2025屆東北三省三校高三下學(xué)期第二次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1東北三省三校2025屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，可得，即得.解不等式，可得.又因，故.故.故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，所以，，，，，B對，ACD均錯.故選：B.3.已知直線與圓相切，則正實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則圓的圓心為，半徑為，因為直線與圓相切，所以，.故選：A.4.某同學(xué)測得連續(xù)天的最低氣溫（均為整數(shù)）分別為，，，，，，（單位：），若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，除外，將剩余的個數(shù)據(jù)由小到大排列依次為，，，，，，若，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，若，同理可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也為，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，故，解得.故選：B.5.已知向量、滿足，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，則，所以，即，可得，即，故選：A.6.已知函數(shù)滿足，則（）A. B.C.函數(shù)有1個零點 D.函數(shù)有1個零點【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為R，由，得，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，即，則，，對于AB，，AB錯誤；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)無零點，C錯誤；對于D，函數(shù)有唯一零點0，D正確.故選：D7.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，可得出，，，以此類推可知，對任意的，，且，所以，或（舍），所以，，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，故，故.故選：C.8.已知函數(shù)，若、，，則（）A.B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，D.當(dāng)，時，【答案】D【解析】對于A選項，取，，則，，此時，，，此時，，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若時，，則，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合乎題意，B錯；對于C選項，因為，此時取，，則，C錯；對于D選項，令，若，則，此時，，令，則，即函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以，函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點，若，則，則，令，其中，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以，函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，又因為，所以，函數(shù)有且只有三個零點，一個零點在區(qū)間，一個零點為，一個零點在區(qū)間內(nèi)，若當(dāng)，時，必有，D對.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.數(shù)據(jù)，，，，，，，的上四分位數(shù)是B.設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為C.隨機擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子各個面分別標(biāo)記有共六個數(shù)字，記事件“骰子向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件“骰子向上的點數(shù)是或”，則事件與事件是相互獨立事件D.在二項式的展開式中，若只有第項的二項式系數(shù)最大，則各項系數(shù)和是【答案】AC【解析】對于A選項，因為，所以，數(shù)據(jù)，，，，，，，的上四分位數(shù)是，A對；對于B選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則，，，的方差為，其標(biāo)準(zhǔn)差為，B錯；對于C選項，由題意可知，，，事件“骰子向上的點數(shù)是”，則，因此，事件與事件是相互獨立事件，C對；對于D選項，在二項式的展開式中，若只有第項的二項式系數(shù)最大，則，可得，因此，展開式各項系數(shù)和為，D錯.故選：AC.10.已知函數(shù)，若，且，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)為偶函數(shù)C. D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】由輔助角公式可得，為銳角，且，，因為，則，可得，所以，，因為，故，對于A選項，，且，故，即函數(shù)不是偶函數(shù)，A錯；對于B選項，，即函數(shù)為偶函數(shù)，B對；對于C選項，，所以，，C對；對于D選項，因為，且當(dāng)時，，由于，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，D對.故選：BCD.11.如圖，四棱錐的外接球球心為點O，且底面為正方形，平面．若點M為上靠近點D的三等分點，點P，Q分別為線段與平面上的點，則最小時，下列說法正確的是（）A.B.點P為線段的中點C.平面截四棱錐所得的截面是直角梯形D.三棱錐的體積為【答案】AC【解析】對于A，連接，如下圖：因為平面，且平面，所以，，，因為在正方形中，，且，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為為的斜邊，所以的中點到的距離都等于的一半，則球心就是的中點，如下圖：在正方形中，，在中，，在中，，則，，由，則易知，則，故A正確；對于B，由平面，則當(dāng)平面時，最短，因為平面，所以，因為，且平面，所以平面，將繞旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面，在平面中，過作，垂足為，如下圖：易知，，由圖可知，在正方形中，由，則，在中，，則，易知，所以，，在中，，易知為的三等分點，如下圖：故B錯誤；對于C，由B可知，易知，在中，過作，交于，連接，如下圖：易知，，即，，即，因為平面，所以平面，因為平面，所以，故C正確；對于D，由題意可作圖如下：由C易知平面，由，則，在中，，因為平面，平面，所以，在中，，，所以三棱錐的體積，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式通項為，因為，在的展開式通項中，令，在的展開式通項，令，可得，因此，展開式中的的系數(shù)為.故答案為：.13.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過且斜率為的直線交雙曲線右支于點（在第一象限），的內(nèi)心為，直線交軸于點，且，則雙曲線的離心率為____________．【答案】【解析】如下圖所示：設(shè)，則，又直線的斜率為，可知，由余弦定理可得，即，整理可得，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，因為，所以，點到軸的距離為，，即，可得，解得，所以，即，整理可得，故該雙曲線的離心率為.故答案為：.14.圖1所示幾何體是一個星形正多面體，稱為星形十二面體，是由對（個）平行五角星面組成的，每對平行五角星面角度關(guān)系如圖2所示．一個星形十二面體有____________個星芒（凸起的正五棱錐），將所有的星芒沿其底面削去后所得幾何體和星形十二面體的表面積之比是____________．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】①.②.【解析】由圖可知，每個星形十二面體有個星芒，將每個正五棱錐沿著側(cè)面展開與底面在同一個平面上，形成一個正五角星，則這個正五角星的五個頂點在圓上，連接，則垂直平分，設(shè)，正五棱錐的側(cè)面積等于，底面積等于，正五邊形的每個內(nèi)角為，則，故，則，所以，，，設(shè)，則，則，，則，所以，將所有的星芒沿其底面削去后所得幾何體和星形十二面體的表面積之比為，故答案為：；.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若有極大值，且極大值大于，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，，則，，故．曲線在點處的切線方程為，即．（2）因為，所以.①當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，無極值；②當(dāng)時，由可得，由可得.函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為所以取極大值，所以，設(shè)，則，則在單調(diào)遞增，又，由可得，故實數(shù)的取值范圍是.16.已知銳角，角、、所對的邊分別為、、，且，．（1）求；（2）求的取值范圍．解：（1）因為，，則，由正弦定理得，，所以，，因、，則，所以，，即．（2）在銳角中，由，可得，則，又，則，所以，的取值范圍為，又，設(shè)，設(shè)，其中，，由可得，由可得，所以，上遞減，在上遞增，所以，，又因為，，故的取值范圍為，即的取值范圍為.17.如圖，四棱錐的體積為，底面為平行四邊形，底面，的面積為．（1）求點到平面的距離；（2）設(shè)，二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）四棱錐體積為，底面為平行四邊形，底面，則，所以，，在四棱錐中，設(shè)點到平面的距離為．則，解得，所以點到平面的距離為.（2）如圖，取的中點，連接，因為，所以，又二面角為，所以平面平面，因為平面平面，，平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為四邊形為平行四邊形，則，所以，，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，又因為平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，因為，，則，因為為的中點，則，故，，可得，故，則、、、、，則，，，設(shè)平面的一個法向量，則，取，可得，設(shè)與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．18.某地區(qū)冬季流感頻發(fā)，為了加強流感疾病的防治，該地區(qū)鼓勵個人接種流感疫苗，最后統(tǒng)計表明，該地區(qū)整個冬季的流感患病率是，至冬季結(jié)束仍然有的居民未接種疫苗，這些沒有接種過流感疫苗的居民的患病率為．（1）現(xiàn)從接種過疫苗的人群中任選一位居民，求這人患病的概率；（2）已知泊松分布的概率分布列為，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值．若隨機變量X服從二項分布，當(dāng)且時，二項分布近似于泊松分布，其中，即．現(xiàn)從該地區(qū)接種疫菌的人群中隨機抽取1000人，按上述泊松分布近似計算：①求1000人中流感的患病率小于0.3%的概率約為多少；②設(shè)1000人中患流感的人數(shù)為X，求使得最大時的X值．（參考數(shù)據(jù)：）解：（1）記：事件“患流感”，事件“未患流感”，，事件“接種疫苗”，事件“未接種疫苗”，則，由已知可得：，，,所以，即現(xiàn)從接種過疫苗的人群中任選一位居民，這人患病的概率為．（2）①由已知：當(dāng)且時，二項分布近似于泊松分布，設(shè)1000人中患流感人數(shù)為Y人，則，，，，.②由題意得：，所以，，當(dāng)時，隨i的增大而增大，當(dāng)時，隨i的增大而減小，當(dāng)時，，所以，或時，最大．19.已知拋物線，焦點為．拋物線上有一點，直線與拋物線的另一個交點為．按照如下方式依次構(gòu)造點，過作x軸的垂線，垂足為，垂線與拋物線C的另一個交點為．作直線，與拋物線C的另一個交點為，直線與x軸的交點為．記．（1）若，求；（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并用m表示數(shù)列的通項公式；（3）對任意的正整數(shù)與的面積之比是否為定值？若是，請用m表示這個定值；若不是，請說明理由．（1）解：，直線，聯(lián)立可得，直線，聯(lián)立可得，則，由，可得，綜上可得：；（2）證明：一方面，對任意的自然數(shù)k，都有直線過點，設(shè)直線的方程為：，，，則，因為，，故①，另一方面，對任意的自然數(shù)k，都有直線過點設(shè)直線的方程為：，，，則，因為，，故②，由①得：，兩式相乘得：③，把②帶入③，得：，即：，綜上可得：遞推知數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為．又，故．（3）解：對任意的自然數(shù)，，另解：，，因此，，所以面積之比為定值．東北三省三校2025屆高三下學(xué)期第二次聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，可得，即得.解不等式，可得.又因，故.故.故選：C.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，則，所以，，，，，B對，ACD均錯.故選：B.3.已知直線與圓相切，則正實數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，則圓的圓心為，半徑為，因為直線與圓相切，所以，.故選：A.4.某同學(xué)測得連續(xù)天的最低氣溫（均為整數(shù)）分別為，，，，，，（單位：），若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，除外，將剩余的個數(shù)據(jù)由小到大排列依次為，，，，，，若，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，若，同理可知，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)也為，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，故，解得.故選：B.5.已知向量、滿足，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因為，，則，所以，即，可得，即，故選：A.6.已知函數(shù)滿足，則（）A. B.C.函數(shù)有1個零點 D.函數(shù)有1個零點【答案】D【解析】函數(shù)的定義域為R，由，得，函數(shù)是R上的偶函數(shù)，即，則，，對于AB，，AB錯誤；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)無零點，C錯誤；對于D，函數(shù)有唯一零點0，D正確.故選：D7.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，可得出，，，以此類推可知，對任意的，，且，所以，或（舍），所以，，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，故，故.故選：C.8.已知函數(shù)，若、，，則（）A.B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，D.當(dāng)，時，【答案】D【解析】對于A選項，取，，則，，此時，，，此時，，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若時，，則，即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，不合乎題意，B錯；對于C選項，因為，此時取，，則，C錯；對于D選項，令，若，則，此時，，令，則，即函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以，函數(shù)在區(qū)間上存在一個零點，若，則，則，令，其中，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，，所以，函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，又因為，所以，函數(shù)有且只有三個零點，一個零點在區(qū)間，一個零點為，一個零點在區(qū)間內(nèi)，若當(dāng)，時，必有，D對.故選：D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法中正確的是（）A.數(shù)據(jù)，，，，，，，的上四分位數(shù)是B.設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為C.隨機擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子各個面分別標(biāo)記有共六個數(shù)字，記事件“骰子向上的點數(shù)是奇數(shù)”，事件“骰子向上的點數(shù)是或”，則事件與事件是相互獨立事件D.在二項式的展開式中，若只有第項的二項式系數(shù)最大，則各項系數(shù)和是【答案】AC【解析】對于A選項，因為，所以，數(shù)據(jù)，，，，，，，的上四分位數(shù)是，A對；對于B選項，設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的方差為，則，，，的方差為，其標(biāo)準(zhǔn)差為，B錯；對于C選項，由題意可知，，，事件“骰子向上的點數(shù)是”，則，因此，事件與事件是相互獨立事件，C對；對于D選項，在二項式的展開式中，若只有第項的二項式系數(shù)最大，則，可得，因此，展開式各項系數(shù)和為，D錯.故選：AC.10.已知函數(shù)，若，且，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)為偶函數(shù)C. D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】由輔助角公式可得，為銳角，且，，因為，則，可得，所以，，因為，故，對于A選項，，且，故，即函數(shù)不是偶函數(shù)，A錯；對于B選項，，即函數(shù)為偶函數(shù)，B對；對于C選項，，所以，，C對；對于D選項，因為，且當(dāng)時，，由于，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，D對.故選：BCD.11.如圖，四棱錐的外接球球心為點O，且底面為正方形，平面．若點M為上靠近點D的三等分點，點P，Q分別為線段與平面上的點，則最小時，下列說法正確的是（）A.B.點P為線段的中點C.平面截四棱錐所得的截面是直角梯形D.三棱錐的體積為【答案】AC【解析】對于A，連接，如下圖：因為平面，且平面，所以，，，因為在正方形中，，且，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可得，因為為的斜邊，所以的中點到的距離都等于的一半，則球心就是的中點，如下圖：在正方形中，，在中，，在中，，則，，由，則易知，則，故A正確；對于B，由平面，則當(dāng)平面時，最短，因為平面，所以，因為，且平面，所以平面，將繞旋轉(zhuǎn)到的位置，使得平面，在平面中，過作，垂足為，如下圖：易知，，由圖可知，在正方形中，由，則，在中，，則，易知，所以，，在中，，易知為的三等分點，如下圖：故B錯誤；對于C，由B可知，易知，在中，過作，交于，連接，如下圖：易知，，即，，即，因為平面，所以平面，因為平面，所以，故C正確；對于D，由題意可作圖如下：由C易知平面，由，則，在中，，因為平面，平面，所以，在中，，，所以三棱錐的體積，故D錯誤.故選：AC.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為____________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】的展開式通項為，因為，在的展開式通項中，令，在的展開式通項，令，可得，因此，展開式中的的系數(shù)為.故答案為：.13.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過且斜率為的直線交雙曲線右支于點（在第一象限），的內(nèi)心為，直線交軸于點，且，則雙曲線的離心率為____________．【答案】【解析】如下圖所示：設(shè)，則，又直線的斜率為，可知，由余弦定理可得，即，整理可得，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，因為，所以，點到軸的距離為，，即，可得，解得，所以，即，整理可得，故該雙曲線的離心率為.故答案為：.14.圖1所示幾何體是一個星形正多面體，稱為星形十二面體，是由對（個）平行五角星面組成的，每對平行五角星面角度關(guān)系如圖2所示．一個星形十二面體有____________個星芒（凸起的正五棱錐），將所有的星芒沿其底面削去后所得幾何體和星形十二面體的表面積之比是____________．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】①.②.【解析】由圖可知，每個星形十二面體有個星芒，將每個正五棱錐沿著側(cè)面展開與底面在同一個平面上，形成一個正五角星，則這個正五角星的五個頂點在圓上，連接，則垂直平分，設(shè)，正五棱錐的側(cè)面積等于，底面積等于，正五邊形的每個內(nèi)角為，則，故，則，所以，，，設(shè)，則，則，，則，所以，將所有的星芒沿其底面削去后所得幾何體和星形十二面體的表面積之比為，故答案為：；.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若有極大值，且極大值大于，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，，則，，故．曲線在點處的切線方程為，即．（2）因為，所以.①當(dāng)時，，則在單調(diào)遞減，無極值；②當(dāng)時，由可得，由可得.函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為所以取極大值，所以，設(shè)，則，則在單調(diào)遞增，又，由可得，故實數(shù)的取值范圍是.16.已知銳角，角、、所對的邊分別為、、，且，．（1）求；（2）求的取值范圍．解：（1）因為，，則，由正弦定理得，，所以，，因、，則，所以，，即．（2）在銳角中，由，可得，則，又，則，所以，的取值范圍為，又，設(shè)，設(shè)，其中，，由可得，由可得，所以，上遞減，在上遞增，所以，，又因為，，故的取值范圍為，即的取值范圍為.17.如圖，四棱錐的體積為，底面為平行四邊形，底面，的面積為．（1）求點到平面的距離；（2）設(shè)，二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）四棱錐體積為，底面為平行四邊形，底面，則，所以，，在四棱錐中，設(shè)點到平面的距離為．則，解得，所以點到平面的距離為.（2）如圖，取的中點，連接，因為，所以，又二面角為，所以平面平面，因為平面平面，，平面，所以，平面，因為平面，所以，，因為四邊形為平行四邊形，則，所以，，因為平面，平面，所以，，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，，又因為平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，因為，，則，因為為的中點，則，故，，可得，故，則、、、、，則，，，設(shè)平面的一個法向量，則，