必修五基本不等式的題型與易錯點

第5頁共5頁高考基本不等式專題典題精講例1（1）已知0＜x＜，求函數(shù)y=x(1-3x)的最大值;（2）求函數(shù)y=x+的值域.思路分析：（1）由極值定理,可知需構(gòu)造某個和為定值，可考慮把括號內(nèi)外x的系數(shù)變成互為相反數(shù)；（2）中，未指出x＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x＞0與x＜0討論.（1）解法一：∵0＜x＜,∴1-3x＞0.∴y=x(1-3x)=·3x(1-3x)≤［］2=，當(dāng)且僅當(dāng)3x=1-3x，即x=時，等號成立.∴x=時，函數(shù)取得最大值.解法二：∵0＜x＜,∴-x＞0.∴y=x(1-3x)=3x(-x)≤3［］2=，當(dāng)且僅當(dāng)x=-x,即x=時，等號成立.∴x=時，函數(shù)取得最大值.（2）解：當(dāng)x＞0時，由基本不等式，得y=x+≥2=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，等號成立.當(dāng)x＜0時，y=x+=-［(-x)+］.∵-x＞0,∴(-x)+≥2,當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時，等號成立.∴y=x+≤-2.綜上,可知函數(shù)y=x+的值域為(-∞,-2］∪［2,+∞).綠色通道：利用基本不等式求積的最大值，關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值，為使基本不等式成立創(chuàng)造條件，同時要注意等號成立的條件是否具備.變式訓(xùn)練1當(dāng)x＞-1時，求f(x)=x+的最小值.思路分析：x＞-1x+1＞0,變x=x+1-1時x+1與的積為常數(shù).解：∵x＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+=x+1+-1≥2-1=1.當(dāng)且僅當(dāng)x+1=,即x=0時,取得等號.∴f(x)min=1.變式訓(xùn)練2求函數(shù)y=的最小值.思路分析：從函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)來看，它與基本不等式結(jié)構(gòu)相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事實上，我們可以把分母視作一個整體，用它來表示分子，原式即可展開.解：令t=x2+1，則t≥1且x2=t-1.∴y==.∵t≥1,∴t+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=1時，等號成立.∴當(dāng)x=0時，函數(shù)取得最小值3.例2已知x＞0,y＞0，且+=1，求x+y的最小值.思路分析：要求x+y的最小值，根據(jù)極值定理，應(yīng)構(gòu)建某個積為定值，這需要對條件進行必要的變形，下面給出三種解法，請仔細體會.解法一：利用“1的代換”,∵+=1,∴x+y=(x+y)·(+)=10+.∵x＞0,y＞0,∴≥2=6.當(dāng)且僅當(dāng)，即y=3x時，取等號.又+=1,∴x=4,y=12.∴當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.解法二：由+=1，得x=.∵x＞0,y＞0,∴y＞9.x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.∵y＞9,∴y-9＞0.∴≥2=6.當(dāng)且僅當(dāng)y-9=，即y=12時，取得等號，此時x=4.∴當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.解法三：由+=1，得y+9x=xy,∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2=16,當(dāng)且僅當(dāng)x-1=y-9時取得等號.又+=1,∴x=4,y=12.∴當(dāng)x=4,y=12時，x+y取得最小值16.綠色通道：本題給出了三種解法，都用到了基本不等式，且都對式子進行了變形，配湊出基本不等式滿足的條件，這是經(jīng)常需要使用的方法，要學(xué)會觀察,學(xué)會變形，另外解法二，通過消元,化二元問題為一元問題，要注意根據(jù)被代換的變量的范圍對另外一個變量的范圍的影響.黑色陷阱：本題容易犯這樣的錯誤：+≥2①,即≤1,∴≥6.∴x+y≥2≥2×6=12②.∴x+y的最小值是12.產(chǎn)生不同結(jié)果的原因是不等式①等號成立的條件是=，不等式②等號成立的條件是x=y.在同一個題目中連續(xù)運用了兩次基本不等式,但是兩個基本不等式等號成立的條件不同，會導(dǎo)致錯誤結(jié)論.變式訓(xùn)練已知正數(shù)a,b,x,y滿足a+b