2024-2025學(xué)年陜西省漢中市某校高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省漢中市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，則，故，因，所以，故A正確.故選：A.2.設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所?故選：D.3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差數(shù)列的片段和性質(zhì)知，成等差數(shù)列，由，得該數(shù)列首項(xiàng)為4，公差為2，所以.故選：B.4.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，故排除A，D；當(dāng)時，，故排除B.故選：C.5.2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花——“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形（圖1），并把每一條邊三等分，再以中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線（圖2），如此繼續(xù)下去形成雪花曲線（圖3），直到無窮，形成雪花曲線．設(shè)雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，邊長，邊數(shù)，周長，面積，所以得：，，所以得：，，因?yàn)椋海?dāng)時，，所以得：，，當(dāng)時，，也適用，所以：，所以得：，故A項(xiàng)錯誤；所以得：，故B項(xiàng)正確；所以得：，故C項(xiàng)錯誤；所以得：，故D項(xiàng)錯誤.故選：B.6.二次函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵二次函數(shù)在上為減函數(shù)，.故選：D.7.設(shè)函數(shù)的最小正周期為.若，且對任意，恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，綜上，.故選：B.8.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，∴①，∴②，①－②得，∴，∴不等式，即，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.B.第一象限角都是銳角C.在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為D.終邊在直線上的角的集合是【答案】AC【解析】，A正確；角也是第一象限角，不是銳角，B錯誤；在半徑為的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為，C正確；終邊在上的角的集合是，D錯誤．故選：AC.10.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，又，所以是等比?shù)列，A正確；同理，而，所以是等比數(shù)列，B正確；若，則，但，C錯；由A是等比數(shù)列，且公比為2，因此數(shù)列仍然是等比數(shù)列，公比為4，所以，D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，若方程有三個不同的零點(diǎn)，且，則（）A.實(shí)數(shù)的取值范圍為B.函數(shù)在單調(diào)遞增C.的取值范圍為D.函數(shù)有個零點(diǎn)【答案】BCD【解析】作出函數(shù)的圖像如圖所示：對于A，由圖像可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故A錯誤；對于B，由圖像可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，由圖像可知，，由，即，解得，所以的取值范圍是，故C正確；對于D，由，令，則，解得或，由圖象可知當(dāng)時，方程有1個解，當(dāng)時，方程有3個解，所以函數(shù)有4個零點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的值域?yàn)開_________．【答案】【解析】因，所以，，所以，即的值域?yàn)椋?3.已知，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，q，已知，將其代入可得：.因?yàn)?，所?14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則的取值范圍為________.【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋傻?，所以，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，可得，則，所以，即的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知數(shù)列是單調(diào)遞增等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，由得即即，解得或.當(dāng)時，，不滿足單調(diào)遞增，當(dāng)時，，滿足單調(diào)遞增，故，所以.又，所以，所以，即數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，即.17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖象先向左平移個單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的最值及取得最值時的值.解：（1）已知，根據(jù)二倍角公式，可得：，所以的最小正周期.令，，解這個不等式可得，.即得到，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.的最小正周期是，單調(diào)遞增區(qū)間是，.（2）先根據(jù)圖象變換規(guī)則求的表達(dá)式：將的圖象向左平移個單位，根據(jù)“左加右減”的原則，得到的圖象.再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，根據(jù)“橫坐標(biāo)伸縮”的原則，得到的圖象.因?yàn)?，所以?當(dāng)，即時，取得最大值，此時取得最大值.當(dāng)，即時，取得最小值，此時取得最小值.綜上所得，在區(qū)間上的最大值是，此時；最小值是，此時.18.已知函數(shù)，不等式解集，（1）設(shè)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）因?yàn)?，則，解得，即，又因?yàn)?，且，在?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）因?yàn)椋?，由可知，則，令，，則在內(nèi)的最小值為，由的圖象開口向上，對稱軸為，可得，解得，即實(shí)數(shù)的值為1．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記，是否存在互不相等正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請說明理由.解：（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足，所以當(dāng)時，，兩式相減得：，即，又時，，解得：，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而.（2）由（1）知：，所以，對任意的，不等式都成立，即，化簡得：，令，因?yàn)椋蕟握{(diào)遞減，所以，故，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）由（1）知：，假設(shè)存在互不相等的正整數(shù)，，滿足條件，則有.由與得，即，因?yàn)?，所?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時等號成立，這與，，互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整數(shù)，，滿足條件.陜西省漢中市某校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個是正確的，請把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，解得，則，故，因，所以，故A正確.故選：A.2.設(shè)，則的大小關(guān)系為（

）A.B.C.D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所?故選：D.3.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則（）A.12 B.14 C.16 D.18【答案】B【解析】由等差數(shù)列的片段和性質(zhì)知，成等差數(shù)列，由，得該數(shù)列首項(xiàng)為4，公差為2，所以.故選：B.4.已知函數(shù)，則函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)，故排除A，D；當(dāng)時，，故排除B.故選：C.5.2022年第二十四屆北京冬奧會開幕式上由96片小雪花組成的大雪花驚艷了全世界，數(shù)學(xué)中也有一朵美麗的雪花——“科赫雪花”．它的繪制規(guī)則是：任意畫一個正三角形（圖1），并把每一條邊三等分，再以中間一段為邊向外作正三角形，并把這“中間一段”擦掉，形成雪花曲線（圖2），如此繼續(xù)下去形成雪花曲線（圖3），直到無窮，形成雪花曲線．設(shè)雪花曲線的邊長為，邊數(shù)為，周長為，面積為，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，邊長，邊數(shù)，周長，面積，所以得：，，所以得：，，因?yàn)椋?，?dāng)時，，所以得：，，當(dāng)時，，也適用，所以：，所以得：，故A項(xiàng)錯誤；所以得：，故B項(xiàng)正確；所以得：，故C項(xiàng)錯誤；所以得：，故D項(xiàng)錯誤.故選：B.6.二次函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵二次函數(shù)在上為減函數(shù)，.故選：D.7.設(shè)函數(shù)的最小正周期為.若，且對任意，恒成立，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，且，故，即有，解得，又，，故，即，綜上，.故選：B.8.已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，不等式對任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴，又，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，∴①，∴②，①－②得，∴，∴不等式，即，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，∴.故選：A．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是（）A.B.第一象限角都是銳角C.在半徑為2的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為D.終邊在直線上的角的集合是【答案】AC【解析】，A正確；角也是第一象限角，不是銳角，B錯誤；在半徑為的圓中，弧度的圓心角所對的弧長為，C正確；終邊在上的角的集合是，D錯誤．故選：AC.10.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列為等比數(shù)列 B.數(shù)列為等比數(shù)列C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，所以，又，所以是等比?shù)列，A正確；同理，而，所以是等比數(shù)列，B正確；若，則，但，C錯；由A是等比數(shù)列，且公比為2，因此數(shù)列仍然是等比數(shù)列，公比為4，所以，D正確．故選：ABD．11.已知函數(shù)，若方程有三個不同的零點(diǎn)，且，則（）A.實(shí)數(shù)的取值范圍為B.函數(shù)在單調(diào)遞增C.的取值范圍為D.函數(shù)有個零點(diǎn)【答案】BCD【解析】作出函數(shù)的圖像如圖所示：對于A，由圖像可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故A錯誤；對于B，由圖像可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，由圖像可知，，由，即，解得，所以的取值范圍是，故C正確；對于D，由，令，則，解得或，由圖象可知當(dāng)時，方程有1個解，當(dāng)時，方程有3個解，所以函數(shù)有4個零點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的值域?yàn)開_________．【答案】【解析】因，所以，，所以，即的值域?yàn)椋?3.已知，則________.【答案】【解析】因?yàn)?，q，已知，將其代入可得：.因?yàn)?，所?14.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則的取值范圍為________.【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，所以，則，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，可得，則，所以，即的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知，求下列各式的值.（1）；（2）.解：（1）.（2）.16.已知數(shù)列是單調(diào)遞增等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且.（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，由得即即，解得或.當(dāng)時，，不滿足單調(diào)遞增，當(dāng)時，，滿足單調(diào)遞增，故，所以.又，所以，所以，即數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，即.17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖象先向左平移個單位，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的最值及取得最值時的值.解：（1）已知，根據(jù)二倍角公式，可得：，所以的最小正周期.令，，解這個不等式可得，.即得到，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，.的最小正周期是，單調(diào)遞增區(qū)間是，.（2）先根據(jù)圖象變換規(guī)則求的表達(dá)式：將的圖象向左平移個單位，根據(jù)“左加右減”的原則，得到的圖象.再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，根據(jù)“橫坐標(biāo)伸縮”的原則，得到的圖象.因?yàn)?，所以?當(dāng)，即時，取得最大值，此時取得最大值.當(dāng)，即時，取得最小值，此時取得最小值.綜上所得，在區(qū)間上的最大值是，此時；最小值是，此時.18.已知函數(shù)，不等式解集，（1）設(shè)函數(shù)在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值．解：（1）因?yàn)?，則，解得，即，又因?yàn)?，且，在?nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，若函數(shù)在上存在零點(diǎn)，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）因?yàn)椋?，由可知，則，令，，則在內(nèi)的最小值為，由的圖象開口向上，對稱軸為，可得，解得，即實(shí)數(shù)的值為1．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若