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2025年高考第二次模擬考試高三數(shù)學（新八省通用）01·全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由、，，故.故選：B.2．的最小正周期為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的最小正周期，故選:D.3．若，則（

）A．2 B． C．3 D．5【答案】B【解析】因為.故選：B4．已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵，∴，，故選A.5．設雙曲線的一個頂點坐標為，焦距為，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】雙曲線中，半焦距為，即，又雙曲線一個頂點坐標為，即，解得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：D．6．已知一個圓錐的底面圓半徑為，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設圓錐的母線長為，高為，則，解得，所以，所以圓錐的體積.故選：D.7．在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，故，故選D8．已知且，若在上恒成立，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，①若，則，且，，根據(jù)穿根法可知或時不符合題意，舍去；②若，要滿足題意則，符合題意，如圖所示；③當時，同理要滿足題意需，與前提矛盾；④當，此時，則的三個零點都是負數(shù)，由穿根法可知符合題意；綜上可知滿足在恒成立時，只有滿足題意.故選：C．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．以下繩結(jié)，拉伸兩個端頭繩子會打結(jié)的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】繩子A的判斷：對于繩子A，其纏繞方式使得在拉伸兩個端頭時，中間部分會因為繩子的交叉纏繞而形成一個結(jié)；繩子B的判斷：繩子B在拉伸兩個端頭時，繩子可以順利地被拉直，不會出現(xiàn)打結(jié)的情況，因為其纏繞方式并沒有形成閉環(huán)式的交叉；繩子C的判斷：繩子C的纏繞結(jié)構(gòu)決定了在拉伸兩個端頭時會形成結(jié)，其交叉和纏繞使得在拉伸時必然會有部分繩子形成閉環(huán)結(jié)；繩子D的判斷：繩子D在拉伸端頭時，會因為其復雜的纏繞而形成結(jié)，繩子中間部分會收緊成結(jié)，故選ACD.10．已知拋物線的焦點為為坐標原點，點在拋物線上，若，則（

）A．的坐標為 B．C． D．【答案】BD【解析】由拋物線，可得，所以，且焦點在y軸正半軸上，則焦點，所以A錯誤；由拋物線的定義,可得，解得，所以B正確；由，可得，所以，則，所以C不正確；由，所以D正確．故選：BD．11．Sigmoid函數(shù)是一個在生物學中常見的S型函數(shù)，也稱為S型生長曲線，常被用作神經(jīng)網(wǎng)絡的激活函數(shù).記為Sigmoid函數(shù)的導函數(shù)，則（

）A． B．Sigmoid函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)C．函數(shù)的最大值是 D．【答案】ACD【解析】由函數(shù)求導得：，對于A，，A正確；對于B，，，則Sigmoid函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，B不正確；對于C，，當且僅當，即時取“=”，C正確；對于D，因，則，D正確.故選ACD第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若，則.【答案】【解析】由，可得.13．在某次國際商貿(mào)交流會展期間，舉辦城市為了提升安保級別，在平時正常安保的基礎上再將甲、乙等6名特警人員分配到展區(qū)附近的4個不同的路口進行執(zhí)勤，若每個特警只能分配去1個路口且每個路口至少安排1名特警，則甲和乙不安排在同一個路口執(zhí)勤的概率是．【答案】【解析】6名特警分配到展區(qū)附近的4個不同的路口進行執(zhí)勤，不同安排方法數(shù)為，甲乙安排在同一路口，視甲乙為一個人，5個人安排到4個路口的安排數(shù)為，因此甲和乙安排在同一個路口執(zhí)勤的概率是，所以甲和乙不安排在同一個路口執(zhí)勤的概率是.14．已知函數(shù)g(x)＝a－x2－2x，f(x)＝且函數(shù)y＝f(x)－x恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由得：，可得f(x)－x＝a＋，所以y＝f(x)－x有三個零點等價于有三個不同交點.令h(x)＝，畫出y＝h(x)的圖象如圖所示，將水平直線y＝a從上向下平移，當a＝0時，有兩個交點，再向下平移，有三個交點，當a＝－1時，有三個交點，再向下就只有兩個交點了，因此.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（本小題滿分13分）“一帶一路”是促進各國共同發(fā)展，實現(xiàn)共同繁榮的合作共嬴之路．為了了解我國與某國在“一帶一路”合作中兩國的貿(mào)易量情況，隨機抽查了100天進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量（單位：億元人民幣/天），整理數(shù)據(jù)得下表：進口貿(mào)易量出口貿(mào)易量3218468123710(1)用頻率估計概率，試估計事件“我國與該國貿(mào)易中，一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過100億元人民幣”的概率．(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表．進口貿(mào)易量出口貿(mào)易量(3)依據(jù)的獨立性檢驗，能否認為我國與該國貿(mào)易中一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量有關(guān)？附：，．0.050.010.0013.8416.63510.828【解】（1）解：由題表中的信息可知，在這100天中，進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量均不超過100億元人民幣的天數(shù)為，用頻率估計概率，可得所求概率．（2）列出列聯(lián)表如下：進口貿(mào)易量出口貿(mào)易量64161010（3）零假設為：我國與該國貿(mào)易中一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量無關(guān)．由（2）得，所以依據(jù)的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為我國與該國貿(mào)易中一天的進口貿(mào)易量與出口貿(mào)易量有關(guān)16．（本小題滿分15分）已知在正項數(shù)列中，首項，點在雙曲線上，數(shù)列中，點在直線上，其中是數(shù)列的前項和．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）求使得成立的最小值；（3）若，求證：數(shù)列為遞減數(shù)列．【解】（1）點在雙曲線上，是以為首項，公差為的等差數(shù)列，；點在直線上，，當時，，當時，，，是以為首項，公比為的等比數(shù)列，.（2），解得，成立的最小值為7.（3），，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列.17．（本小題滿分15分）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若0是函數(shù)的極小值點，求實數(shù)的取值范圍．【解】（1）由，，則，所以，即切線斜率為，又，則切點為，切線方程為，所以曲線在點處的切線方程為．（2）根據(jù)題意得，，則．由0為的極小值點，可知．設，則．（?。┊敃r，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以0是的極小值點，符合題意．（ⅱ）當時，設，則，所以在上單調(diào)遞增，，，所以存在，使得，所以當時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.又，所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以0是的極小值點，符合題意．（ⅲ）當時，，且在上單調(diào)遞增，所以當時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.又，所以，單調(diào)遞增，不符合題意．（ⅳ）當時，，在上單調(diào)遞增，，所以存在，使得，所以當時，，單調(diào)遞減，又，所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以0是的極大值點，不符合題意．綜上，的取值范圍是．18．（本小題滿分17分）已知分別為橢圓的左?右焦點，分別為橢圓的左?右頂點，為橢圓上的動點，過動點作橢圓的切線.分別與直線和相交于兩點，四邊形的對角線相交于點，記動點的軌跡為.(1)證明：橢圓在點處的切線方程為.(2)求動點的軌跡的方程.(3)過點作斜率不為的直線與相交于點，直線與的交點為，判斷點是否在定直線上.【解】（1）證明：聯(lián)立方程組，消去整理得，又，即，整理得，解得，所以直線與橢圓有且僅有一個交點，即切線方程為.（2）解：由（1）中切線方程，令，得，令，得，因為，所以直線，①因為，所以直線，②由①②得.因為，得，所以動點的軌跡的方程為）.（3）解：設直線的方程為，聯(lián)立方程組得，則，所以.因為直線的方程為，直線的方程為，所以，所以，所以，整理得所以，即點在定直線上.

19．（本小題滿分17分）如圖1，菱形ABCD中∠ABC＝120°，動點E，F(xiàn)在邊AD，AB上（不含端點），且存在實數(shù)使，沿EF將△AEF向上折起得到△PEF，使得平面PEF⊥平面BCDEF，如圖2所示．(1)若BF⊥PD，設三棱錐P－BCD和四棱錐P－BDEF的體積分別為，，求；(2)當點E的位置變化時，平面EPF與平面BPF的夾角（銳角）的余弦值是否為定值，若是，求出該余弦值，若不是，說明理由；(3)若AB＝2，求四棱錐P－BDEF的外接球半徑的最小值．【解】（1）在圖2中，取EF中點O，BD中點M，連接OP，OM，以O為原點，OF、OM、OP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系，設AB＝4、OP＝x，則，，∴，，，，故，，∵直線BF與PD垂直，，∴，解得（舍）或，∴PO＝2OM，∴AE＝2ED，∴圖中點E在靠近點D的三等分點處．，∴（2）設二面角E－PF－B的平面角為，則為鈍角．證明：平面PEF的法向量，，，設平面PBF的法向量，則，即取a＝1，得，∴．又為鈍角，∴．∴無論點