高中數(shù)學(xué)北師大版講義(必修二)第30講6.1基本立體圖形(8知識點(diǎn)+5題型+強(qiáng)化訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

6.1基本立體圖形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠正確識別和命名常見的立體圖形。能夠熟練應(yīng)用立體圖形的公式和計(jì)算方法。能夠進(jìn)行簡單的立體圖形拼合和拆解。1、認(rèn)知立體圖形的基本概念和種類，如三棱柱、四棱錐、圓柱、圓臺等。2、掌握立體圖形的公式和計(jì)算方法，并能夠在實(shí)際問題中應(yīng)用。3、培養(yǎng)對立體圖形的觀察力和空間想象力。知識點(diǎn)01構(gòu)成幾何體的基本元素1、構(gòu)成空間幾何體的基本元素有：點(diǎn)、線、面.2、用運(yùn)動的觀點(diǎn)理解空間基本圖形之間的關(guān)系：點(diǎn)動成線、線動成面、面動成體.3、點(diǎn)、線、面的表示如圖所示的長方體可以表示為長方體ABCD?個頂點(diǎn)，可表示為A，B，C，D，AAB,BC,CD,DA,AA1,BB1,CC1,DD1,AB1,B個面可以表示為平面ABCD，平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面【即學(xué)即練1】（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）空間中構(gòu)成幾何體的基本元素是.知識點(diǎn)02棱柱1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.2、圖示及表示：記作棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F13、相關(guān)概念（1）底面：有兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，（2）側(cè)面：其余各面叫做棱柱的側(cè)面，它們都是平行四邊形;（3）側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱;（4）頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).（5）高：過棱柱一個底面上的任意一個頂點(diǎn)，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.（6）側(cè)面積：棱柱所有側(cè)面的面積之和.4、棱柱的圖形及名稱底面：如圖中的多邊形ABCDEF和多邊形A1B1C1D1E1F1，側(cè)面：如圖中的四邊形ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1等，側(cè)棱：如圖中的線段AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，F(xiàn)F1等，頂點(diǎn)：如圖中的點(diǎn)A，A1，B，B1，C，C1，D，D1等【即學(xué)即練2】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫做側(cè)棱B．棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同C．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面D．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱知識點(diǎn)03棱錐1、定義：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.2、圖形及表示：可記作：棱錐S-ABCD或者S-AC3、相關(guān)概念（1）底面：這個多邊形面叫做棱錐的底面;（2）側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面;（3）側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱;（4）頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).（5）棱錐的高：過棱錐的頂點(diǎn)作棱錐底面的垂線，所得到的線段（或它的長度）.（6）棱錐的側(cè)面積：棱錐所有側(cè)面的面積之和．注意：有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖.棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個公共頂點(diǎn).4、棱錐的分類：按照棱錐底面多邊形的邊數(shù)，可以把棱錐分成三棱錐，四棱錐，五棱錐………5、正棱錐：=1\*GB2⑴定義：如果棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個棱錐為正棱錐．=2\*GB2⑵斜高：側(cè)面等腰三角形底邊上的高.=3\*GB2⑶特征：側(cè)面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.注意：底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐，正四棱錐……….【即學(xué)即練3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B．各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐C．各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐D．底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐知識點(diǎn)04棱臺1、定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.2、圖形及表示：可記作：棱臺A’B’C’D’-ABCD3、相關(guān)概念（1）底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面;（2）側(cè)面：其他各面叫做棱臺的側(cè)面;（3）側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱;（4）頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺的頂點(diǎn).（5）棱臺的高:過棱臺一個底面上的任意一個頂點(diǎn)，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.（6）棱臺的側(cè)面積:棱臺所有側(cè)面的面積之和．4、棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐…截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……5、正棱臺（1）定義：由正棱錐截得的棱臺.（2）高：上下兩底面中心的連線.（3）斜高：側(cè)面等腰梯形的高.（4）特征：側(cè)面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.【即學(xué)即練4】（多選）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）（多選）下列說法不正確的是（）A．棱臺的兩個底面相似B．棱臺的側(cè)棱長都相等C．棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形知識點(diǎn)05圓柱1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱2、圖示：3、相關(guān)概念：軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體4、側(cè)面展開圖：5、結(jié)構(gòu)特征：=1\*GB3①兩個底面互相平行，=2\*GB3②有無數(shù)條母線，且長度相等，都與軸平行，軸截面是全等的矩形.6、軸截面：在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.【即學(xué)即練5】（23-24高二下·江西撫州·期中）中國古代建筑中的圓柱，多是根部略粗，頂部略細(xì)，這種做法稱為“收分”，柱子做出收分，既穩(wěn)定又輕巧．已知某古代建筑的一根圓柱，每增高1.2m，直徑收分1cm，若該柱子柱根直徑為30cmA．24cm B．25cm C．26cm知識點(diǎn)06圓錐1、定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐2、圖示：3、相關(guān)概念：軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體4、側(cè)面展開圖：5、結(jié)構(gòu)特征：=1\*GB3①底面是圓面，=2\*GB3②有無數(shù)條母線，長度相等且交于一點(diǎn)，平行于底面的截面是與底面大小不同的圓，=3\*GB3③軸截面是全等的等腰三角形.6、軸截面：在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.【即學(xué)即練6】（23-24高三上·四川·期末）若某圓錐的底面半徑r=1，且底面的周長等于母線長，則該圓錐的高為（

）A．4π2?1 B．4π?1 知識點(diǎn)07圓臺1、定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間部分叫做圓臺2、圖示：3、相關(guān)概念：軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體4、側(cè)面展開圖：5、結(jié)構(gòu)特征：=1\*GB3①上、下底面是平行且大小不同的圓面，母線的延長線交于一點(diǎn)，=2\*GB3②平行于底面的截面是與兩底面大小都不同的圓，=3\*GB3③軸截面是全等的等腰梯形.6、軸截面：在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.【即學(xué)即練7】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺上、下底面的半徑之比為1:4，母線長為9，則圓錐的母線長是．知識點(diǎn)08球1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球2、圖示：3、相關(guān)概念：（1）球面定義1：一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面.定義2：球面可以看成空間中到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.球心：形成球面的半圓的圓心；半徑：連接球面上一點(diǎn)和球心的線段.直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且通過球心的線段.大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓.（6）小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓.【即學(xué)即練8】（23-24高二上·四川樂山·期末）一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（

）A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．球【題型一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征】例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）“棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要 D．既非充分又非必要條件變式1-1．（2023·高一單元測試）如圖所示的是一個五棱柱，則下列判斷錯誤的是（

）A．該幾何體的側(cè)面是平行四邊形B．該幾何體有七個面C．該幾何體恰有十二條棱D．該幾何體恰有十個頂點(diǎn)變式1-2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)M={正四棱柱}，P={直四棱柱}，N=變式1-3．（2021·高二課時練習(xí)）記A為所有多面體組成的集合，B為所有棱柱組成的集合，C為所有直棱柱組成的集合，D為所有正棱柱組成的集合，寫出集合A，B，C，D之間的關(guān)系.【方法技巧與總結(jié)】棱柱特征：兩底面互相平行且全等;各側(cè)面都是平行四邊形;各側(cè)棱互相平行且相等.【題型二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征】例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F變式2-1．（多選）（2022·全國·高一假期作業(yè)）在正棱錐中，側(cè)面可為正三角形的是（

）A．正四棱錐 B．正五棱錐 C．正六棱錐 D．正八棱錐變式2-2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）將一個正方體切一刀，可能得到的以下幾何體中的種類數(shù)為（

）①四面體；②四棱錐；③四棱柱；④五棱錐；⑤五棱柱；⑥六棱錐；⑦七面體A．3種 B．4種 C．5種 D．以上均不正確變式2-3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影一定是底面正多邊形的中心B．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐不可能為六棱錐C．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐【方法技巧與總結(jié)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征：1.僅有一個底面且是多邊形（三角形、四邊形……）2.側(cè)面都是三角形3.各側(cè)面有且只有一個公共頂點(diǎn)。【題型三：棱臺的結(jié)構(gòu)特征】例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的有（

）①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐A．0個 B．1個C．2個 D．3個變式3-1．（2023·高一課時練習(xí)）對有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說法正確的是(

)A．棱柱 B．棱錐C．棱臺 D．一定不是棱柱、棱錐變式3-2．（2023·高一課時練習(xí)）下列說法中，正確的個數(shù)為（

）（1）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺（2）由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體（3）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐（4）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐A．3個 B．2個 C．1個 D．0變式3-3．（2022·高一課時練習(xí)）下列空間圖形中是棱臺的為_____.(填序號)【方法技巧與總結(jié)】棱臺的結(jié)構(gòu)特征1.上下底面是互相平行且相似的多邊形2.側(cè)面都是梯形3.各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)【題型四：圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征】例4．（22-23高一下·河北張家口·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．圓錐的頂點(diǎn)?圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺D．過球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個大圓變式4-1．（多選）（22-23高一下·河北張家口·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．圓柱的母線和它的軸可以不平行B．圓柱?圓錐?圓臺的底面都是圓面C．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐D．將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括一個圓柱?兩個圓錐變式4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）給出下列結(jié)論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；⑤用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是球．其中正確結(jié)論的序號是．變式4-3．（19-20高一·全國·課后作業(yè)）給出下列說法：（1）圓柱的底面是圓面；（2）經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；（3）圓臺的任意兩條母線所在的直線可能相交，也可能不相交；（4）夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體．其中說法正確的是．【方法技巧與總結(jié)】圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系【題型五：球體的幾何特征】例5．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）下列說法中正確的是（

）A．球的半徑可以是球面上任意一點(diǎn)與球心所連的線段B．球的直徑可以是球面上任意兩點(diǎn)所連的線段C．用一個平面截球，得到的截面可以是正方形D．球不可以用表示球心的字母表示變式5-1．（22-23高一下·廣東湛江·期中）小明在湛江海博會參觀時，看到一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（

）A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．圓臺.變式5-2．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是(

)A．到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球B．球面上不同的三點(diǎn)可能在同一直線上C．球面上任意兩點(diǎn)的連線是球的直徑D．球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面變式5-3.（21-22高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個球B．一個球挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球挖去一個正方體一、單選題1．（23-24高一下·陜西西安·期中）有一封閉透明的正方體形容器，裝有容積一半的有顏色溶液，當(dāng)你任意旋轉(zhuǎn)正方體，靜止時液面的形狀不可能是（

）A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六邊形2．（23-24高一下·陜西西安·期中）將棱長為4的正方體表面涂成紅色，將其適當(dāng)分成棱長為1的小正方體，則各面均沒有顏色的小正方體個數(shù)占總的小正方體個數(shù)的（

）A．116 B．18 C．143．（23-24高一下·福建·期中）下列說法正確的是（）A．圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑不可能相等B．直四棱柱是長方體C．將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個圓錐D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形4．（23-24高一下·福建·期中）如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，則圖中“九”在正方體中的對面是（

）A．縣 B．市 C．聯(lián) D．考5．（23-24高一下·湖南衡陽·期中）下列命題是真命題的是（

）A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C．經(jīng)過不共線的三個點(diǎn)的球有且只有一個 D．直棱柱的側(cè)面是矩形6．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）下列命題中正確的是（

）①圓錐的軸截面是所有過頂點(diǎn)的截面中面積最大的一個；②在圓柱的上、下底面的圓周上各取一個點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；③圓臺的兩個底面平行．A．①② B．② C．③ D．①③7．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法正確的是（

）A．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐B．有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)8．（23-24高一下·廣東梅州·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺D．棱臺的所有側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)二、多選題9．（23-24高一下·福建福州·期中）下列說法錯誤的是（

）A．直四棱柱是長方體B．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺C．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)D．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面10．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．多面體的每條棱都是一條線段B．在四棱臺ABCD?A1BC．上、下底面均為正方形的四棱臺的四條側(cè)棱長一定相等D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線11．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）在正方體ABCD?A1B1C1DA．三棱錐 B．直三棱柱C．三棱臺 D．四棱柱三、填空題12．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）給出下列說法：①圓柱的底面是圓面；②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；③夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體；④過球面上任意兩點(diǎn)只能作一個以球心為圓心的圓.其中說法正確的是（填序號）.13．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；②棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；③棱錐的側(cè)面只能是三角形；④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確的序號是．14．（20-21高一下·全國·課后作業(yè)）給出下列說法：①經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；②圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交，也可能不相交；③夾在圓柱的兩個截面間的幾何體是一個旋轉(zhuǎn)體．其中說法正確的是（填序號）．四、解答題15．（23-24高一下·浙江杭州·期中）由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體，圍成多面體的各個多邊形叫做多面體的面，兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn).對于凸多面體，有著名的歐拉公式：n?e+f=2，其中n為頂點(diǎn)數(shù)，e為棱數(shù)，f為面數(shù).我們可以通過歐拉公式計(jì)算立體圖形的頂點(diǎn)?棱?面之間的一些數(shù)量關(guān)系.例如，每個面都是四邊形的凸六面體，我們可以確定它的頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù).一方面，每個面有4條邊，六個面相加共24條邊；另一方面，每條棱出現(xiàn)在兩個相鄰的面中，因此每條棱恰好被計(jì)算了兩次，即共有12條棱；再根據(jù)歐拉公式，e=12,f=6，可以得到頂點(diǎn)數(shù)n=8.(1)已知足球是凸三十二面體，每個面均為正五邊形或者正六邊形，每個頂點(diǎn)與三條棱相鄰，試確定足球的棱數(shù)；(2)證明：n個頂點(diǎn)的凸多面體，至多有3n?6條棱；(3)已知正多面體的各個表面均為全等的正多邊形，且與每個頂點(diǎn)相鄰的棱數(shù)均相同.試?yán)脷W拉公式，討論正多面體棱數(shù)的所有可能值.16．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）一個圓臺的母線長為13cm，兩底面面積分別為16πcm2和(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.17．（23-24高一下·云南昆明·階段練習(xí)）如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個三角形折起，使點(diǎn)A，B，C重合，重合后記為點(diǎn)P.(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？這個幾何體共有幾個面？(2)每個面的三角形有何特點(diǎn)？每個面的三角形面積為多少？18．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在一個透明的正三棱柱形狀的容器中，盛上一些水，固定這個容器的一邊加以傾斜，不斷更改傾斜程度，從中盡可能多地找出其中的數(shù)量與圖形的各種關(guān)系，并思考其中的道理．19．（20-21高一·江蘇·課后作業(yè)）如圖所示，長方體ABCD?A

(1)這個長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號表示；如果不是，請說明理由.6.1基本立體圖形課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)能夠正確識別和命名常見的立體圖形。能夠熟練應(yīng)用立體圖形的公式和計(jì)算方法。能夠進(jìn)行簡單的立體圖形拼合和拆解。1、認(rèn)知立體圖形的基本概念和種類，如三棱柱、四棱錐、圓柱、圓臺等。2、掌握立體圖形的公式和計(jì)算方法，并能夠在實(shí)際問題中應(yīng)用。3、培養(yǎng)對立體圖形的觀察力和空間想象力。知識點(diǎn)01構(gòu)成幾何體的基本元素1、構(gòu)成空間幾何體的基本元素有：點(diǎn)、線、面.2、用運(yùn)動的觀點(diǎn)理解空間基本圖形之間的關(guān)系：點(diǎn)動成線、線動成面、面動成體.3、點(diǎn)、線、面的表示如圖所示的長方體可以表示為長方體ABCD?個頂點(diǎn)，可表示為A，B，C，D，AAB,BC,CD,DA,AA1,BB1,CC1,DD1,AB1,B個面可以表示為平面ABCD，平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面【即學(xué)即練1】（22-23高一下·全國·課后作業(yè)）空間中構(gòu)成幾何體的基本元素是.【答案】點(diǎn)、線、面【分析】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，構(gòu)成幾何體的基本元素為點(diǎn)、線、面.故答案為：點(diǎn)、線、面.知識點(diǎn)02棱柱1、定義：一般地，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.2、圖示及表示：記作棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F13、相關(guān)概念（1）底面：有兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，它們是全等的多邊形，（2）側(cè)面：其余各面叫做棱柱的側(cè)面，它們都是平行四邊形;（3）側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱;（4）頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn).（5）高：過棱柱一個底面上的任意一個頂點(diǎn)，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.（6）側(cè)面積：棱柱所有側(cè)面的面積之和.4、棱柱的圖形及名稱底面：如圖中的多邊形ABCDEF和多邊形A1B1C1D1E1F1，側(cè)面：如圖中的四邊形ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1等，側(cè)棱：如圖中的線段AA1，BB1，CC1，DD1，EE1，F(xiàn)F1等，頂點(diǎn)：如圖中的點(diǎn)A，A1，B，B1，C，C1，D，D1等【即學(xué)即練2】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．棱柱中相鄰兩個面的公共邊叫做側(cè)棱B．棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同C．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面D．有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱【答案】B【分析】根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，判斷選項(xiàng)中的結(jié)論是否正確.【詳解】A錯誤，底面和側(cè)面的公共邊不是側(cè)棱；B正確，根據(jù)棱柱的特征知，棱柱的兩個底面一定是全等的，故棱柱中至少有兩個面的形狀完全相同；C錯誤，正六棱柱的兩個相對側(cè)面互相平行；D錯誤，“其余各面都是平行四邊形”并不能保證“相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行”，如圖所示的幾何體就不是棱柱．故選：B.知識點(diǎn)03棱錐1、定義：一般地，有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.2、圖形及表示：可記作：棱錐S-ABCD或者S-AC3、相關(guān)概念（1）底面：這個多邊形面叫做棱錐的底面;（2）側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面;（3）側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱;（4）頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).（5）棱錐的高：過棱錐的頂點(diǎn)作棱錐底面的垂線，所得到的線段（或它的長度）.（6）棱錐的側(cè)面積：棱錐所有側(cè)面的面積之和．注意：有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐，如圖.棱錐還需要滿足各三角形有且只有一個公共頂點(diǎn).4、棱錐的分類：按照棱錐底面多邊形的邊數(shù)，可以把棱錐分成三棱錐，四棱錐，五棱錐………5、正棱錐：=1\*GB2⑴定義：如果棱錐的底面是正多邊形，且棱錐的頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面，則稱這個棱錐為正棱錐．=2\*GB2⑵斜高：側(cè)面等腰三角形底邊上的高.=3\*GB2⑶特征：側(cè)面都全等，而且都是等腰三角形，斜高也相等.注意：底面為正多邊形的棱錐叫做正棱錐，如正三棱錐，正四棱錐……….【即學(xué)即練3】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列說法中正確的是（）A．各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐B．各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形的棱錐為正棱錐C．各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐為正棱錐D．底面是正多邊形且各側(cè)面是全等三角形的棱錐為正棱錐【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正棱錐的定義和幾何結(jié)構(gòu)特征，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于A中，各側(cè)棱都相等，但無法保證底面為正多邊形，所以A錯誤；對于B中，各側(cè)面都是面積相等的等腰三角形，但無法保證各個等腰三角形全等且腰長均為側(cè)棱長，所以B錯誤；對于C中，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但無法保證等腰三角形的腰長為側(cè)棱長，所以C錯誤；對于D中，底面是正多邊形，各側(cè)面是全等三角形，則可以保證頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心，滿足正棱錐定義，所以D正確.故選：D.知識點(diǎn)04棱臺1、定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，我們把底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.2、圖形及表示：可記作：棱臺A’B’C’D’-ABCD3、相關(guān)概念（1）底面：原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面;（2）側(cè)面：其他各面叫做棱臺的側(cè)面;（3）側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱;（4）頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱臺的頂點(diǎn).（5）棱臺的高:過棱臺一個底面上的任意一個頂點(diǎn)，作另一個底面的垂線所得到的線段（或它的長度）.（6）棱臺的側(cè)面積:棱臺所有側(cè)面的面積之和．4、棱臺的分類：由三棱錐、四棱錐、五棱錐…截得的棱臺分別叫做三棱臺、四棱臺、五棱臺……5、正棱臺（1）定義：由正棱錐截得的棱臺.（2）高：上下兩底面中心的連線.（3）斜高：側(cè)面等腰梯形的高.（4）特征：側(cè)面都全等，而且都是等腰梯形，斜高也相等.【即學(xué)即練4】（多選）（2024高一下·全國·專題練習(xí)）（多選）下列說法不正確的是（）A．棱臺的兩個底面相似B．棱臺的側(cè)棱長都相等C．棱錐被平面截成的兩部分是棱錐和棱臺D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由棱臺、棱錐、棱柱的定義，依次分析選項(xiàng)，即可得到答案.【詳解】由棱臺是用平行于底面的平面截棱錐而得，知A正確，B，C不正確；棱柱的側(cè)棱都相等且互相平行，且側(cè)面是平行四邊形，但側(cè)面并不一定全等，D不正確.故選：BCD知識點(diǎn)05圓柱1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱2、圖示：3、相關(guān)概念：軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；圓柱側(cè)面的母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊；柱體：圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體4、側(cè)面展開圖：5、結(jié)構(gòu)特征：=1\*GB3①兩個底面互相平行，=2\*GB3②有無數(shù)條母線，且長度相等，都與軸平行，軸截面是全等的矩形.6、軸截面：在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.【即學(xué)即練5】（23-24高二下·江西撫州·期中）中國古代建筑中的圓柱，多是根部略粗，頂部略細(xì)，這種做法稱為“收分”，柱子做出收分，既穩(wěn)定又輕巧．已知某古代建筑的一根圓柱，每增高1.2m，直徑收分1cm，若該柱子柱根直徑為30cmA．24cm B．25cm C．26cm【答案】B【分析】根據(jù)比值關(guān)系即可求解.【詳解】柱頭直徑為30?6故選：B．知識點(diǎn)06圓錐1、定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐2、圖示：3、相關(guān)概念：軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸；底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面；側(cè)面：直角三角形的斜邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面；母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊；錐體：棱錐和圓錐統(tǒng)稱錐體4、側(cè)面展開圖：5、結(jié)構(gòu)特征：=1\*GB3①底面是圓面，=2\*GB3②有無數(shù)條母線，長度相等且交于一點(diǎn)，平行于底面的截面是與底面大小不同的圓，=3\*GB3③軸截面是全等的等腰三角形.6、軸截面：在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.【即學(xué)即練6】（23-24高三上·四川·期末）若某圓錐的底面半徑r=1，且底面的周長等于母線長，則該圓錐的高為（

）A．4π2?1 B．4π?1 【答案】A【分析】圓錐的高和底面半徑與母線長，滿足勾股定理，再由底面的周長等于母線長，列方程求圓錐的高.【詳解】設(shè)該圓錐的高為?，依題意有2πr=r解得?=r4故選：A知識點(diǎn)07圓臺1、定義：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間部分叫做圓臺2、圖示：3、相關(guān)概念：軸：圓錐的軸；底面：圓錐的底面和截面；側(cè)面：圓錐的側(cè)面在底面與截面之間的部分；母線：圓錐的母線在底面與截面之間的部分；臺體：棱臺和圓臺統(tǒng)稱為臺體4、側(cè)面展開圖：5、結(jié)構(gòu)特征：=1\*GB3①上、下底面是平行且大小不同的圓面，母線的延長線交于一點(diǎn)，=2\*GB3②平行于底面的截面是與兩底面大小都不同的圓，=3\*GB3③軸截面是全等的等腰梯形.6、軸截面：在旋轉(zhuǎn)體中，通過軸的平面所得到的截面簡稱為軸截面.【即學(xué)即練7】（2024高一下·全國·專題練習(xí)）把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺上、下底面的半徑之比為1:4，母線長為9，則圓錐的母線長是．【答案】12【分析】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為r，圓錐的母線長為l，則圓臺的下底面的半徑為4r，作出圓錐的軸截面如圖，則△SO所以SA'SA解得l=12，即圓錐的母線長為12．故答案為：12.

知識點(diǎn)08球1、定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球2、圖示：3、相關(guān)概念：（1）球面定義1：一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面.定義2：球面可以看成空間中到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合.球心：形成球面的半圓的圓心；半徑：連接球面上一點(diǎn)和球心的線段.直徑：連接球面上兩點(diǎn)并且通過球心的線段.大圓：球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓.（6）小圓：球面被不經(jīng)過球心的平面截得的圓.【即學(xué)即練8】（23-24高二上·四川樂山·期末）一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（

）A．圓柱 B．圓錐 C．圓臺 D．球【答案】D【分析】根據(jù)各選項(xiàng)中旋轉(zhuǎn)體的定義與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷.【詳解】對于A：圓柱的軸截面是矩形，故A不符合題意；對于B：由于圓錐的軸截面是一個等腰三角形，故B不符合題意；對于C，圓臺軸截面是等腰梯形，故C不符合題意；對于D：用任意的平面去截球，得到的截面均為圓，故D符合題意．故選：D．【題型一：棱柱的結(jié)構(gòu)特征】例1．（2023·全國·高一專題練習(xí)）“棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要 D．既非充分又非必要條件【答案】C【分析】利用棱柱的結(jié)構(gòu)特征和充分，必要條件的定義進(jìn)行求解【詳解】若棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形，則兩側(cè)面的交線必定垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，滿足充分性；若棱柱為直棱柱，則棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形，滿足必要性；故“棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“該棱柱為直棱柱”的充要條件，故選:C.變式1-1．（2023·高一單元測試）如圖所示的是一個五棱柱，則下列判斷錯誤的是（

）A．該幾何體的側(cè)面是平行四邊形B．該幾何體有七個面C．該幾何體恰有十二條棱D．該幾何體恰有十個頂點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)棱柱的定義及性質(zhì)判斷即可.【詳解】解：根據(jù)棱柱的定義可知，該幾何體的側(cè)面是平行四邊形，故A正確；該五棱柱有七個面，十五條棱，十個頂點(diǎn)，故B、D正確，C錯誤；故選：C變式1-2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)M={正四棱柱}，P={直四棱柱}，N=【答案】Q【分析】根據(jù)題意，由正四棱柱，直四棱柱，長方體以及正方體的定義即可得到結(jié)果.【詳解】直四棱柱是底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱；長方體是底面為矩形的直四棱柱；正四棱柱是底面為正方形的直四棱柱；正方體是側(cè)棱長與底面長相等的正四棱柱；綜上，可得Q故答案為:Q變式1-3．（2021·高二課時練習(xí)）記A為所有多面體組成的集合，B為所有棱柱組成的集合，C為所有直棱柱組成的集合，D為所有正棱柱組成的集合，寫出集合A，B，C，D之間的關(guān)系.【答案】D【分析】根據(jù)多面體、棱柱、直棱柱、正棱柱的定義，分析即得解【詳解】由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體；上下兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫棱柱；側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱；由多面體、棱柱、直棱柱、正棱柱的定義可知：D【方法技巧與總結(jié)】棱柱特征：兩底面互相平行且全等;各側(cè)面都是平行四邊形;各側(cè)棱互相平行且相等.【題型二：棱錐的結(jié)構(gòu)特征】例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E,F【答案】幾何體A1EF?ABC是三棱臺.面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面【解析】根據(jù)題意以及三棱臺的結(jié)構(gòu)特征，可以猜想幾何體A1【詳解】∵E,F分別是A1B1,∴A∴△A1EF又面A1B1∴幾何體A1其中面ABC是下底面，面A1EF是上底面，面ABEA1，面【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱臺的結(jié)構(gòu)特征，以及利用三棱臺定義判斷幾何體的形狀，屬于基礎(chǔ)題．變式2-1．（多選）（2022·全國·高一假期作業(yè)）在正棱錐中，側(cè)面可為正三角形的是（

）A．正四棱錐 B．正五棱錐 C．正六棱錐 D．正八棱錐【答案】AB【分析】根據(jù)正棱錐底面多邊形的特點(diǎn)，假設(shè)側(cè)面都是正三角形，分別求出底面外接圓的半徑，再求出相應(yīng)的棱錐的高，即可判斷是否成立.【詳解】對于A正四棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長與底邊長相等，設(shè)底邊長為a,則底面外接圓半徑為22a，高為滿足要求，所以A正確；對于B正五棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長與底邊長相等，設(shè)底邊長為a，底面正五邊形每個內(nèi)角為108o則底面外接圓半徑為r=高為?2對于C正六棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長與底邊長相等，設(shè)底邊長為a，底面正六邊形每個內(nèi)角為120o高為?=對于D正八棱錐，側(cè)面為正三角形，所以側(cè)棱長與底邊長相等，設(shè)底邊長為a，底面正八邊形每個內(nèi)角為135o，則底面外接圓半徑為r高為?不滿足條件，所以D不正確故選：AB變式2-2．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）將一個正方體切一刀，可能得到的以下幾何體中的種類數(shù)為（

）①四面體；②四棱錐；③四棱柱；④五棱錐；⑤五棱柱；⑥六棱錐；⑦七面體A．3種 B．4種 C．5種 D．以上均不正確【答案】B【分析】可能出現(xiàn)①③⑤⑦這四種情況．【詳解】如圖，平面A1EF截正方體，可得到四面體如圖，平面EFGH截正方體，可得到四棱柱ADHE?如圖，平面EFGH截正方體，可得到五棱柱ABB故選：B.個，故選A.變式2-3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影一定是底面正多邊形的中心B．如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形，那么這個棱錐不可能為六棱錐C．有兩個面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺D．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐【答案】B【分析】對于A：舉反例：有一條側(cè)棱和底面垂直的棱錐，否定結(jié)論；對于B：直接證明即可；對于C：舉反例：把兩個相同的棱臺底面重合在一起,就不是棱臺，否定結(jié)論；對于D：由棱錐的定義，直接判斷.【詳解】對于A：底面是正多邊形的棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影不一定是底面正多邊形的中心,比如：有一條側(cè)棱和底面垂直的棱錐.故A錯誤；對于B：當(dāng)棱錐的各個側(cè)面的頂角之和是360度時,各側(cè)面構(gòu)成平面圖形,構(gòu)不成棱錐,由此推導(dǎo)出如果一個棱錐的各個側(cè)面都是等邊三角形,那么這個棱錐不可能為六棱錐,故B正確；對于C：把兩個相同的棱臺底面重合在一起,就不是棱臺,故C錯誤；對于D：由棱錐的定義，如果一個多面體的一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形,才是棱錐.故D錯誤.故選：B【方法技巧與總結(jié)】棱錐的結(jié)構(gòu)特征：1.僅有一個底面且是多邊形（三角形、四邊形……）2.側(cè)面都是三角形3.各側(cè)面有且只有一個公共頂點(diǎn)?！绢}型三：棱臺的結(jié)構(gòu)特征】例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列說法正確的有（

）①有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．②有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐A．0個 B．1個C．2個 D．3個【答案】A【分析】利用棱錐的定義和性質(zhì)，結(jié)合圖形即可得到答案.【詳解】解析①不正確．棱錐的定義是：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐．②如圖1，不正確，側(cè)棱延長線可能不交于一點(diǎn).③錯誤．不一定是正三棱錐,如圖2所示：三棱錐中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．滿足底面△BCD為等邊三角形．三個側(cè)面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC長度不一定等于AD，即三條側(cè)棱不一定全部相等．④不正確，不存在這樣的正六棱錐.極限考慮，如圖3的正六邊形ABCDEF分割成了6個全等的小正三角形，三角形所有邊長相等，從而不存在答案所說的正六棱錐.故選：A.變式3-1．（2023·高一課時練習(xí)）對有兩個面互相平行，其余各面都是梯形的多面體，以下說法正確的是(

)A．棱柱 B．棱錐C．棱臺 D．一定不是棱柱、棱錐【答案】D【分析】由棱柱、棱錐、棱臺的定義判斷【詳解】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺的特征，一定不是棱柱、棱錐．故選：D變式3-2．（2023·高一課時練習(xí)）下列說法中，正確的個數(shù)為（

）（1）有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺（2）由若干個平面多邊形所圍成的幾何體是多面體（3）棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是正六棱錐（4）底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐A．3個 B．2個 C．1個 D．0【答案】C【分析】利用棱臺的定義判斷（1），利用多面體的定義判斷（2），利用正六棱錐的定義判斷（3），利用正三棱錐的定義判斷（4）【詳解】（1）如圖，側(cè)棱延長線可能不交于一點(diǎn)，故（1）錯誤（2）正確，符合多面體的定義（3）不正確，不存在這樣的正六棱錐，正六邊形中心與各個頂點(diǎn)連線，構(gòu)成了6個全等的小正三角，所以正六棱錐棱長不可能與底邊相等，故（3）錯誤.（4）錯誤.不一定是正三棱錐,如圖所示:三棱錐中有AB=AD=BD=BC=CD.滿足底面△BCD為等邊三角形.三個側(cè)面△故選：C變式3-3．（2022·高一課時練習(xí)）下列空間圖形中是棱臺的為_____.(填序號)【答案】③【分析】根據(jù)棱臺的定義和性質(zhì)判定.【詳解】由棱臺的定義知，棱臺的上底面必須與下底面平行，且側(cè)棱延長后交于同一點(diǎn).圖①中側(cè)棱延長后不能交于同一點(diǎn)，圖②中上底面不平行于下底面，故圖①和圖②都不是棱臺.圖③符合棱臺的定義與結(jié)構(gòu)特征.故答案為：③【方法技巧與總結(jié)】棱臺的結(jié)構(gòu)特征1.上下底面是互相平行且相似的多邊形2.側(cè)面都是梯形3.各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)【題型四：圓柱、圓錐、圓臺的幾何特征】例4．（22-23高一下·河北張家口·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．圓柱是將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體B．圓錐的頂點(diǎn)?圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直角三角形C．用一平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺D．過球上任意兩點(diǎn)，有且僅有一個大圓【答案】B【分析】由幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】以矩形的一條對角線為軸，旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體不是圓柱，故A錯誤；因?yàn)閳A錐的頂點(diǎn)與底面圓心連線垂直底面，所以圓錐的頂點(diǎn)?圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)及底面圓的圓心三點(diǎn)的連線可以構(gòu)成直角三角形，故B正確；用一平行底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺，故C錯誤；當(dāng)球面上兩點(diǎn)是球的直徑的端點(diǎn)時，過這兩點(diǎn)的大圓有無數(shù)個，故D錯誤.故選：B.變式4-1．（多選）（22-23高一下·河北張家口·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．圓柱的母線和它的軸可以不平行B．圓柱?圓錐?圓臺的底面都是圓面C．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐D．將一個等腰梯形繞著它的較長的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括一個圓柱?兩個圓錐【答案】BD【分析】根據(jù)有關(guān)幾何體的性質(zhì)和定義求解.【詳解】對于A：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故A錯誤；對于B：圓柱?圓錐?圓臺的底面都是圓面，故B正確；對于C：當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時，會得到兩個同底的圓錐組合體，故C錯誤；對于D：圖①是一個等腰梯形，CD為較長的底邊，以CD邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為一個組合體，如圖②，包括一個圓柱?兩個圓錐，正確；

故選：BD.變式4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）給出下列結(jié)論：①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺；⑤用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是球．其中正確結(jié)論的序號是．【答案】⑤【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可逐項(xiàng)判斷.【詳解】①中這條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐，①錯誤；②中這條腰若不是垂直于兩底的腰，則得到的不是圓臺，②錯誤；圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面，③錯誤；④中如果用不平行于圓錐底面的平面截圓錐，那么得到的不是圓錐和圓臺，④錯誤；只有球滿足任意截面都是圓面，⑤正確．故答案為：⑤變式4-3．（19-20高一·全國·課后作業(yè)）給出下列說法：（1）圓柱的底面是圓面；（2）經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；（3）圓臺的任意兩條母線所在的直線可能相交，也可能不相交；（4）夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體．其中說法正確的是．【答案】（1）（2）【分析】由圓柱的性質(zhì)判斷(1)、(2)、(4)；由圓臺的性質(zhì)判斷(3).【詳解】解：圓柱的底面是圓面，故（1）正確；圓柱的母線都平行且相等，且都垂直于底面，則經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面，故（2）正確；圓臺是由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到的，則圓臺的任意兩條母線所在的直線相交，故（3）錯誤；當(dāng)兩個截面不平行或截面平行但不與底面平行時，兩個截面間的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，故（4）錯誤．故答案為：（1）（2）．【方法技巧與總結(jié)】圓柱、圓錐、圓臺的關(guān)系【題型五：球體的幾何特征】例5．（21-22高一·全國·課后作業(yè)）下列說法中正確的是（

）A．球的半徑可以是球面上任意一點(diǎn)與球心所連的線段B．球的直徑可以是球面上任意兩點(diǎn)所連的線段C．用一個平面截球，得到的截面可以是正方形D．球不可以用表示球心的字母表示【答案】A【分析】根據(jù)球的定義及性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】解：根據(jù)球的定義知A正確；因?yàn)榍虻闹睆奖剡^球心，所以B錯誤；因?yàn)榍虻娜魏谓孛娑际菆A面，所以C錯誤；球常用表示球心的字母表示，故D錯誤.故選：A.變式5-1．（22-23高一下·廣東湛江·期中）小明在湛江海博會參觀時，看到一個幾何體，它的軸截面一定是圓面，則這個幾何體是（

）A．圓柱 B．圓錐 C．球 D．圓臺.【答案】C【分析】根據(jù)球的結(jié)構(gòu)特征即可求解.【詳解】由球的結(jié)構(gòu)特征可知，球的軸截面是一個圓，圓柱的軸截面可以是矩形，圓錐的軸截面可以是等腰三角形，圓臺的軸截面可以是等腰梯形，故ABD錯誤，C正確.故選：C.變式5-2．（21-22高二·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是(

)A．到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合是球B．球面上不同的三點(diǎn)可能在同一直線上C．球面上任意兩點(diǎn)的連線是球的直徑D．球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面【答案】D【分析】利用球的定義判斷選項(xiàng)A；利用球面上點(diǎn)的關(guān)系判斷選項(xiàng)B；利用球的直徑的概念即可判斷選項(xiàng)C，利用球的幾何性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對于A，球是球體的簡稱，球體的外表面我們稱之為球面，球面是一個曲面，是空心的，而球是幾何體，是實(shí)心的，故選項(xiàng)A錯誤；對于B，球面上不同的三點(diǎn)一定不共線，故選項(xiàng)B錯誤；對于C，球面上任意兩點(diǎn)連線若過球心則為球的直徑，不過球心則不是球的直徑，故選項(xiàng)C錯誤；對于D，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可知，球心與截面圓心(截面不過球心)的連線垂直于該截面，故選項(xiàng)D正確．故選：D．變式5-3.（21-22高一下·廣東珠?！るA段練習(xí)）銅錢又稱方孔錢，是古代錢幣最常見的一種．如圖所示為清朝時的一枚“嘉慶通寶”，由一個圓和一個正方形組成，若繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體是（

）A．一個球B．一個球挖去一個圓柱C．一個圓柱D．一個球挖去一個正方體【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義可得正確的選項(xiàng).【詳解】圓及其內(nèi)部旋轉(zhuǎn)一周后所得幾何體為球，而矩形及其內(nèi)部繞一邊旋轉(zhuǎn)后所得幾何體為圓柱，故題設(shè)中的平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸（虛線）旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體為一個球挖去一個圓柱，故選：B.一、單選題1．（23-24高一下·陜西西安·期中）有一封閉透明的正方體形容器，裝有容積一半的有顏色溶液，當(dāng)你任意旋轉(zhuǎn)正方體，靜止時液面的形狀不可能是（

）A．三角形 B．正方形 C．菱形 D．正六邊形【答案】A【分析】根據(jù)題意可得無論怎樣轉(zhuǎn)動，其液面總是過正方體的中心，再分別討論液面與底面平行，液面過正方體對角線的兩個頂點(diǎn)和液面過正方體六條棱的中點(diǎn)即可判斷B，C和D是正確的，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】因?yàn)檎襟w容器中盛有一半容積的有顏色溶液，無論怎樣轉(zhuǎn)動，其液面總是過正方體的中心．對于B，當(dāng)過正方體一面上相對兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正方形，即靜止時液面如圖（1），故B正確；對于C，當(dāng)過正方體一面上一邊的中點(diǎn)和此邊外的頂點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，其截面形狀為菱形，即靜止時液面如圖（2），故C正確；對于D，當(dāng)過正方體一面上相鄰兩邊的中點(diǎn)以及正方體的中心作一截面，得截面形狀為正六邊形，即靜止時液面如圖（3），故D正確；

故選：A．2．（23-24高一下·陜西西安·期中）將棱長為4的正方體表面涂成紅色，將其適當(dāng)分成棱長為1的小正方體，則各面均沒有顏色的小正方體個數(shù)占總的小正方體個數(shù)的（

）A．116 B．18 C．14【答案】B【分析】利用正方體的特征計(jì)算即可.【詳解】如圖所示，大正方體分割為43個，各面均沒有顏色的小正方體有2所以答案為23故選：B3．（23-24高一下·福建·期中）下列說法正確的是（）A．圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑不可能相等B．直四棱柱是長方體C．將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個圓錐D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【答案】D【分析】根據(jù)幾何體的定義和性質(zhì)，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.圓柱的母線長與圓柱的底面圓半徑可能相等，故A錯誤；B.直四棱柱是底面是四邊形，側(cè)棱和底面垂直的棱柱，不一定是長方體，故B錯誤；C.將一個等腰梯形繞著它較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是一個組合體，上下是圓錐，中間是圓柱，故C錯誤；D.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故D正確.故選：D4．（23-24高一下·福建·期中）如圖所示，是一個正方體的表面展開圖，則圖中“九”在正方體中的對面是（

）A．縣 B．市 C．聯(lián) D．考【答案】B【分析】把正方體還原求解.【詳解】解：把正方體還原如下圖：則上面是九，下面是市，左面是縣，右面是聯(lián)，前面是考，后面是區(qū)，故選：B5．（23-24高一下·湖南衡陽·期中）下列命題是真命題的是（

）A．兩個四棱錐可以拼成一個四棱柱 B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C．經(jīng)過不共線的三個點(diǎn)的球有且只有一個 D．直棱柱的側(cè)面是矩形【答案】D【分析】利用空間幾何體的結(jié)構(gòu)，依次分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】對于A，兩個四棱錐不一定可以拼成一個四棱柱，A錯誤．對于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯誤．對于C，經(jīng)過不共線的三個點(diǎn)只能確定一個平面，經(jīng)過不共線的三個點(diǎn)的球有無數(shù)個，C錯誤．對于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D6．（23-24高一下·黑龍江大慶·期中）下列命題中正確的是（

）①圓錐的軸截面是所有過頂點(diǎn)的截面中面積最大的一個；②在圓柱的上、下底面的圓周上各取一個點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；③圓臺的兩個底面平行．A．①② B．② C．③ D．①③【答案】C【分析】對①，根據(jù)過圓錐頂點(diǎn)的截面圖形特征和截面圖的面積公式S=12l【詳解】對①，過圓錐頂點(diǎn)的截面為等腰三角形，且兩腰長為母線長l，設(shè)該等腰三角形頂角為θ，則截面三角形面積為S=12l2sin故當(dāng)圓錐的軸截面三角形頂角大于π2時，圓錐的軸截面面積不一定是最大的，故①根據(jù)圓柱的母線定義可知②錯；根據(jù)圓臺定義：平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面與圓錐底面的部分稱為圓臺，知圓臺的兩個底面平行，故③正確.故選：C.7．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法正確的是（

）A．有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體是棱錐B．有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)【答案】D【分析】由棱錐的定義可判斷A，由棱臺的定義可判斷BCD.【詳解】有一個面是多邊形，其余各面是三角形，若其余各面沒有一個共同的頂點(diǎn)，則不是棱錐，故A錯誤；兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺，還要滿足各側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)，故B錯誤，D正確；用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間那部分所圍成的幾何體叫做棱臺，故C錯誤．故選：D.8．（23-24高一下·廣東梅州·期中）下列結(jié)論正確的是（

）A．底面是正方形的棱錐是正四棱錐B．繞直角三角形的一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是圓錐C．有兩個面是四邊形且相互平行，其余四個面都是等腰梯形的幾何體是四棱臺D．棱臺的所有側(cè)棱所在直線必交于一點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)正四棱錐的定義即可判斷A，舉反例即可判斷BC，根據(jù)棱臺特點(diǎn)即可判斷D.【詳解】對于A，底面是正方形的棱錐且頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心才是正四棱錐，故A錯誤；對于B，以直角三角形斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸時，所形成的幾何體是兩個同底的圓錐，故B錯誤；對于C，如圖的幾何體滿足條件，但側(cè)棱延長線不能相交于一點(diǎn)，不是棱臺，C錯誤；

對于D，由棱臺結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，D正確.故選：D.二、多選題9．（23-24高一下·福建福州·期中）下列說法錯誤的是（

）A．直四棱柱是長方體B．圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺C．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)D．棱柱中兩個互相平行的面一定是棱柱的底面【答案】AD【分析】根據(jù)棱柱、圓臺、棱臺的結(jié)果特征一一判斷即可.【詳解】對于A：因?yàn)橹彼睦庵舷碌酌嫫叫校瑐?cè)棱垂直于底面，但是上下底面可以不是矩形，所以直棱柱不一定是長方體，故A錯誤；對于B：圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺，故B正確；對于C：由棱臺的定義知，棱臺的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)，故C正確；對于D：棱柱的兩個面平行可能是棱柱的底面也可能是棱柱的側(cè)面，故D錯誤；故選：AD.10．（23-24高一下·安徽安慶·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．多面體的每條棱都是一條線段B．在四棱臺ABCD?A1BC．上、下底面均為正方形的四棱臺的四條側(cè)棱長一定相等D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線【答案】AD【分析】根據(jù)多面體和棱臺的定義及性質(zhì)判斷ABC，根據(jù)圓錐的結(jié)特征判斷D.【詳解】根據(jù)棱長的定義可知，故A正確；根據(jù)棱臺的性質(zhì)知A,C,A對于四棱錐P?ABCD，底面ABCD是正方形，當(dāng)側(cè)棱PA垂直底面ABCD時，該四棱錐所截的四棱臺的側(cè)棱不相等，故C錯誤；圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)與圓錐頂點(diǎn)的連線叫做圓錐的母線，故D正確.故選：AD11．（23-24高一下·江蘇無錫·期中）在正方體ABCD?A1B1C1DA．三棱錐 B．直三棱柱C．三棱臺 D．四棱柱【答案】ABC【分析】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合平面圖形的性質(zhì)分別分析截面形狀即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，連接DE,DF，則平面DEF可截得三棱錐D?D如圖，過E作EG⊥AD，過F作FH⊥CD，則過E,F的平面EFHG可截得直三棱柱如圖，延長D1D至P，連接PE,PF，分別與AD,則可得平面EFNM截得三棱臺DMN?DEF將四邊形A1B故選：ABC.三、填空題12．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）給出下列說法：①圓柱的底面是圓面；②經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；③夾在圓柱的兩個截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體；④過球面上任意兩點(diǎn)只能作一個以球心為圓心的圓.其中說法正確的是（填序號）.【答案】①②【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱的定義和球的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對于①，根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，可得圓柱的底面是圓面，所以①正確；對于②，根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征，可得經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面，所以②正確；對于③，夾在圓柱的兩個平行于底面的截面間的幾何體才是旋轉(zhuǎn)體，所以③不正確；對于④，當(dāng)這兩點(diǎn)是球的直徑的兩端點(diǎn)時，可以作無數(shù)個以球心為圓心的圓，所以④不正確.故答案為：①②13．（2024高一·江蘇·專題練習(xí)）下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法：①用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；②棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；③棱錐的側(cè)面只能是三角形；④由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐．其中正確的序號是．【答案】②③④【分析】根據(jù)棱錐和棱臺的定義、結(jié)構(gòu)特征依次判斷命題即可求解.【詳解】①：若平面不與棱錐底面平行，用這個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺，故①錯誤；②：棱臺的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形，故②正確；③：由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形，故③正確；④：由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐，故④正確；⑤：如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐，故⑤錯誤；故答案為：②③④.14．（20-21高一下·全國·課后作業(yè)）給出下列說法：①經(jīng)過圓柱任意兩條母線的截面是一個矩形面；②圓臺的任意兩條母線的延長線，可能相交，也可能不