惠州市重點(diǎn)中學(xué)2024年高三數(shù)學(xué)試題練習(xí)試卷（四）試題

惠州市重點(diǎn)中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)試題練習(xí)試卷（四）試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，若，則（）A．4 B．－4 C．8 D．－82．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線3．已知向量，夾角為，，，則()A．2 B．4 C． D．4．已知三棱錐中，為的中點(diǎn)，平面，，，則有下列四個結(jié)論：①若為的外心，則；②若為等邊三角形，則；③當(dāng)時，與平面所成的角的范圍為；④當(dāng)時，為平面內(nèi)一動點(diǎn)，若OM∥平面，則在內(nèi)軌跡的長度為1．其中正確的個數(shù)是（）．A．1 B．1 C．3 D．45．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A．2 B．3 C． D．6．下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．7．某高中高三（1）班為了沖刺高考，營造良好的學(xué)習(xí)氛圍，向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上，小王，小董，小李各寫了一幅書法作品，分別是：“入班即靜”，“天道酬勤”，“細(xì)節(jié)決定成敗”，為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的，班主任對三人進(jìn)行了問話，得到回復(fù)如下：小王說：“入班即靜”是我寫的；小董說：“天道酬勤”不是小王寫的，就是我寫的；小李說：“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的，則“入班即靜”的書寫者是（）A．小王或小李 B．小王 C．小董 D．小李8．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．9．設(shè)為非零實(shí)數(shù)，且，則（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．11．如圖，在平行四邊形中，對角線與交于點(diǎn)，且，則（）A． B．C． D．12．一個陶瓷圓盤的半徑為，中間有一個邊長為的正方形花紋，向盤中投入1000粒米后，發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒，據(jù)此估計(jì)圓周率的值為（精確到0.001）（）A．3.132 B．3.137 C．3.142 D．3.147二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的離心率是，若以為圓心且與橢圓有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為，此時橢圓的方程是____.14．定義在封閉的平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的距離的最大值稱為平面區(qū)域的“直徑”.已知銳角三角形的三個點(diǎn)，，，在半徑為的圓上，且，分別以各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和構(gòu)成平面區(qū)域，則平面區(qū)域的“直徑”的最大值是__________.15．已知集合U＝{1,3,5,9}，A＝{1,3,9}，B＝{1,9}，則?U(A∪B)＝________.16．已知，，，且，則的最小值為___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，．（Ⅰ）當(dāng)，時，用列舉法表示集合；（Ⅱ）當(dāng)時，，且集合滿足下列條件：①對任意，；②．證明：（ⅰ）若，則（集合為集合在集合中的補(bǔ)集）；（ⅱ）為一個定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）設(shè)，，，其中，，若，則．18．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，單位圓與角終邊的交點(diǎn)為，過作平行于軸的直線，設(shè)與終邊所在直線的交點(diǎn)為，.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.19．（12分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點(diǎn)，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長.20．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，若，角為鈍角，（1）求的值；（2）求邊的長.21．（12分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1,an+1=2Sn+1（1）求數(shù)列{an}（2）設(shè)cn=bnan，求數(shù)列22．（10分）如圖，在棱長為的正方形中，，分別為，邊上的中點(diǎn)，現(xiàn)以為折痕將點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)的位置，使得為直二面角．（1）證明：；（2）求與面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

根據(jù)交集的定義，，可知，代入計(jì)算即可求出.【詳解】由，可知，又因?yàn)?，所以時，，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查交集的概念，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)椋云矫?，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.3．A【解析】

根據(jù)模長計(jì)算公式和數(shù)量積運(yùn)算，即可容易求得結(jié)果.【詳解】由于，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，模長的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.4．C【解析】

由線面垂直的性質(zhì),結(jié)合勾股定理可判斷①正確;反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積,求得C到平面PAB的距離的范圍,可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.【詳解】畫出圖形：若為的外心，則，平面,可得,即，①正確;若為等邊三角形，，又可得平面，即,由可得，矛盾，②錯誤;若，設(shè)與平面所成角為可得，設(shè)到平面的距離為由可得即有，當(dāng)且僅當(dāng)取等號.可得的最大值為，即的范圍為，③正確；取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接由中位線定理可得平面平面可得在線段上，而，可得④正確；所以正確的是：①③④故選：C【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，處理這類問題，可以用已知的定理或性質(zhì)來證明，也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.5．B【解析】

運(yùn)行程序，依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框，可得輸出值.【詳解】起始階段有，，第一次循環(huán)后，，第二次循環(huán)后，，第三次循環(huán)后，，第四次循環(huán)后，，所有后面的循環(huán)具有周期性，周期為3，當(dāng)時，再次循環(huán)輸出的,，此時，循環(huán)結(jié)束，輸出，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識，經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題型.6．C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．7．D【解析】

根據(jù)題意，分別假設(shè)一個正確，推理出與假設(shè)不矛盾，即可得出結(jié)論.【詳解】解：由題意知，若只有小王的說法正確，則小王對應(yīng)“入班即靜”，而否定小董說法后得出：小王對應(yīng)“天道酬勤”，則矛盾；若只有小董的說法正確，則小董對應(yīng)“天道酬勤”，否定小李的說法后得出：小李對應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”，所以剩下小王對應(yīng)“入班即靜”，但與小王的錯誤的說法矛盾；若小李的說法正確，則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的，則否定小董的說法得出：小王對應(yīng)“天道酬勤”，所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的，剩下“入班即靜”是小李的，符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是：小李.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查推理證明的實(shí)際應(yīng)用.8．A【解析】

由題意求得c與的值，結(jié)合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

取，計(jì)算知錯誤，根據(jù)不等式性質(zhì)知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計(jì)算知錯誤；故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)，意在考查學(xué)生對于不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用.10．D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調(diào)遞減,時單調(diào)遞增.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學(xué)生的分析問題的能力和計(jì)算求解的能力,難度較難.11．C【解析】

畫出圖形，以為基底將向量進(jìn)行分解后可得結(jié)果．【詳解】畫出圖形，如下圖．選取為基底，則，∴．故選C．【點(diǎn)睛】應(yīng)用平面向量基本定理應(yīng)注意的問題（1）只要兩個向量不共線，就可以作為平面的一組基底，基底可以有無窮多組，在解決具體問題時，合理選擇基底會給解題帶來方便．（2）利用已知向量表示未知向量，實(shí)質(zhì)就是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加減運(yùn)算或數(shù)乘運(yùn)算．12．B【解析】

結(jié)合隨機(jī)模擬概念和幾何概型公式計(jì)算即可【詳解】如圖，由幾何概型公式可知：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)模擬的概念和幾何概型，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)題意設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),表達(dá)出,再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與求解的關(guān)系分析最值求解即可.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率是,,所以,故橢圓方程為.因?yàn)橐詾閳A心且與橢圓有公共點(diǎn)的圓的最大半徑為,所以橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最大值為.設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),則.所以因?yàn)榈膶ΨQ軸為.(i)當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.此時,解得.(ii)當(dāng)時,在上單調(diào)遞減.此時,解得舍去.綜上,橢圓方程為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值問題,需要根據(jù)題意設(shè)橢圓上的點(diǎn),再求出距離,根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系分析最值的取值點(diǎn)分類討論求解.屬于中檔題.14．【解析】

先找到平面區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)的最大值為，再利用三角恒等變換化簡即可得到最大值.【詳解】由已知及正弦定理，得，所以，，取AB中點(diǎn)E，AC中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，如圖所示顯然平面區(qū)域任意兩點(diǎn)距離最大值為，而，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理在平面幾何中的應(yīng)用問題，涉及到距離的最值問題，在處理這類問題時，一定要數(shù)形結(jié)合，本題屬于中檔題.15．{5}【解析】易得A∪B＝A＝{1,3,9}，則?U(A∪B)＝{5}．16．【解析】

由，先將變形為，運(yùn)用基本不等式可得最小值，再求的最小值，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性即可得到所求值.【詳解】解：因?yàn)椋?，，且，所以因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以令，則，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以則所求最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意變形和滿足的條件：一正二定三相等，考查利用單調(diào)性求最值，考查化簡和運(yùn)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）（?。┰斠娊馕觯áⅲ┰斠娊馕?（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）當(dāng)，時，，，，，，．即可得出．（Ⅱ）（i）當(dāng)時，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否則得出矛盾．（ii）由．可得．又，即可得出為定值．（iii）由設(shè)，，，，其中，，，2，，．，可得，通過求和即可證明結(jié)論．【詳解】（Ⅰ）解：當(dāng)，時，，，，，．．（Ⅱ）證明：（i）當(dāng)時，，2，3，，，又，，，，，，必然有，否則，而，與已知對任意，矛盾．因此有．（ii）．．，為定值．（iii）由設(shè)，，，，其中，，，2，，．，．．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．18．（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意，求得，，因而得出，利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡函數(shù)，最后利用，求出的最小正周期；（2）由（1）得，再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以函?shù)的最小正周期為.（2）因?yàn)?，所以，所以，故函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和值域，運(yùn)用到向量的坐標(biāo)運(yùn)算、降冪公式和二倍角的正弦公式，考查化簡和計(jì)算能力.19．（1）證明見解析；（2）1【解析】

（1）由菱形的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)，可得平面，再由面面垂直的判定定理，即可得證；（2）設(shè)，分別求得，和的長，運(yùn)用三棱錐的體積公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】（1）四邊形為菱形，，平面，，又，平面，又平面，平面平面；（2）設(shè)，在菱形中，由，可得，，，，在中，可得，由面，知，為直角三角形，可得，三棱錐的體積，，菱形的邊長為1．【點(diǎn)