎn)）；（2）求這塊長(zhǎng)方形鐵皮的周長(zhǎng)（用含a、b的式子表示，要求化簡(jiǎn)）；

題型十四整式加減中的無(wú)關(guān)型問(wèn)題

例題14.已知A=3x(1)計(jì)算A+2B；(2)若A+2B的值與y的取值無(wú)關(guān)，求x的值．

鞏固訓(xùn)練

1．已知A=2x(1)當(dāng)x=?1,y=2時(shí)，求A?2B的值；(2)若2A?4B的值與y無(wú)關(guān)，求x的值．2．已知A=?3x?4xy+3y，(1)當(dāng)x+y=53，xy=?(2)若A?3B的值與x的取值無(wú)關(guān)，求y的值．3．已知代數(shù)式A=3x2(1)求A?3B；(2)當(dāng)x=?1，y=2(3)若A?3B的值與x的取值無(wú)關(guān)，求y的值.

題型十五日歷中的規(guī)律

例題15.如圖是某月的日歷．(1)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，帶陰影的方框中的9個(gè)數(shù)之和與方框正中的數(shù)有什么關(guān)系？(2)不改變方框的大小，如果將帶陰影的方框移至其他幾個(gè)位置試一試（方框內(nèi)必須有數(shù)字），上述關(guān)系還成立嗎？如成立，請(qǐng)說(shuō)明為什么成立（盡量用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述）【活學(xué)活用】小剛是個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋的同學(xué)，在發(fā)現(xiàn)教程中的用方框在日歷中移動(dòng)的規(guī)律后，突發(fā)奇想，將連續(xù)的偶數(shù)2，4，6，8，…，排成如圖形式，并用一個(gè)十字形框架框住其中的五個(gè)數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察十字形框架中的數(shù)字的規(guī)律，并回答下列問(wèn)題：

(3)十字框中的五個(gè)數(shù)的和與中間的數(shù)16有什么關(guān)系？(4)設(shè)中間的數(shù)為x，用代數(shù)式表示十字框中的五個(gè)數(shù)的和；(5)若將十字框上下左右移動(dòng)，可框住另外的五位數(shù)，其它五位數(shù)的和能等于100嗎？如能，寫(xiě)出這五位數(shù)，如不能，說(shuō)明理由．

鞏固訓(xùn)練

1．在某月的日歷上用長(zhǎng)方形圈到a，b，c，d四個(gè)數(shù)（如圖），如果d=15，那么a+b+c的值為（

）A．22 B．25 C．29 D．302．如圖，用“十”字形框，任意套中2022年元月份日歷中的五個(gè)數(shù)，則這五個(gè)數(shù)的和不可能是（

）

A．40 B．42 C．60 D．453．下表是2002年12月份的日歷，現(xiàn)在用一個(gè)長(zhǎng)方形在日歷中任意框出4個(gè)數(shù)a?bc?d

題型十六數(shù)字中的規(guī)律

例題16.觀察下列算式：31=3，3A．1 B．3 C．9 D．7

鞏固訓(xùn)練

1．中國(guó)古代用算籌來(lái)進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱、橫兩種形式(如圖所示)，表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼由高位到低位從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、萬(wàn)位……用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（

）A． B．C． D．2．等邊△ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、C對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為0和?1，若△ABC繞頂點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛟跀?shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1，則連續(xù)翻轉(zhuǎn)若干次后，數(shù)2024對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．