2025屆貴州省黔東南苗族侗族自治州高三模擬統(tǒng)測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1貴州省黔東南苗族侗族自治州2025屆高三模擬統(tǒng)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)12，13，12，15，18，19，20，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（）A.12 B.13 C.15 D.18【答案】B【解析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：12，12，13，15，18，19，20，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為13.故選：B2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以虛部為，故選：B3.已知向量，，若，則（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】由條件可得，兩邊平方得，解得，故選：A4.若是最小正周期為的偶函數(shù)，則的解析式可以為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A，為常函數(shù)，故最小正周期為錯誤；對于B，，奇函數(shù)，故錯誤；對于C，由周期公式可知：的最小正周期為：，所以，故周期為，故錯誤；對于D，，偶函數(shù)，由周期公式可得最小正周期為，故正確；故選：D5.已知第一個正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為4cm，第二個正四棱臺的上底面、下底面邊長與第一個相同，但高為第一個正四棱臺的3倍，則第二個正四棱臺的體積為（）A B. C. D.【答案】C【解析】由題意知第一個正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為4cm，如圖：設(shè)第一個四棱臺上下底面中心為，連接，結(jié)合正四棱臺性質(zhì)可知四邊形為直角梯形，且，故，即棱臺的高為，則第二個正四棱臺的高為，故第二個正四棱臺的體積為.故選：C6.在規(guī)定時間內(nèi)，甲、乙、丙能完成某項學習任務(wù)的概率分別為0.5，0.6，0.5，且這三人是否能按時完成任務(wù)相互獨立．記甲、乙、丙三人中能按時完成這項學習任務(wù)的人數(shù)為，則（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【答案】B【解析】由題意可知的可能取值為0，1，2，3，，，，所以所以，故選：B7.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，因為，所以，則.故選：A.8.設(shè)直線：，：．若存在定圓Q，使得這兩條直線與圓Q都相切，則圓Q上一點到點的距離的最大值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由：，得，由：，得，設(shè)，則點到直線的距離為，點到直線的距離為，要使點為定點，且，則，即，此時定圓Q的圓心為，半徑為1，所以圓Q上一點到點的距離的最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合，，，則（）AB.中元素的個數(shù)為8C.是A的一個真子集D.從中取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有20種【答案】ABD【解析】，由條件可得，正確；，有8個元素，正確；，，顯然C錯誤；由條件可知中有個整數(shù)，其中有6個奇數(shù)，所以取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有，正確；故選：ABD10.已知點，，，，點P為曲線C：上一點，則（）A.存在無數(shù)個點P，使得為定值B.存在無數(shù)個點P，使得為定值C.僅存在2個點P，使得D.僅存在4個點P，使得【答案】ABD【解析】由曲線C：，可知曲線為：橢圓和橢圓，易知，為的焦點，，，為的焦點，存在無數(shù)個點P，使得為定值，存在無數(shù)個點P，使得為定值，故AB正確；由圖象可知：兩橢圓共有4個交點，所以僅存在4個點P，使得，故C錯，D對，故選：ABD11.若存在點P，使得過點P可作曲線的兩條切線，切點為A和B，且是銳角，則可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若過點可作曲線的兩條切線，設(shè)切點，不妨設(shè)，則函數(shù)在處的切線方程為，在處的切線方程為，則兩切線交點為，所以有，且，即，，由，，則可得.A項，，則，所以，由函數(shù)有兩條漸近線，軸與直線，兩漸近線夾角為，如圖1可知，，又不共線，則可能為銳角.例如：當時，此時，不共線，則為銳角，故A正確；B項，，則，所以，如圖可知，，則，故，又不共線，所以恒為鈍角，故B錯誤；C項，，則，所以，其中，若，且，則，如圖所示，不共線，可以取到銳角，故C正確；D項，，則，故，，故曲線在處的切線為，在處的切線為，此時兩切線夾角為.，結(jié)合圖可知，，則，故，所以，故D錯誤；故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則的最大值為______，此時______．【答案】①.②.【解析】由，則，當且僅當時等號成立，即的最大值為，此時.故答案為：；.13.若函數(shù)滿足，則______．【答案】2【解析】由，令，得，令，得，兩式聯(lián)立，解得.故答案為：2.14.在三棱錐中，O為的外心，底面ABC，，，且，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】如圖：設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐外接球的半徑為.在中，，所以.記三棱錐外接球的球心為，由.故三棱錐外接球的表面積為：.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知拋物線C：經(jīng)過雙曲線D：的焦點，且D的離心率為．（1）求D的方程；（2）C與D的4個交點圍成一個梯形，求該梯形的高．解：（1）拋物線C：與軸焦點坐標為，則雙曲線D：的焦點坐標為，則，又，則，所以求雙曲線D的方程為.（2）聯(lián)立，解得或或或，則C與D的4個交點為，，，，則該梯形的高為.16.如圖，平面，，點，位于平面的兩側(cè)，，，，四點共面，且，，．（1）證明：平面．（2）過點作平面ABC的垂線，指出垂足的位置，并說明理由．（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面.（2）解：垂足為的中點.理由如下：取中點，連接，因為，所以又與（1）同理可證平面，因為四點共面，所以平面，所以，又,平面，所以平面所以為的中點.（3）解：因為，，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得.設(shè)平面的法向量為，則，令，可得.由，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知數(shù)列滿足，且．設(shè)．（1）求；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前n項和．（1）解：由，，取，則有，解得.（2）證明：由，，則，所以，則得，又，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，則有，則.（3）解：由（2）知，，則，所以，設(shè)，則，則，則，所以.18.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足對恒成立，則稱為T函數(shù)．（1）試問是否為T函數(shù)？說明你的理由．（2）若為T函數(shù)，求a的取值范圍．解：（1）為T函數(shù)，理由如下：由，則，則，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以對恒成立，故為T函數(shù).（2）由，則，因為為T函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，設(shè)，，則，當，即時，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意；當，即時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即.綜上所述，a取值范圍為．19.現(xiàn)有位編號為1到2n的玩家，房間里有2n個盒子（盒子的編號為1到2n），將2n張編號為1到2n的紙條隨機放入這2n個盒子內(nèi)（每個盒子內(nèi)只放1張紙條）．玩家依次進入房間，且每人可以打開其中的任意n個盒子，只有當每個玩家都找到與自己編號相同的紙條時，才算挑戰(zhàn)成功．每個玩家開完盒子后都將盒子蓋上（紙條放回原處），恢復(fù)盒子的原狀．設(shè)各玩家開盒相互獨立，在挑戰(zhàn)開始后，各玩家不準交流．為了提升挑戰(zhàn)成功的概率，有人設(shè)計了一個新方案：讓每一位玩家進入房間后，先打開編號為自己編號的盒子（例如編號為2的玩家打開編號為2的盒子），若盒子里的紙條編號恰為玩家自己的編號，則該玩家退出房間，讓下一位玩家進入房間；若盒子里的紙條編號（設(shè)該編號為X）不是該玩家自己的編號，則該玩家接著去打開編號為X的盒子，依此類推，直到打開的盒子里的紙條編號與自己的編號相同，且前提是打開盒子的個數(shù)不能超過n．（1）當時，設(shè)第個盒子內(nèi)放的紙條編號為，試問采用新方案后，挑戰(zhàn)是否能成功？說明你的理由．（2）當時，在第1個和第6個盒子內(nèi)放的紙條編號分別為6和1的前提下，求采用新方案挑戰(zhàn)成功的概率．（3）當時，求采用新方案挑戰(zhàn)成功的概率．參考數(shù)據(jù)：，．解：（1）編號為1的玩家先打開編號為1的盒子，該盒子內(nèi)紙條編號為，該玩家接著去打開編號為6的盒子，該盒子內(nèi)紙條的編號為，因為，所以玩家1可以挑戰(zhàn)成功；編號為2玩家先打開編號為2的盒子，該盒子內(nèi)紙條編號為，該玩家接著去打開編號為5的盒子，該盒子內(nèi)紙條的編號為，因為，所以玩家2可以挑戰(zhàn)成功；編號為3的玩家先打開編號為3的盒子，該盒子內(nèi)紙條編號為，該玩家接著去打開編號為4的盒子，該盒子內(nèi)紙條的編號為，因為，所以玩家3可以挑戰(zhàn)成功；…編號為6的玩家先打開編號為6的盒子，該盒子內(nèi)紙條編號為，該玩家接著去打開編號為1的盒子，該盒子內(nèi)紙條的編號為，因為，所以玩家6可以挑戰(zhàn)成功.所以使用新方案后，每個玩家都可以在第二次找到與自己編號相同的紙條，從而挑戰(zhàn)成功，所以采用新方案后，挑戰(zhàn)能成功.（2）在第1個，第6個盒子內(nèi)放的紙條編號分別為6和1的前提下，即編號為1和6的兩個玩家能挑戰(zhàn)成功的情況下，考慮其余四人的情況如下：設(shè)第2個，第3個，第4個，第5個盒子內(nèi)放的紙條編號分別為，則的所有情況共有種.其中采用新方案挑戰(zhàn)失敗的有，，，，，，共6種.所以挑戰(zhàn)成功的概率為：.（3）采用新方案后，設(shè)編號為的玩家恰好打開了個盒子才找到與自己編號相同的紙條，則稱數(shù)字的循環(huán)周期為.在這100個盒子內(nèi)有100張編號互不相同的紙條，100個盒子的紙條的每一種投放順序相當于數(shù)字1到100進行一次排列，循環(huán)周期為的排列共有種循環(huán)方法（即從這100個數(shù)中選個數(shù)進入循環(huán)），在周期內(nèi)，循環(huán)的這些數(shù)字有種排法，其余數(shù)字有種排法，因此循環(huán)周期為的排列數(shù)為：.記“當時，采用新方案挑戰(zhàn)成功”為事件，則貴州省黔東南苗族侗族自治州2025屆高三模擬統(tǒng)測數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)12，13，12，15，18，19，20，則這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為（）A.12 B.13 C.15 D.18【答案】B【解析】將這組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：12，12，13，15，18，19，20，因為，所以這組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為13.故選：B2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以虛部為，故選：B3.已知向量，，若，則（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】由條件可得，兩邊平方得，解得，故選：A4.若是最小正周期為的偶函數(shù)，則的解析式可以為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對于A，為常函數(shù)，故最小正周期為錯誤；對于B，，奇函數(shù)，故錯誤；對于C，由周期公式可知：的最小正周期為：，所以，故周期為，故錯誤；對于D，，偶函數(shù)，由周期公式可得最小正周期為，故正確；故選：D5.已知第一個正四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為4cm，第二個正四棱臺的上底面、下底面邊長與第一個相同，但高為第一個正四棱臺的3倍，則第二個正四棱臺的體積為（）A B. C. D.【答案】C【解析】由題意知第一個正四棱臺上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱長為4cm，如圖：設(shè)第一個四棱臺上下底面中心為，連接，結(jié)合正四棱臺性質(zhì)可知四邊形為直角梯形，且，故，即棱臺的高為，則第二個正四棱臺的高為，故第二個正四棱臺的體積為.故選：C6.在規(guī)定時間內(nèi)，甲、乙、丙能完成某項學習任務(wù)的概率分別為0.5，0.6，0.5，且這三人是否能按時完成任務(wù)相互獨立．記甲、乙、丙三人中能按時完成這項學習任務(wù)的人數(shù)為，則（）A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8【答案】B【解析】由題意可知的可能取值為0，1，2，3，，，，所以所以，故選：B7.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，因為，所以，則.故選：A.8.設(shè)直線：，：．若存在定圓Q，使得這兩條直線與圓Q都相切，則圓Q上一點到點的距離的最大值為（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】由：，得，由：，得，設(shè)，則點到直線的距離為，點到直線的距離為，要使點為定點，且，則，即，此時定圓Q的圓心為，半徑為1，所以圓Q上一點到點的距離的最大值為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知集合，，，則（）AB.中元素的個數(shù)為8C.是A的一個真子集D.從中取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有20種【答案】ABD【解析】，由條件可得，正確；，有8個元素，正確；，，顯然C錯誤；由條件可知中有個整數(shù)，其中有6個奇數(shù)，所以取3個不同的元素，這3個元素都是奇數(shù)的不同取法有，正確；故選：ABD10.已知點，，，，點P為曲線C：上一點，則（）A.存在無數(shù)個點P，使得為定值B.存在無數(shù)個點P，使得為定值C.僅存在2個點P，使得D.僅存在4個點P，使得【答案】ABD【解析】由曲線C：，可知曲線為：橢圓和橢圓，易知，為的焦點，，，為的焦點，存在無數(shù)個點P，使得為定值，存在無數(shù)個點P，使得為定值，故AB正確；由圖象可知：兩橢圓共有4個交點，所以僅存在4個點P，使得，故C錯，D對，故選：ABD11.若存在點P，使得過點P可作曲線的兩條切線，切點為A和B，且是銳角，則可能為（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若過點可作曲線的兩條切線，設(shè)切點，不妨設(shè)，則函數(shù)在處的切線方程為，在處的切線方程為，則兩切線交點為，所以有，且，即，，由，，則可得.A項，，則，所以，由函數(shù)有兩條漸近線，軸與直線，兩漸近線夾角為，如圖1可知，，又不共線，則可能為銳角.例如：當時，此時，不共線，則為銳角，故A正確；B項，，則，所以，如圖可知，，則，故，又不共線，所以恒為鈍角，故B錯誤；C項，，則，所以，其中，若，且，則，如圖所示，不共線，可以取到銳角，故C正確；D項，，則，故，，故曲線在處的切線為，在處的切線為，此時兩切線夾角為.，結(jié)合圖可知，，則，故，所以，故D錯誤；故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則的最大值為______，此時______．【答案】①.②.【解析】由，則，當且僅當時等號成立，即的最大值為，此時.故答案為：；.13.若函數(shù)滿足，則______．【答案】2【解析】由，令，得，令，得，兩式聯(lián)立，解得.故答案為：2.14.在三棱錐中，O為的外心，底面ABC，，，且，則三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【解析】如圖：設(shè)的外接圓半徑為，三棱錐外接球的半徑為.在中，，所以.記三棱錐外接球的球心為，由.故三棱錐外接球的表面積為：.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知拋物線C：經(jīng)過雙曲線D：的焦點，且D的離心率為．（1）求D的方程；（2）C與D的4個交點圍成一個梯形，求該梯形的高．解：（1）拋物線C：與軸焦點坐標為，則雙曲線D：的焦點坐標為，則，又，則，所以求雙曲線D的方程為.（2）聯(lián)立，解得或或或，則C與D的4個交點為，，，，則該梯形的高為.16.如圖，平面，，點，位于平面的兩側(cè)，，，，四點共面，且，，．（1）證明：平面．（2）過點作平面ABC的垂線，指出垂足的位置，并說明理由．（3）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：因為平面，平面，所以，又，且，平面，所以平面.（2）解：垂足為的中點.理由如下：取中點，連接，因為，所以又與（1）同理可證平面，因為四點共面，所以平面，所以，又,平面，所以平面所以為的中點.（3）解：因為，，所以以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得.設(shè)平面的法向量為，則，令，可得.由，所以平面與平面夾角的余弦值為.17.已知數(shù)列滿足，且．設(shè)．（1）求；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（3）求數(shù)列的前n項和．（1）解：由，，取，則有，解得.（2）證明：由，，則，所以，則得，又，故數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，則有，則.（3）解：由（2）知，，則，所以，設(shè)，則，則，則，所以.18.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿足對恒成立，則稱為T函數(shù)．（1）試問是否為T函數(shù)？說明你的理由．（2）若為T函數(shù)，求a的取值范圍．解：（1）為T函數(shù)，理由如下：由，則，則，因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，所以對恒成立，故為T函數(shù).（2）由，則，因為為T函數(shù)，所以對恒成立，即對恒成立，設(shè)，，則，當，即時，令，得；令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，不符合題意；當，即時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即.綜上所述，a取值范圍為．19.現(xiàn)有位編號為1到2n的玩家，房間里有2n個盒子（盒子的編號為1到2n），將2n張編號為1到2n的紙條隨機放入這2n個盒子內(nèi)（每個盒子內(nèi)只放1張紙條）．玩家依次進入房間，且每人可以打開其中的任意n個盒子，只有當每個玩家都找到與自己編號相同的紙條時，才算挑戰(zhàn)成功．每個玩家開完盒子后都將盒子蓋上（紙條放回原處），恢復(fù)盒子的原狀．設(shè)各玩家開盒相互獨立，在挑戰(zhàn)開始后，各玩家不準交流．為了提升挑戰(zhàn)成功的概率，有人設(shè)計了一個新方案：讓每一位玩家進入房間后，先打開編號為自己編號的盒子（例如編號為2的玩家打開編號為2的盒子），若盒子里的紙條編號恰為玩家自己的編號，則該玩家退出房間，讓下一位玩家進入房間；若盒子里的紙條編號（設(shè)該編號為X）不是該玩家自己的編號，則該玩家接著去打開編號為X的盒子，依此類推，直到打開的