2023~2024學(xué)年全國甲卷高考數(shù)學(xué)文押題試題1帶解析

2023-2024學(xué)年全國甲卷高考數(shù)學(xué)（文）押題模擬試題第Ⅰ卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（改編）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．2．已知全集，集合，則集合等于（

）A．B．C．D．3．某公司對2022年的營收額進行了統(tǒng)計，并繪制成如圖所示的扇形統(tǒng)計圖.在華中地區(qū)的三省中，湖北省的營收額最多，河南省的營收額最少，湖南省的營收額約2156萬元.則下列說法錯誤的是（

）A．該公司2022年營收總額約為30800萬元B．該公司在華南地區(qū)的營收額比河南省營收額的3倍還多C．該公司在華東地區(qū)的營收額比西南地區(qū)、東北地區(qū)及湖北省的營收額之和還多D．該公司在湖南省的營收額在華中地區(qū)的營收額的占比約為35.6%4．如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，網(wǎng)格紙上繪制了一個多面體的三視圖，則該多面體的體積為（

）A．14 B．7 C． D．5．（改編）從1，2，3，4，5中隨機選取三個不同的數(shù)，若這三個數(shù)之積為偶數(shù)，則它們之和不小于9的概率為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．7．?dāng)?shù)列中，，定義：使為整數(shù)的數(shù)叫做期盼數(shù)，則區(qū)間內(nèi)的所有期盼數(shù)的和等于（

）A． B． C． D．8．（改編）在平面直角坐標(biāo)系y中，圓的方程為，若直線上存在一點，使過點所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)的值不可能是（

）A． B． C． D．9．將函數(shù)圖象所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的倍，并沿x軸向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度得到的圖象．若的圖象關(guān)于點對稱，則函數(shù)在上零點的個數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，在已知直四棱柱中，四邊形為平行四邊形，分別是的中點，以下說法錯誤的是（

）A．若，，則B．C．平面D．若，則平面平面11．已知拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，則下列判斷不正確的是（

）A．若過點，則的準(zhǔn)線方程為B．若過點，則C．若，則D．若，則點的坐標(biāo)為12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．曲線在點處的切線方程為___________.14．已知向量，滿足，，，的夾角為150°，則與的夾角為______.15．寫出一個具有下列性質(zhì)①②的數(shù)列的通項公式______．①；②數(shù)列的前n項和存在最小值．16．已知雙曲線的左?右焦點分別為，點是的一條漸近線上的兩點，且（為坐標(biāo)原點），.若為的左頂點，且，則雙曲線的離心率為三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．(1)求的值；(2)若，從下列三個條件中選出一個條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長為9．18．一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)新投入（單位：千萬元）對每件產(chǎn)品成本（單位：元）的影響，對近年的年技術(shù)創(chuàng)新投入和每件產(chǎn)品成本的數(shù)據(jù)進行分析，得到如下散點圖，并計算得：，，，，.(1)根據(jù)散點圖可知，可用函數(shù)模型擬合與的關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程；(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額（單位：千萬元）與每件產(chǎn)品成本的關(guān)系為.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入，還要投入其他成本千萬元，根據(jù)（1）的結(jié)果回答：當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？（注：年利潤=年銷售額一年投入成本）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)、、、，其回歸直線的斜率和截距的最小乘估計分別為：，.19．如圖，已知正方體的棱長為分別為的中點.(1)已知點滿足，求證四點共面；(2)求點到平面的距離.20．已知橢圓的長軸長為4，A，B是其左、右頂點，M是橢圓上異于A，B的動點，且．(1)求橢圓C的方程；(2)若P為直線上一點，PA，PB分別與橢圓交于C，D兩點．①證明：直線CD過橢圓右焦點；②橢圓的左焦點為，求的周長是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．21．已知函數(shù)，為常數(shù)，且.(1)判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，如果存在兩個不同的正實數(shù)，且，證明.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．杭州2022年第19屆亞運會（The19thAsianGamesHangzhou2022），簡稱“杭州2022年亞運會”，將在中國浙江杭州舉行，原定于2022年9月10日至25日舉辦；2022年7月19日亞洲奧林匹克理事會宣布將于2023年9月23日至10月8日舉辦，賽事名稱和標(biāo)識保持不變。某高中體育愛好者為紀(jì)念在我國舉辦的第三次亞運會，借四葉草具有幸福幸運的象征意義，準(zhǔn)備設(shè)計一枚四葉草徽章捐獻給亞運會。如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，方程表示的圖形為“四葉草”對應(yīng)的曲線C．(1)設(shè)直線l：與C交于異于O的兩點A、B，求線段AB的長；(2)設(shè)P和Q是C上的兩點，且，求的最大值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)．(1)求不等式的解集；(2)若的最小值為m，正數(shù)a，b，c滿足，求證．答案解析123456789101112CBDCDADBBBDD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．【正確答案】14．【正確答案】15．【正確答案】(答案不唯一)16．【正確答案】三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分．17．【詳解】（1）∵，則，（3分）∴.（4分）（2）由（1）可得，由正弦定理可得，（5分）若選條件①：由余弦定理，即，（7分）注意到，解得，則，由三角形的性質(zhì)可知此時存在且唯一確定，（9分）∵，則，可得，（11分）∴的面積.（12分）若選條件②：∵，可得，則有：若為銳角，則，由余弦定理，即，整理得：，且，解得，則；（7分）若為鈍角，則，由余弦定理，即，整理得：，且，解得，則；（10分）綜上所述：此時存在但不唯一確定，不合題意.（12分）若條件③：由題意可得：，即，解得，則，（6分）由三角形的性質(zhì)可知此時存在且唯一確定，（7分）由余弦定理可得，（9分）則，可得，（11分）∴的面積.（12分）18．【詳解】（1）解：令，則關(guān)于的線性回歸方程為，（1分）由題意可得，，（3分）則，所以，關(guān)于的回歸方程為.（5分）（2）解：由可得，（7分）年利潤，（9分）當(dāng)時，年利潤取得最大值，此時，（11分）所以，當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為千萬元時，年利潤的預(yù)報值取最大值.（12分）19．【詳解】（1）證明：如圖，作中點，連接，因為是平行四邊形，所以，（2分）在中，為中位線，故，所以，故四點共面．（5分）（2）設(shè)到平面的距離為，點到平面的距離為，（7分）在中，．故的面積．（9分）同理，由三棱錐的體積，（10分）所以，得．故到平面的距離為．（12分）20．【詳解】（1）由已知得：，，，設(shè)，因為M在橢圓上，所以①（2分）因為，將①式代入，得，得，（4分）所以橢圓．（5分）（2）①證明：設(shè)，則，，同理可得，，（6分）聯(lián)立方程，得，，則．（7分）同理聯(lián)立方程，可得，，則.（8分）又橢圓的右焦點為，所以，，（9分）因為，說明C，D，三點共線，即直線CD恒過點．（10分）②周長為定值．因為直線CD恒過點，根據(jù)橢圓的定義，所以的周長為．（12分）21．【詳解】（1）∵，∴，，記，（1分）①當(dāng)，即時，恒成立，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.（2分）②當(dāng)，即時，方程有兩個不等實根，且，，∴，，，單調(diào)遞增，，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，（4分）綜上所述：①當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（5分）（2）∵，∴，（6分）由（1）可知時，在上單調(diào)遞增，故不妨設(shè)，要證：，即證：，（7分）又∵當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，∴只需證，又∵，∴只需證：，（8分）即證：，（），記，，，∴當(dāng)時，恒成立，單調(diào)遞增，（11分）∴，∴原命題得證.即.（12分）（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．【詳解】（1）設(shè)A、B兩點的極坐標(biāo)分別為、，（2分）則，，因此，；（5分）（2）根據(jù)對稱性，不妨設(shè)、，．（8分）