2024-2025學年江西省百師聯(lián)盟高一下學期3月聯(lián)考數學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1江西省百師聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月聯(lián)考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在中，“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】在中，，一方面，若，則，所以；另一方面，若，取，則；所以““是““的充分不必要條件．故選：B．2.函數為上的奇函數，則的值可以是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】由函數為上的奇函數，得，解得，當時，，所給其他均不存在整數使其成立.故選：C.3.設，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以．故選：A．4.已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為角的終邊過點，所以，所以．故選：A．5.拋擲一枚質地均勻的骰子，設事件“點數不大于2”，事件“點數大于1”，則下列結論中正確的是（）A.M是不可能事件 B.N是必然事件C.不可能事件 D.是必然事件【答案】D【解析】事件是點數為1或2，事件是點數是2，3，4，5或6，它們都是隨機事件，是點為2，是隨機事件，是可能發(fā)生的，是點數為1，2，3，4，5或6，一定會發(fā)生，是必然事件.故選：D．6.已知與滿足，若的中位數為6，則的中位數為（）A6 B.12 C.15 D.24【答案】C【解析】記為的中位數，為中對應的中位數，因為，，所以.故選：C.7.函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意函數定義域，又，是奇函數，排除AB，又在時，，，即，排除C.故選：D．8.已知函數在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，．因為在上有且僅有2個零點，所以，解得．故選：C．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關于角的說法正確的是（）A.終邊在第二象限的角的集合為B.與終邊相同的角的集合為C.若角，則角是第四象限角D.若角是三角形的一個內角，則角必是第一、二象限角【答案】AC【解析】對于A，終邊在第二象限的角的集合為，故A正確；對于B，與終邊相同的角的集合為，故B錯誤；對于C，，所以和的終邊相同，故是第四象限角，故C正確；對于D，當三角形其中一個內角為直角時，該角終邊不在任何象限，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.的圖象關于直線對稱D.的圖象可由函數的圖象向右平移個單位得到【答案】ABD【解析】對于A，的最小正周期為，A正確.對于B，當時，，在上單調遞增，B正確.對于C，，的圖象不關于直線對稱，C錯誤.對于D，的圖象可由函數的圖象向右平移個單位得到，D正確.故選：ABD.11.已知函數，則（）A.的定義域為 B.在定義域內單調遞減C.的最大值為 D.的圖象關于直線對稱【答案】AD【解析】解得，即的定義域為，A選項正確．，令，則．二次函數的圖象的對稱軸為直線，又的定義域為的圖象關于直線對稱．D選項正確．由復合函數單調性法則知，在上單調遞增，在上單調遞減，B選項錯誤．當時，有最大值，，C選項錯誤．故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為第二象限角，，則____________．【答案】【解析】因為為第二象限角，所以，由解得所以．13.函數的最小值為______．【答案】1【解析】，因為，分母不為0，則，則，得，故函數的最小值為1．14.函數，其中．（1）若，則的零點為___________；（2）若函數有兩個零點，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】當時，，令，則，故，所以的零點為.（2）令，則，故，由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，當且僅當，即時取等號，故的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知．（1）化簡；（2）若是第三象限角，且，求的值；（3）若，求的值．解：（1）.（2）因為，所以，又因為是第三象限角，所以，所以.（3）當時，.16.某單位擬建一個扇環(huán)形的花壇（如圖所示），該花壇是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和通過點O的兩條線段圍成的．按設計要求扇環(huán)形花壇的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角（正角）為θ弧度．（1）求θ關于x的函數關系式；（2）已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關于x的函數關系式，并求出x為何值時，y取得最大值．解：（1）由題意得，故．（2）花壇的面積為．裝飾總費用，所以花壇的面積與裝飾總費用的比為．令，則，則，當且僅當，即時，y取得最大值，最大值為，此時，．故當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．17.已知函數，，其中為自然對數的底數.（1）若，求；（2）設函數，證明：在上有且僅有一個零點，且.解：（1）由，則，.（2）由題意，得：.①當時，，在內單調遞增，又，由于，而，，又，由零點存在定理得在內有唯一零點，使得.當時，，則，，則在上無零點；當時，，，則在上無零點.綜上，在上有且僅有一個零點.②由①得，且，則，.由函數的單調性得函數在上單調遞增，則，故.18.已知函數，（1）若，函數在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍；（2）若，，求函數在上的值域；（3）若，函數在內沒有對稱軸，求的取值范圍.解：（1）時，，函數在區(qū)間上單調遞增，由，，則，解得，所以的取值范圍為.（2）若，，，時，，，所以函數在上的值域為.（3）若，函數，因為在內沒有對稱軸，則，由，得，所以，，因為在內沒有對稱軸，且，，所以或，因為，解得或所以的取值范圍為.19.設函數．（1）求函數在上的最小值；（2）若不等式在上恒成立，求的取值范圍；（3）若方程在上有四個不相等的實數根，求的取值范圍．解：（1）令，則．①當，即時，．②當，即時，．③當，即時，．綜上可知，.（2）令，由題意可知當時，，而的圖象是開口向上的拋物線的一部分，最大值一定在端點處取得，所以有，解得，故的取值范圍是.（3）令.由題意可知，當時，關于的方程有兩個不等實數解，所以原題可轉化為，即在內有兩個不等實數根，令則有，解得，故的取值范圍是.江西省百師聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期3月聯(lián)考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在中，“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】在中，，一方面，若，則，所以；另一方面，若，取，則；所以““是““的充分不必要條件．故選：B．2.函數為上的奇函數，則的值可以是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】由函數為上的奇函數，得，解得，當時，，所給其他均不存在整數使其成立.故選：C.3.設，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以．故選：A．4.已知角的頂點為坐標原點，始邊為軸的非負半軸，終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為角的終邊過點，所以，所以．故選：A．5.拋擲一枚質地均勻的骰子，設事件“點數不大于2”，事件“點數大于1”，則下列結論中正確的是（）A.M是不可能事件 B.N是必然事件C.不可能事件 D.是必然事件【答案】D【解析】事件是點數為1或2，事件是點數是2，3，4，5或6，它們都是隨機事件，是點為2，是隨機事件，是可能發(fā)生的，是點數為1，2，3，4，5或6，一定會發(fā)生，是必然事件.故選：D．6.已知與滿足，若的中位數為6，則的中位數為（）A6 B.12 C.15 D.24【答案】C【解析】記為的中位數，為中對應的中位數，因為，，所以.故選：C.7.函數的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意函數定義域，又，是奇函數，排除AB，又在時，，，即，排除C.故選：D．8.已知函數在上有且僅有2個零點，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當時，．因為在上有且僅有2個零點，所以，解得．故選：C．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列關于角的說法正確的是（）A.終邊在第二象限的角的集合為B.與終邊相同的角的集合為C.若角，則角是第四象限角D.若角是三角形的一個內角，則角必是第一、二象限角【答案】AC【解析】對于A，終邊在第二象限的角的集合為，故A正確；對于B，與終邊相同的角的集合為，故B錯誤；對于C，，所以和的終邊相同，故是第四象限角，故C正確；對于D，當三角形其中一個內角為直角時，該角終邊不在任何象限，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數，則（）A.的最小正周期為B.在上單調遞增C.的圖象關于直線對稱D.的圖象可由函數的圖象向右平移個單位得到【答案】ABD【解析】對于A，的最小正周期為，A正確.對于B，當時，，在上單調遞增，B正確.對于C，，的圖象不關于直線對稱，C錯誤.對于D，的圖象可由函數的圖象向右平移個單位得到，D正確.故選：ABD.11.已知函數，則（）A.的定義域為 B.在定義域內單調遞減C.的最大值為 D.的圖象關于直線對稱【答案】AD【解析】解得，即的定義域為，A選項正確．，令，則．二次函數的圖象的對稱軸為直線，又的定義域為的圖象關于直線對稱．D選項正確．由復合函數單調性法則知，在上單調遞增，在上單調遞減，B選項錯誤．當時，有最大值，，C選項錯誤．故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為第二象限角，，則____________．【答案】【解析】因為為第二象限角，所以，由解得所以．13.函數的最小值為______．【答案】1【解析】，因為，分母不為0，則，則，得，故函數的最小值為1．14.函數，其中．（1）若，則的零點為___________；（2）若函數有兩個零點，則的取值范圍是____________．【答案】【解析】當時，，令，則，故，所以的零點為.（2）令，則，故，由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，當且僅當，即時取等號，故的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知．（1）化簡；（2）若是第三象限角，且，求的值；（3）若，求的值．解：（1）.（2）因為，所以，又因為是第三象限角，所以，所以.（3）當時，.16.某單位擬建一個扇環(huán)形的花壇（如圖所示），該花壇是由以點O為圓心的兩個同心圓弧和通過點O的兩條線段圍成的．按設計要求扇環(huán)形花壇的周長為30米，其中大圓弧所在圓的半徑為10米．設小圓弧所在圓的半徑為x米，圓心角（正角）為θ弧度．（1）求θ關于x的函數關系式；（2）已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/米，弧線部分的裝飾費用為9元/米．設花壇的面積與裝飾總費用的比為y，求y關于x的函數關系式，并求出x為何值時，y取得最大值．解：（1）由題意得，故．（2）花壇的面積為．裝飾總費用，所以花壇的面積與裝飾總費用的比為．令，則，則，當且僅當，即時，y取得最大值，最大值為，此時，．故當時，花壇的面積與裝飾總費用的比最大．17.已知函數，，其中為自然對數的底數.（1）若，求；（2）設函數，證明：在上有且僅有一個零點，且.解：（1）由，則，.（2）由題意，得：.①當時，，在內單調遞增，又，由于，而，，又，由零點存在定理得在內有唯一零點，使得.當時，，則，，則在上無零點；當時，，，則在上無零點.綜上，在上有且僅有一個零點.②由①得，且，則，.由函數的單調性得函數在上單調遞增，則，故.18.已知函數，（1）若，函數在區(qū)間上單調遞增，求的取值范圍；（2）若，，求函數在上的值域；（3）若，函數在內沒有對稱軸，求的取值范圍.解：（1）時，，函數在區(qū)間上單調遞增，由，，則，解得，所以的取值范圍為.（2）若，，，時，，，所以函數在上的值域為.（3）若，函