2023年全國初中數(shù)學競賽試題及答案

中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會

2023年全國初中數(shù)學競賽試題

一二三

題號總分

1~56?1011121314

得分

評卷人

復查人

答題時注意：

1.用圓珠筆或鋼筆作答；

2.解答書寫時不要超過裝訂線；

3.草稿紙不上交.

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A.B,C,D的四個選項，其中

有且只有一個選項是對的的.請將對的選項的代號填入題后的括號里,不填、多填或錯填都得。分）

1（甲）.假如實數(shù)明》，。在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式

III14

7?-14+〃|+J（C-4）2+|〃+c|可以化簡為（）.

A.2c-a

B.2a-2b

C.-a

D.a

1（乙）.假如a=-2+&,那么1+——的值為（）.

2+——

3+。

A.-V2?B.X/2C.2oD.2>/2

2（甲）.假如正比例函數(shù)），=”（〃#（））與反比例函數(shù)），=2gwo）的圖象有兩個交點,其中一個交點

的坐標為（-3,-2）,那么另一個交點的坐標為（).

A.（2,3）。B.（3,-2）C.（-2,3）°D.（3,2）

2（乙）.在平面直角坐標系xO），中，滿足不等式f+），2?2戈+2），的整數(shù)點坐標（x,y）的個數(shù)為

（）.

A.10oB.9C.7oD.5

3（甲）.假如a,人為給定的實數(shù)，且那么I,a+L2a+b,a+H1這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)與

中位數(shù)之差的絕對值是（）.

3（乙）.如圖,四邊形ABC。中，AC、8。是對角線，八鉆。是等邊三角形.ZA￡>C=30o,

AD=3.AO=5.則CD的長為（）.

A.3&。山.4C.2N/5D.4.5

4（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣.小倩對小玲說：“你若給我2元，我的

錢數(shù)將是你的〃倍”；小玲對小倩說：“你若給我〃元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中〃為正整數(shù)，則〃的

也許值的個數(shù)是（）.

A.1血2oC.3?D.4

4（乙）.假如關于x的方程x2-px-q=0Cp,9是正整數(shù)）的正根小于3,那么這樣的方程的個數(shù)是

().

A.5oB.6C.7D.8

5（甲）.一枚質地均勻的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別是123,4,5,6.擲兩次骰子，設其朝上的

面上的兩個數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0,1,2,3的概率為“。，ZV則〃0,/V〃2,中最大

的是（）.

A.p（）?B.P]。C.p2?D.p、

5（乙）.黑板上寫有LL-」-共1（）0個數(shù)字.每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個數(shù)a,b,

23100

然后刪去a,b,并在黑板上寫上數(shù)a+H而，則通過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（）.

A.2023B.101C100-D.99

二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）

6（甲）.按如圖的程序進行操作，規(guī)定:程序運營從“輸入一個值一到“結果是否＞487?”為一次操

作.假如操作進行四次才停止，那么x的取值范圍是.

逑人三卜畫一曰一叵畫],國

t---------------------------------

6（乙）.假如a",c是正數(shù)，且滿足a+h+c=9,—-—+—-—+—--=—＞那么

a+bb+cc+a9

二十」一+二的值為________.

b+cc+aa+b

和（甲）.如圖，正方形ABCD的邊長為2而，E、尸分別是AB、BC的中點，AF與DE、DB分

別交于點M、N，則4DMN的面積是.

7（乙）.如圖,。。的半徑為20,4是。0上一點。認為。4對角線作矩形084。，且太=12.延長8。,

與。O分別交于DE兩點，則CE'-%）的值等于.

產+（加+3）x+機+2=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于-不求用的取值范圍.

4

11（乙）.如圖，在平面直用坐標系x。、，中,AO=8,AB=AC,sinZABC=-.

5

CD與），軸交于點￡且SM°E=S2班.已知通過8,C,E三點的圖象是一條拋物線，求這條拋

物線相應的二次函數(shù)的解析式.

12（甲）.如圖的直徑為過點O,且與。。內切于點從C為。O上的點,OC與。Q交

干點。，且QD>C￡>.點E在。/）上，且ZX?=￡>E,BE的延長線與。。交于點尸，求證:△BOC-ADO'F.

12（乙）.如圖,0。的內接四邊形/WCD中,4C,8O是它的對角線，AC的中點/是的內

心.求證：

⑴0/是△〃〃）的外接圓的切線;

（.2）AB+AD=2BD.

BD

C

13（甲）.已知整數(shù)〃，力滿足是素數(shù)，且必是完全平方數(shù).

當々22012時,求〃的最小值.

13（乙）.凸〃邊形中最多有多少個內角等于150。？并說明理由.

14（甲）.求所有正整數(shù)〃，使得存在正整數(shù)X1,孫…，/12，滿足XV赴＜…〈/口，且

I22012

—+—+…+---=n.

X\X2X20l2

14（乙）.將2,3,…，〃（〃22）任意提成兩組，假如總可以在其中一組中找到數(shù)〃，兒c（可以相同）

使得ah=c,求〃的最小值.

中國教育學會中學數(shù)學教學專業(yè)委員會

2023年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案

一、選擇題

1（甲）.c

解:由實數(shù)。，〃，c在數(shù)軸上的位置可知

〃V4V0VC,且網(wǎng)〉C,

所以\a+b\+y］（c-a）2+\b+c\=-a+（a+b）+（c-a）-（b+c）=-a.

1（乙）.B

解…—L—

=1+-----:=14-------7==14-—=1+夜—1=\/2.

2+—!—O,12+V2-1V2+1

3+41W2

2（甲）.D

2

解：由題設知,一2=〃?（一3）,（-3）?（一2）=/?,所以4=§,b=6.

2

y=-x,

x=-3,%=3,

解方程組:得

6-2：j=2.

），=一,y=

x

所以另一個交點的坐標為(3,2).

注:運用正比例函數(shù)與反比冽函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個交點關于原點對稱，因此另一個交點

的坐標為(3,2).

2(乙).B

解:由題設f+VW2x+2y,得0W(x—l)2+(y—l)2W2.

由于x,)，均為整數(shù),所以有

(x-1)2=0,[(x-1)2=0,(I)』U-D

(y-1)』；(y-l)2=l;(y-1)2=0；|()，-1)2=1.

解得

x=1>x=1>x=0,x=0,x=0,x=2,x=2,x=2,

y=1：y=2：[y=0；y=1：>'=0；y=2：[y=hy=0；y=2.

以上共計9對(x,y).

3(甲).D

解:由題設知/<。+1<〃+卮1<2〃+〃,所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

1+(。+1)+(。+。+1)+(2。+/力3+4〃+2〃

4―4

(a+l)+(a+/?+l)4+4〃+2〃

中位數(shù)為

2=4，

4+4。+2/>3+4a+2b1

于是

44-4?

3(乙).B

解:如圖，認為C。邊作等邊△COE,連接AE.

由于HC=3C,CO=C￡,

ZBCD=ZBC4+ZACD=/DCE+ZACD=ZACE,

所以八月。)/△4CE?HD=AE.

又由于ZAZX?=3O°,所以/4。后=90。.

在RtZ\AO￡中，A￡=5,AD=3,

于是DE=JAE?—AD2=4,所以CZ)=OE=4.

4(甲),D

解：設小倩所有的錢數(shù)為了元、小玲所有的錢數(shù)為)，元,x,y均為非負整數(shù).由題設可得

x+2=n(y-2),

?

y+〃=2(x-〃)，

消去工得(2y-7)/i=y+4,

2H=^2)115=1+15

2y-72y-7

由于：7為正整數(shù)、所以2y-7的值分別為135,15,所以y的值只能為456,11.從而〃的值分

2_y-7

別為8,3,2/；x的值分別為14,7,6,7.

4（乙）.C

解:由一元二次方程根與系數(shù)關系知,兩根的乘積為F<0,故方程的根為一正一負.由二次函數(shù)

y=/-px-g的圖象知，當x=3時,y>。,所以3,-3〃一q>0,即3〃+4v9.由于p,q都是正整數(shù)，所以

p=l,1或〃=2,TWqW2,此時都有△=p?+4q>（）.于是共有7組（〃，q）符合題意.

5（甲）.D

解:擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個數(shù)字構成的有序數(shù)對共有36個，其和除以4的余數(shù)分別是

0,1,2,3的有序數(shù)對有9個,8個,9個,10個，所以“0=2,p,=—,p2=—,八=3，因此心最大.

36363636

5（乙）.C

解：由于力+1=（〃+1）S+1）,所以每次操作前和操作后，黑板上的每個數(shù)加1后的乘積不變.

設通過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為x,則

/1=（1+嗚+1）K+,…儒+1〉

解得x+I=101,x=100.

二、填空題

6（甲）.7<xW19

解:前四次操作的結果分別為

3工-2,3（3x-2）-2=9x-8,3（9x-8）-2=27x-26,3（27.r-26）-2=8Lr-80

由已知得

'27x-26W487

81A-80>487

解得7vxW19.

容易驗證，當7<xW19時，3x—2<4879x-8W487,故％的取值范圍是

7<xW19.

6（乙）.7

解：由已知可得

abc9-b-c9-c-a9-a-b

----1-----F----=-------1-------d-------

b+cc+aa+bb+cc+aa+b

=----1-----1----

b+cc+aa+b

=9吟-3=7

7（甲）.8

解：連接。尸，記正方形A8CD的邊長為2〃.由題設易知

△BFNs/\DAN,所以

ADANDN2

~BF~~NF~~BN~1'

2

由此得AV=2N『，所以ANn^A/7.

3

在RlZ\A8F中，由于48=勿，BF=a,所以

AF=y/AB2+BF2=瓜,

c"BAF=^=巫

于是

AF5

由題設可知八4。石也△8AF,所以/4￡Z）=NA旗,

NAME=180°-/RAF-ZAED=180°-ZRAF-ZAFR=90’.

于是AM=AEcosZ.BAF=-^-a,

MN=AN—AM=-AF-/4M=—?,

315

S4MND_MN__4

S&AFhA/15

又S：D=；?(2。)?(2〃)=2儲,所以S：,ND=於S3D=.

由于a=415，所以S^MND=8.

（乙）.竺

7

5

解：如圖，設OE的中點為M,連接OM,則QW_OE.由于

oBD

OB=yj202-\22=16,所以

OBOC16x1248

BC205

64

CM=y/OC2-OM2=—

5

所以CE-BD=CEM-CM)-(DM-BM)=BM-CM=—=—.

555

2

8(甲).--

3

解：根據(jù)題意，關于工的方程有

△=公_4序2_3&+32(),

由此得伙一3)240.

又仙-3y20,所以(I)』，從而4=3.此時方程為f+3x+(=0,解得%=W=-1?

2011

8(乙).1610

解：由于0J一〃+3)(/+〃+3)=/?4+5n2+9=(〃-1)(〃+1)[〃2+1)+5，/+10.

當〃被5除余數(shù)是I或4時，〃-1或〃+1能被5整除，則—〃+3)(/+〃+3)能被5整除;

當〃被5除余數(shù)是2或3時，1+1能被5整除，則(/-〃+3)(〃2+n+3)能被5整除；

當〃被5除余數(shù)是0時，(//一〃+3)(/+〃+3)不能被5整除.

所以符合題設規(guī)定的所有〃的個數(shù)為答x8+2=1610.

9(甲).8

解：設平局數(shù)為”,勝(負)局數(shù)為力，由題設知

為+勸=130,

由此得0W8W43.

又a+b=""1)(/〃+=)所以2。+2/?=(in+1)(/7/+2).于是

2

0W0=130-+1)(〃?+2)<43,

87W(〃？+1)(〃7+2)W13O,

由此得〃?=8,或/〃=9.

當〃z=8時,。=40,々=5;當〃2=9時，0=20,?=35>a>a+^-—?不合題設.

22

故〃2=8.

9（乙）.三鼠巴W1

2c

解：由題設得

a+b>c,

所以-+---->-+-

cc-acb

-+---->—.

cc-aa

整理得

由二次函數(shù)y=V-3x+l的圖象及其性質，得匕叵＜@＜以5.

2c2

又由于所以三避v^Wl.

c2c

解:如圖，連接AC,BD,OD.

由47?是°。的直徑知//?C4=/BD4=90°.

依題設/班C=90。,四邊形A8CZ）是0。

的內接四邊形，所以

ZBCF=/BAD,

所以RtzXBCVsRtAj^。，因此生=出.

CFAD

由于3＞是。。的半徑,AO=CD,所以OD垂直平分AC,OD〃8C,

于是第=老=2.因此

DE=2CD=2AD,CE=3AD.

由AAEDs^cEB,知OEEC=AE8E.由于4E=—,BE=-BA,

22

所以2人。-3人。二"工朋.朋=2及AO,故

22

空衣=與二逑

BA2V22

10(乙).12

解:由已知有(a-6)(。+。)=〃，且〃為偶數(shù)，所以。一兒a+h同為偶數(shù)，于是〃是4的倍數(shù).設〃=4帆,

則lWmW25.

(I)若帆=1,可得方=0,與人是正整數(shù)矛盾.

(U)若加至少有兩個不同的素因數(shù)，則至少有兩個正整數(shù)對(4〃)滿足竺心?上=〃7；若機恰是

22

一個素數(shù)的幕，且這個事指數(shù)不小于3,則至少有兩個正整數(shù)對(《歷滿足土也.土也二根.

22

(III)若加是素數(shù)，或加恰是一個素數(shù)的鼎，且這個幕指數(shù)為2,則有唯一的正整數(shù)對［4為滿足

a-ba+b

---------=m.

22

由于有唯一正整數(shù)對(a,6),所以m的也許值為2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25洪有I

2個.

三、解答題

11(甲).解：由于當-1VXV3時，恒有)Y(),所以

△=G〃+3>-4。〃+2)>0,

即(〃?+1)2>0,所以〃?工一1.

........(5分)

當x=T時,yWO;當x=3時,yWO,即

(-1)2+(/M+3)(-1)+m+2^0,

且32+3(/〃+3)+m+2W0,

解得mW-5.

.......(1()分)

設方程V+(〃?+3)x+(m+2)=0的兩個實數(shù)根分別為不吃,由一元二次方程根與系數(shù)的關系得

%+毛=一(〃?+3),x]x2=m+2.

由于工+,<一2,所以

x210

X+9_"?+3v9

NWin+210

解得〃7<-12,或〃Z>-2.

因此〃?<-12.

.......(20分)

11(乙).解：由于sinZABC=42=±,AO=8,所以

AB5

AB=10

由勾股定理，得40=>JAB--AO-=6.

易知△ABOgAACO,因此CO=4O=6.

于是A(O,-8),3(6,0),C(-6,0).

設點。的坐標為(〃?，〃)，由S^COE=S△〃把，得S^CDf)=S&MJ?所以

-BC\n\=-AOBO

22y

—x12(-//)=—x8x6,

22

解得〃=-4.

因此。為的中點，點。的坐標為(3,-4).

(10分)

因此C/3,AO分別為/W,AC的兩條中線，點￡為/VUJC的重心，所以點石的坐標為0,--

<3

設通過8,C,E三點的拋物線相應的二次函數(shù)的解析式為)，=a(x-6)(x+6).將點石的坐標代入,

解得.嶗

故通過從C,E三點的拋物線相應的二次函數(shù)的解析式為

228

>?=27X-3

12（甲）.證明：連接用），由于03為0a的直徑，所以

4ODB=90。.又由于OC=OE,所以△C4E是等腰三角形.

（5分）

設8c與。。交于點M,連接OM,則NOM8=90。.又由于

OC=OB,所以

ZBOC=2ZDOM=2ZDBC=2ZDBF=ZDO,F.

又由于/8OC,NQQ尸分別是等腰△4OC,等腰△。0破的頂角，所以

AfiOCs^DO\F.

（20分）

12（乙）.證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內心的性質和同弧上圓周角的性

質知

22

所以

同理,CI=CB.

故點。是△/%＞的外心.

連接04,OC,由于/是AC的中點，且。4=OC,

所以Q/_LAC,即O/_LC/.

故O/是△出。外接圓的切線.

（10分）

（2）如圖，過點1作/ELAD干點、E,設OC與4。交于點F.

由8C=CO,知OCJ.4O.

由于NC3/=NA4￡,BC=CI=AI,所以

RtABCF^RtZWE,

所以=

又由于/是△ABO的內心，所以

AB+AD-BD=2AE=BD.

故AB+4）=2肛

........（20分）

13(甲).解：設ia-b=m(加是素數(shù))，ab=n2(〃是正整數(shù)).

由于(a+b)2-4ab=^a-h)2,

所以(2〃一-=〃/,

(2a-m+2〃)(2a-in-2n)=m2

........(5分)

由于2〃一〃?+2〃與2a-tn-In都是正整數(shù)，且2〃一/〃+2〃＞加一，〃一2〃(加為素數(shù))，所以

2a-nt+2n=in2,2a—m—2n=\.

（機+1）2m1-1

解得a=------，n=------

44

,（z?z-l）2

于是b=a-m=-------.

4

........（10分）

又。力2012,即如U?2012.

4

又由于加是素數(shù)，解得m力89.此吐a]㈱+a=

42025

當。=2025時，帆=89,b=1936,〃=1980.

因此，。的最小值為2025.

........（20分）

13(乙).解:假設凸〃邊形中有2個內角等于150°,則不等于150°的內角有〃-攵個.

⑴若k=〃，由〃xl5()°=(”2)xl80°,得〃=12,正十二邊形的12個內角都等于150°；

........(5分)

(2)若〃，且〃213,由kxl50°+(〃-A)xl80°>(〃-2)x180°,可得&V12,即攵WU.

當攵=11時，存在凸〃邊形，其中的II個內角等于150°,其余〃一k個內角都等于

〃一2x180—11x150'1八。八。

a=^-------L------------------------=(6-----------)*30°,0°<?<180\a^150°o.

77-117Z-11

...............(10分)

(3)若&v〃，且8W〃Wll.

當攵=〃-1時，設另一個角等于a.存在凸〃邊形，其中的個內角等于150°,另一個內角

a=(n-2)xl80o-(n-l)xl500=(/?-7)x30°.

由.W11可得a=5-7)x30°vl80°;由.28可得a=(〃-7)x30°>0°,且aH150°.

...............(15分)

(4)若攵<〃，且3W〃W7,由(3)可知攵W〃一2.當&=〃一2時，存在凸〃邊形，其中〃一2個內

角等于150°,另兩個內角都等于(“-2)x15°.

綜上，當〃=12時，&的最大值為12；當〃，13時,女的最大值為11；

當時，2的最大值為〃—1;當3<〃W7時M的最大值為〃—2.

...............(20分)

14(甲).解:由于X],x2,???,工刈2都是正整數(shù)，且