2023~2024學(xué)年黑龍江區(qū)域聯(lián)考高考數(shù)學(xué)押題試題二模帶解析

2023-2024學(xué)年黑龍江省區(qū)域聯(lián)考高考數(shù)學(xué)押題模擬試題（二模）一、單選題1．集合，，則（

）．A． B．C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)補(bǔ)集定義求出，再根據(jù)交集定義即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以或，所以，故選：A．2．已知復(fù)數(shù)滿足（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?fù)數(shù)的虛部為.故選：C3．已知m，n表示空間內(nèi)兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（

）A．存在平面，有， B．存在平面，有，C．存在直線，有， D．存在直線，有，【正確答案】A【分析】根據(jù)空間線線，線面的位置關(guān)系及充分條件必要條件的概念逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對A，若，，則直線m，n可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的必要不充分條件，故A正確；對B，若，，則；若，則存在平面，有，，即存在平面，有，是使成立的充分必要條件，故B錯誤；對C，若，，則直線；若，則不存在直線，有，，即存在直線，有，是使成立的既不充分又不必要條件，故C錯誤；對D，若，，則；若，則存在直線，有，，即存在直線，有，是使成立的充分必要條件，故D錯誤.故選：A.4．已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】由垂直關(guān)系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由兩式得出，進(jìn)而得出夾角.【詳解】因?yàn)?，所以，即?因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较虻耐队跋蛄渴牵?所以②，將①代入②得，，又，所以.故選：B5．已知，，則=（

）A． B．2 C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)已知及平方關(guān)系可得，再由求值即可.【詳解】由題設(shè)，則，又.故選：C6．“九天攬?jiān)隆笔侵腥A民族的偉大夢想，我國探月工程的進(jìn)展與實(shí)力舉世矚目．近期，“嫦娥四號”探測器實(shí)現(xiàn)歷史上的首次月背著陸，月球上“嫦娥四號”的著陸點(diǎn)，被命名為天河基地，如圖是“嫦娥四號”運(yùn)行軌道示意圖．圓形軌道距月球表面100千米，橢圓形軌道的一個(gè)焦點(diǎn)是月球球心，一個(gè)長軸頂點(diǎn)位于兩軌道相切的變軌處，另一個(gè)長軸頂點(diǎn)距月球表面15千米，則橢圓形軌道的焦距為（

）A． B． C． D．【正確答案】A利用橢圓的幾何性質(zhì)列式計(jì)算，【詳解】設(shè)實(shí)半軸長為，半焦距為，月球半徑為，則，兩式相減得．故選：A．本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，橢圓長軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為．屬于基礎(chǔ)題．7．已知某抽獎活動的中獎率為，每次抽獎互不影響．構(gòu)造數(shù)列，使得，記，則的概率為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)可得，從而抽獎5次，出現(xiàn)3次中獎2次未中獎或2次中獎3次未中獎，利用組合數(shù)求得滿足條件的次數(shù)即可求解.【詳解】由，可得，抽獎5次，出現(xiàn)3次中獎2次未中獎或2次中獎3次未中獎，故的概率為．故選:A.8．已知、是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，是雙曲線上一點(diǎn)，，交橢圓于，.若過橢圓的焦點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【正確答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)P，M的坐標(biāo)，借助雙曲線、橢圓的方程及斜率坐標(biāo)公式可得軸，再利用和角的正切公式求出a，b的關(guān)系作答.【詳解】如圖，設(shè)，點(diǎn)共線，點(diǎn)共線，所在直線的斜率分別為，點(diǎn)在雙曲線上，即，有，因此，點(diǎn)在橢圓上，即，有，直線的斜率，有，即，于是，即直線與關(guān)于軸對稱，又橢圓也關(guān)于軸對稱，且過焦點(diǎn)，則軸，令，由得，顯然，，，解得，所以雙曲線的離心率.故選：D方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.二、多選題9．已知，，，則（

）A． B．C． D．【正確答案】ACD【分析】利用基本不等式及重要不等式，結(jié)合指數(shù)的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】對于A：因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，故A正確；對于B：因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，故B錯誤；對于C：因?yàn)?，，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C正確；對于D：因?yàn)?，，，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確.故選：ACD10．已知為偶函數(shù)，其圖象與直線的其中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，的最小值為，將的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．是函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心D．若方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則【正確答案】ABD【分析】由題知，，再結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)與圖象依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)榈膱D象與直線的其中兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，的最小值為，所以，的最小正周期為，所以，即，所以，，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不是函數(shù)的對稱中心，故C選項(xiàng)錯誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，當(dāng)方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根時(shí)，，即，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD11．已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷不正確的是（

）A． B．C． D．【正確答案】BD【分析】根據(jù)題意令，利用導(dǎo)數(shù)及題干所給條件求得的單調(diào)性，利用函數(shù)的對稱性，可得，對其進(jìn)行比較即可判斷各選項(xiàng).【詳解】令，則，因?yàn)楹瘮?shù)滿足，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，又由，所以關(guān)于對稱，從而，即，，，故A正確；由，，，故B錯誤；由，即，，故C正確；由，即，，故D錯誤；故選：BD.12．如圖所示，有一個(gè)棱長為4的正四面體容器，D是PB的中點(diǎn)，E是CD上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．若E是CD的中點(diǎn)，則直線AE與PB所成角為B．的周長最小值為C．如果在這個(gè)容器中放入1個(gè)小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為D．如果在這個(gè)容器中放入10個(gè)完全相同的小球（全部進(jìn)入），則小球半徑的最大值為【正確答案】ACD【分析】A選項(xiàng)：連接AD.證明出，即可求出直線AE與PB所成角為；B選項(xiàng)，把沿著CD展開與面BDC同一個(gè)平面內(nèi)，利用余弦定理求出，即可判斷；C選項(xiàng)，判斷出小球是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.利用等體積法求解；D選項(xiàng)，判斷出要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)切，設(shè)小球半徑為，利用幾何關(guān)系求出.【詳解】A選項(xiàng)：連接AD.在正四面體中，D是PB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面?所以直線平面.因?yàn)槠矫?所以，所以直線AE與PB所成角為.故A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，把沿著CD展開與面BDC同一個(gè)平面內(nèi)，由，，所以，所以，所以的周長最小值為不正確.故B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)，要使小球半徑最大，則小球與四個(gè)切，是正四面體的內(nèi)切球，設(shè)半徑為r.由等體積法可得：，所以半徑.故C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，10個(gè)小球分三層（1個(gè)，3個(gè)，6個(gè)）放進(jìn)去，要使小球半徑要最大，則外層小球與四個(gè)切，設(shè)小球半徑為，四個(gè)角小球球心連線是棱長為的正四面體，其高為，由正四面體內(nèi)切球的半徑是高的得，如圖正四面體，則，正四面體高為，得.故D選項(xiàng)正確.故選：ACD三、填空題13．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_______．【正確答案】【分析】由，寫出展開式的通項(xiàng)，再代入求值.【詳解】因?yàn)?，其中的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，令，解得，故的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為故14．設(shè)某車間的類零件的厚度（單位：）服從正態(tài)分布，且．若從類零件中隨機(jī)選取200個(gè)，則零件厚度小于的個(gè)數(shù)的方差為_______．【正確答案】【分析】根據(jù)正態(tài)分布得到，再由零件厚度小于14mm的個(gè)數(shù)服從求解.【詳解】依題意，得，若從類零件中隨機(jī)選取個(gè)，則零件厚度小于的個(gè)數(shù)服從，所以.故答案為.15．已知點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)滿足，則實(shí)數(shù)的取值的范圍是___________.【正確答案】【分析】設(shè)，由數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得點(diǎn)軌跡是一個(gè)圓，然后由圓與圓的位置關(guān)系可得的范圍．【詳解】設(shè)，則，，即，在以為圓心，2為半徑的圓上，由題意該圓與圓有公共點(diǎn)，所以，解得．故．四、雙空題16．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，記為在區(qū)間內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)，則_______，不等式成立的的最小值為_______．【正確答案】1413【分析】①根據(jù)，得，代入即可得解；②根據(jù)，得，對分奇偶討論即可得解.【詳解】令，得，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉槠鏀?shù)，所以的最小值為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所以，，因?yàn)闉榕紨?shù)，所以的最小值為.綜上所述，的最小值為.故，關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：討論m的奇偶性求出對應(yīng)通項(xiàng)公式為關(guān)鍵.五、解答題17．已知函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到的．(1)若的最小正周期為，求圖象的對稱軸方程，與軸距離最近的對稱軸的方程；(2)若圖象相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離大于，且，求在上的值域．【正確答案】(1)對稱軸方程，最近的對稱軸方程為(2)【分析】（1）由周期求出，即可得到函數(shù)解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱軸；（2）依題意可得，即可求出范圍，從而求出的值，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】（1）由，得，所以，令，解得，所以函數(shù)的對稱軸方程為，取，得，取，得，因?yàn)?，所以與軸距離最近的對稱軸方程為．（2）設(shè)的最小正周期為，因?yàn)閳D象相鄰兩個(gè)對稱中心之間的距離大于，所以，即，由，，解得．又且，所以．所以．因?yàn)?，所以，所以，即在上的值域?yàn)椋?8．等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知：①；②，使．設(shè)S為數(shù)列中同時(shí)滿足條件①和②的所有的項(xiàng)的和，求S的值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出相應(yīng)的方程組，求出的公差d和的公比q，可得答案；（2）確定，再根據(jù)條件得到，根據(jù)，可判斷出的取值，進(jìn)而求得答案.【詳解】（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，且，設(shè)的公差為d，的公比為q,可得,將代入，解得，由，則取，故；（2）由，，令，由于，故，即，，使，故令，則，由于，故可以看出當(dāng)時(shí)，成立，故.19．在三棱柱中，平面平面，側(cè)面為菱形，，，，E是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)點(diǎn)P在線段上（異于點(diǎn)，），與平面所成角為，求的值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示線面夾角即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危裕忠驗(yàn)?，，平面，，所以平?（2）取的中點(diǎn)O，連接，四邊形為菱形，且，所以.因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以，又因?yàn)?，，所以平?取中點(diǎn)D，連結(jié)，以O(shè)為原點(diǎn)，，，為空間基底建立直角坐標(biāo)系.則，，，，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，，所以.設(shè)，可得點(diǎn)，.由題意解得或（舍），即.20．中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會于2022年10月16日在北京召開，為弘揚(yáng)中國共產(chǎn)黨百年奮斗的光輝歷程，某校團(tuán)委決定舉辦“中國共產(chǎn)黨黨史知識”競賽活動.競賽共有A和B兩類試題，每類試題各10題，其中每答對1道A類試題得10分；每答對1道B類試題得20分，答錯都不得分，每位參加競賽的同學(xué)從這兩類試題中共抽出3道題回答（每道題抽后不放回）.已知小明同學(xué)A類試題中有7道題會作答，而他答對各道B類試題的概率均為.(1)若小明同學(xué)在A類試題中只抽1道題作答，求他在這次競賽中僅答對1道題的概率；(2)若小明只作答A類試題，設(shè)X表示小明答這3道試題的總得分，求X的分布列和期望；(3)小明應(yīng)從A類試題中抽取幾道試題作答才能使自己得分的數(shù)學(xué)期望更大？請從得分的數(shù)學(xué)期望角度給出理由.【正確答案】(1)(2)分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：(3)小明全部回答B(yǎng)類試題時(shí)，期望值最大為24，理由見解析【分析】（1）分A類試題答對和B類試題答對兩種類型計(jì)算概率；（2）列出X所有可能的取值，求出隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率值，即可求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）設(shè)從兩類試題中分別抽取，道，總得分為y，求得，可知當(dāng)時(shí)最大.【詳解】（1）小明僅答對1題的概率（2）可能的取值為0?10?20?30，，，，，所以X的分布列為X0102030P所以（3）設(shè)小明從兩類試題中分布抽取，道試題，回答正確的題數(shù)分別為，，兩類試題總得分為y，∵服從超幾何分布，服從二項(xiàng)分布，∴，，由，∴∵?1?2?3，∴當(dāng)時(shí)即小明全部回答B(yǎng)類試題時(shí)，得分的期望值最大為2421．在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離之比為．記點(diǎn)的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，.交曲線于，兩點(diǎn)，交曲線于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)為．證明：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【正確答案】(1)(2)證明見解析，直線過定點(diǎn)【分析】（1）根據(jù)題意可得，化簡求解即可；（2）設(shè)，，分兩種情況：①若直線，都存且不為零，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理可得，進(jìn)而可得線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，同理可得線段的中點(diǎn)為的坐標(biāo)，寫出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，直線的方程，②若直線，中其中一條的斜率為，另一條的斜率不存在，寫出，的方程，即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)題意可得，化簡得曲線的方程為.（2）證明：設(shè)，，①若直線，都存且不為零，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，當(dāng)時(shí)，這個(gè)方程變?yōu)橹挥幸唤?，直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，直線與曲線恒有兩個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理，，故線段的中點(diǎn)為，同理，線段的中點(diǎn)為，若，則，直線的方程為，即，此時(shí)，直線恒過點(diǎn)．若，則，或，，直線的方程為，此時(shí)直線也過點(diǎn)，②若直線，中其中一條的斜率為，另一條的斜率不存在，不妨設(shè)的斜率為，則直線：，：x＝2，此時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線也過點(diǎn)，綜上，直線恒過點(diǎn)．求定點(diǎn)問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定點(diǎn)．22．已知函數(shù)f（x）=ex﹣alnx（a∈R且為常數(shù)）.（1）討論函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1對任意的x∈（0，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.【正確答案】（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）只有1個(gè)極值點(diǎn)；（2）（﹣∞，1].【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f'（x），再對a分情況討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）的正負(fù)得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，進(jìn)而得到函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).（2）不等式f（x）≥（1﹣x）ex﹣（a﹣1）lnx+bx+1對任意的x∈（0，+∞）恒成立，對任意的x∈（0，+∞）恒成立，記，通過求