2025年高考數(shù)學(xué)第一次模擬考試（全解全析）

2025年高考第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)（新高考Ⅰ卷）（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）1．已知全集，集合，或，則（

）A． B． C．（－3，3] D．（2，3]【答案】A【解析】不等式解得，∴，或，則，.故選：A2．下列命題是真命題的是（

）A．兩個(gè)四棱錐可以拼成一個(gè)四棱柱 B．正三棱錐的底面和側(cè)面都是等邊三角形C．經(jīng)過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有且只有一個(gè) D．直棱柱的側(cè)面是矩形【答案】D【解析】對(duì)于A，兩個(gè)四棱錐不一定可以拼成一個(gè)四棱柱，A錯(cuò)誤．對(duì)于B，正三棱錐的底面是等邊三角形，側(cè)面是等腰三角形，不一定是等邊三角形，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，經(jīng)過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)只能確定一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)不共線的三個(gè)點(diǎn)的球有無(wú)數(shù)個(gè)，C錯(cuò)誤．對(duì)于D，直棱柱的側(cè)面是矩形，D正確．故選：D3．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（

）A．120 B．140 C．160 D．180【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：C.4．已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值是（

）A．和 B． C． D．【答案】B【解析】由三角函數(shù)的定義可得，則，整理可得，因?yàn)?，解得故選：B.5．點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結(jié)合對(duì)稱性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離：.6．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【解析】根據(jù)題意，可得，則數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，所以.7．已知平行六面體中，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)樗裕?8．閔可夫斯基距離又稱為閔氏距離，是兩組數(shù)據(jù)間距離的定義.設(shè)兩組數(shù)據(jù)分別為和，這兩組數(shù)據(jù)間的閔氏距離定義為，其中q表示階數(shù).現(xiàn)有下列四個(gè)命題：①若，則；②若，其中，則；③若，其中，則；④若，其中，則的最小值為.其中所有真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對(duì)于①：，故①正確.對(duì)于②：，故②錯(cuò)誤.對(duì)于③：，不妨設(shè)，，且均為非負(fù)數(shù)，所以故③正確.對(duì)于④：構(gòu)造函數(shù)，則，的最小值即兩曲線動(dòng)點(diǎn)間的最小距離，設(shè)與直線平行的切線方程為，聯(lián)立得：，令得，，所以切線方程為：與之間的距離，所以最小值為，故④正確.二、多選題9．甲乙兩名同學(xué)參加系列知識(shí)問(wèn)答節(jié)目，甲同學(xué)參加了5場(chǎng)，得分是3，4，5，5，8，乙同學(xué)參加了7場(chǎng)，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有關(guān)這兩名同學(xué)得分?jǐn)?shù)據(jù)下列說(shuō)法正確的是（

）A．得分的中位數(shù)甲比乙要小 B．兩人的平均數(shù)相同C．兩人得分的極差相同 D．得分的方差甲比乙小【答案】BCD【解析】對(duì)于A，甲的得分中位數(shù)是5，乙的得分中位數(shù)是5，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲的得分平均數(shù)是，乙的得分平均數(shù)是，故B正確；對(duì)于C，甲的得分極差是，乙的得極差是，故C正確；對(duì)于D，甲的得分方差是，乙的得方差是，故D正確.10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則（

）A． B．C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】ABC【解析】令，可得，故A正確；令，可得，令，可得，則，故B正確；由，可得，令，則，令，可得，令，則，所以是奇函數(shù)，即是奇函數(shù)，故C正確；因?yàn)?，所以不是偶函?shù)，故D錯(cuò)誤．11．已知圓，圓分別是圓與圓上的點(diǎn)，則（

）A．若圓與圓無(wú)公共點(diǎn)，則B．當(dāng)時(shí)，兩圓公共弦所在直線方程為C．當(dāng)時(shí)，則斜率的最大值為D．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作圓兩條切線，切點(diǎn)分別為，則不可能等于【答案】BC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)，可以無(wú)窮大，所以A不正確；當(dāng)時(shí)兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為，所以B為正確選項(xiàng)；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)如圖，

和為兩條內(nèi)公切線，且，由平面幾何知識(shí)可知，所以可得，即斜率的最大值為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，

點(diǎn)P在位置時(shí)，點(diǎn)在位置時(shí)，所以中間必然有位置使得，故D錯(cuò)誤.三、填空題12．在的展開式中，的系數(shù)為．【答案】60【解析】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.13．與圓臺(tái)的上、下底面及側(cè)面都相切的球，稱為圓臺(tái)的內(nèi)切球，若圓臺(tái)的上下底面半徑為，，且，則它的內(nèi)切球的體積為.【答案】【解析】由題意，畫出圓臺(tái)的直觀圖，其中為圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，，分別為上、下底面的圓心，點(diǎn)為內(nèi)切球的球心，點(diǎn)為球與圓臺(tái)側(cè)面相切的一個(gè)切點(diǎn).則由題意可得：，.因此可得：內(nèi)切球半徑，即得內(nèi)切球的體積為.14．橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上第一象限內(nèi)，記，存在圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】顯然直線斜率都存在，且，由，得，則，而，于是，設(shè)，則，因此，解得，所以橢圓的離心率為.四、解答題15．如圖，四面體中，是的中點(diǎn)，，(1)求異面直線AB與CD所成角余弦值的大??；(2)求點(diǎn)E到平面ACD的距離.【答案】(1)(2)【解析】（1）取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知，則直線OE與EM所成的角就是異面直線AB與CD所成的角，（2分）在中，，因?yàn)槭侵苯切边匒C上的中線，則，可得，（5分）所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為.（6分）（2）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為因?yàn)?，即，?分）在中，，可得，（9分）且，（10分）可得，（12分）所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為（13分）16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若恒成立，求的最小值．【答案】(1)答案見(jiàn)詳解(2)【解析】（1）（），（1分）當(dāng)時(shí)，由于，所以恒成立，從而在上遞增；（2分）當(dāng)時(shí)，，；，，從而在上遞增，在遞減；（4分）綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（6分）（2）令，要使恒成立，只要使恒成立，也只要使.（7分），（8分）若，，所以恒成立，（9分）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，（10分）所以，解得：，可知的最小值為；（12分）若，，所以恒成立，（13分）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，（14分）所以在內(nèi)無(wú)最大值，且當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，不合題意；綜上所述：的最小值為.（15分）17．11分制乒乓球比賽規(guī)則如下：在一局比賽中，每?jī)汕蚪粨Q發(fā)球權(quán)，每贏一球得1分，先得11分且至少領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束：當(dāng)某局比分打成10∶10后，每球交換發(fā)球權(quán)，領(lǐng)先2分者勝，該局比賽結(jié)束現(xiàn)有甲、乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝、每局11分制的乒乓球比賽，比賽開始前通過(guò)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣來(lái)確定誰(shuí)先發(fā)球假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為，各球的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，且各局的比賽結(jié)果也相互獨(dú)立．(1)若每局比賽甲獲勝的概率，求該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率.(2)已知第一局目前比分為10∶10，求（?。┰俅騼蓚€(gè)球甲新增的得分的分布列和均值；（ⅱ）第一局比賽甲獲勝的概率；【答案】(1)(2)（?。┓植剂幸?jiàn)詳解，；（ⅱ）【解析】（1）因?yàn)榧酌烤肢@勝的概率均為，根據(jù)五局三勝制的規(guī)則，設(shè)甲獲勝時(shí)的比賽總局?jǐn)?shù)為，因?yàn)槊烤值谋荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，所以的所有可能取值為，（1分）可得；（4分）故該場(chǎng)比賽甲獲勝的概率P=PY=3（2）（?。┮李}意，的所有可能取值為（6分）設(shè)打成后甲先發(fā)球?yàn)槭录瑒t乙先發(fā)球?yàn)槭录?，且，?分）所以P(X=0)=P(A)?P(X=0|A)+P(A（9分）P(X=2)=P(A)?P(X=2|A)+P(A所以的分布列為012故的均值為EX=0×（ⅱ）設(shè)第一局比賽甲獲勝為事件，則PB|X=0=0,P由（ⅰ）知，PX=0PB解得PB=218．如圖，小明同學(xué)先把一根直尺固定在畫板上面，把一塊三角板的一條直角邊緊靠在直尺邊沿，再取一根細(xì)繩，它的長(zhǎng)度與另一直角邊相等，讓細(xì)繩的一端固定在三角板的頂點(diǎn)A處，另一端固定在畫板上點(diǎn)F處，用鉛筆尖扣緊繩子（使兩段細(xì)繩繃直），靠住三角板，然后將三角板沿著直尺上下滑動(dòng)，這時(shí)筆尖在平面上畫出了圓錐曲線C的一部分圖象.已知細(xì)繩長(zhǎng)度為3，經(jīng)測(cè)量，當(dāng)筆尖運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P處，此時(shí)，，.設(shè)直尺邊沿所在直線為a，以過(guò)F垂直于直尺的直線為x軸，以過(guò)F垂直于a的垂線段的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.(1)求曲線C的方程；(2)斜率為k的直線過(guò)點(diǎn)，且與曲線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，已知k的取值范圍為0,2，若，求的范圍.【答案】(1)；(2)【解析】（1）由題意，筆尖到點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以筆尖留下的軌跡為以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，（2分）因?yàn)椋?，且，可得，由，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，（4分）又由拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，解得，（6分）所以曲線的軌跡方程為.（7分）（2）假設(shè)存在，使得，設(shè)，直線的方程為，（9分）聯(lián)立方程組，整理得，且，（10分）則，則，（11分）可得，（12分）由，可得，即，所以，（13分）令，則，（14分）所以，且，即，解得或，（16分）所以存在，使得成立.（17分）19．復(fù)數(shù)是由意大利米蘭學(xué)者卡當(dāng)在十六世紀(jì)首次引入，經(jīng)過(guò)達(dá)朗貝爾、棣莫弗、歐拉、高斯等人的工作，此概念逐漸為數(shù)學(xué)家所接受.形如的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中稱為實(shí)部，稱為虛部，i稱為虛數(shù)單位，.當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù)；當(dāng)且時(shí)，為純虛數(shù).其中，叫做復(fù)數(shù)的模.設(shè)，，，，，，如圖，點(diǎn)，復(fù)數(shù)可用點(diǎn)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，軸叫做實(shí)軸，軸叫做虛軸.顯然，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個(gè)復(fù)數(shù)，有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)，反過(guò)來(lái)，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng).一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，即，其中為復(fù)數(shù)的模，叫做復(fù)數(shù)的輻角，我們規(guī)定范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值，記作.叫做復(fù)數(shù)的三角形式.

(1)設(shè)復(fù)數(shù)，，求、的三角形式；(2)設(shè)復(fù)數(shù)，，其中，求；(3)在中，已知、、為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊.借助平面直角坐標(biāo)系及閱讀材料中所給復(fù)數(shù)相關(guān)內(nèi)容，證明：①；②，，.注意：使用復(fù)數(shù)以外的方法證明不給分.【答案】(1)