2025屆河北省保定市部分示范高中高三下學期模擬考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河北省保定市部分示范高中2025屆高三下學期模擬考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.2.已知為坐標原點，圓，則（）A.2 B.3 C. D.5【答案】C【解析】，則.故選：C.3.已知向量，則在上的投影向量的模為（）A.1 B. C.10 D.【答案】A【解析】向量在上的投影向量為，故.故選：A.4.已知圓臺的上、下底面半徑分別為3，5，母線長為3，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圓臺側(cè)面積公式可得：.故選：C.5.已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】由題意，又，所以，故，所以，所以雙曲線，故漸近線方程為且焦點為，則焦點到漸近線的距離為.故選：B.6.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，.又，.由正弦定理得，即.在中，，，即..故選：D.7.已知是定義在上的函數(shù)，且有，當時，，則方程的根的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】是定義在上的函數(shù)，且有，當時，，則時，，則，時，，時，，時，，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，由圖象可知方程的根的個數(shù)為3.故選：C.8.已知，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，又，得，又，所以，且，所以，故，故，又，所以當時，取得最小值，最小值為.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列不等式成立的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】因為，故A正確；因為，故B正確；因為，故，故C錯誤；由，得，即，故D錯誤.故選：AB.10.在正方體中，下列四個選項中正確的有（）A.直線平面B.每條棱所在直線與平面所成的角都相等C.平面平面D.直線平面【答案】ABD【解析】設正方體的棱長為1，如圖，因為平面，又平面，直線，所以直線平面，故A正確；在三棱錐中，，所以三棱錐為正三棱錐，故與平面所成的角均相等，又正方體的其他棱均與中的一條棱平行，所以每條棱所在直線與平面所成的角都相等，故B正確；連接交于點，連接，因為均為等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，又，所以，所以C錯誤；由，平面，得平面，因為平面，所以，同理平面，所以直線平面，故D正確.故選：ABD.11.已知到點和的距離之積為定值的點的軌跡稱為伯努利雙紐線，.若，曲線過坐標原點，點為曲線上一點，則下列說法正確的有（）A. B.曲線與軸有三個交點C. D.【答案】ACD【解析】對于A，由時，過坐標原點，所以，所以，所以，故A正確；對于B，設是曲線上任意一點，則，化簡得，當時，，只有一解，所以B錯誤；對于C，由，所以，故C正確；對于D，由，得，將其看成是關于的方程，則，故，所以D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)為，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為__________.【答案】83.5【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排列：75，77，79，，又，故這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為.故答案為：83.5.13.由一個1、兩個2和三個3排列成一個六位數(shù)，則所有相同數(shù)字都不相鄰的概率為__________.【答案】【解析】由一個1，兩個2和三個3排列成一個六位數(shù)字共有種結(jié)果，若三個3之間的兩個位置只有兩個2，有132323和323231兩種，若三個3之間的兩個位置只有一個1和一個2，有四種，若三個3之間的兩個位置中，其中一個位置有一個1和一個2，另一個位置為2，有312323，四種，共10種結(jié)果，所以其概率.故答案為：.14.已知集合，定義集合.若，記為集合中元素的個數(shù)，則的最大值為__________.【答案】67【解析】設滿足題意，其中，則：，故，，故，因為，所以，又中最小的元素為0，最大的元素為，則，故，解得，設，則，，因為，可得，即，故的最小值為34，于是當時，中元素最多，即時滿足題意，綜上所述，的最大值是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）為的導函數(shù)，則當時，求的值；（2）證明：有且僅有一條圖象的切線過坐標原點；（3）討論函數(shù)單調(diào)性.（1）解：當時，，故，故.（2）證明：函數(shù)的定義域為，而，設為切點，則切線的斜率，切線方程為，若切線過點，則，化簡得，方程只有一解為，所以有且僅有一條圖象的切線過坐標原點.（3）解：當時，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上，當，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.16.某工廠為了解員工績效分數(shù)達標情況與員工性別的關系，隨機對該廠男、女各30名員工的績效分數(shù)達標情況進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：單位：人性別績效分數(shù)達標情況合計未達標達標男201030女52530合計253560（1）經(jīng)計算，所調(diào)查男員工績效分數(shù)的平均數(shù)為26；女員工績效分數(shù)的平均數(shù)為34，求這60人績效分數(shù)的平均數(shù).（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷績效分數(shù)達標情況與性別有關聯(lián)？（3）該廠為激勵員工，規(guī)定每月績效分數(shù)的第一名獎勵1千元，其他名次無獎勵.甲為該廠員工，他在工廠開工的第一個月贏得獎勵的概率為，從第二個月開始，若上個月沒有贏得獎勵，則這個月贏得獎勵的概率為；若上個月贏得獎勵，則這個月仍贏得獎勵的概率為，求甲在前兩個月所得獎金總額（單位：千元）的分布列和數(shù)學期望.附：0.10.010.0012.7066.63510.828參考公式：，其中.解：（1）由題意可知，30.（2）零假設為：績效分數(shù)達標情況與性別無關.，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為績效分數(shù)達標情況與性別有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（3）由題意知可能的取值為，則；，所以甲在前兩個月所得獎金總額的分布列為012數(shù)學期望0.44.17.如圖，在圓錐中，是底面圓上的四點，為直線與圓的另一交點，為母線上一點，且.（1）證明：平面底面圓；（2）為底面圓的劣弧上一點（與點均不重合），且平面與平面所成角的余弦值為，求的正弦值.（1）證明：設交于點，連接，設圓半徑為，則可得，在中，，所以，故，所以，又，所以為正三角形，因此為的中點，易得，故，所以為的中點，所以.又底面圓，所以底面圓，又平面，所以平面底面圓.（2）解：以點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，連接，設，平面的一個法向量為，則，故，由得令，解得，又平面的一個法向量為，則，解得或（舍去），所以，則，故.18.已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為，點為上的動點，的周長為6.（1）求的標準方程.（2）延長線段分別交于兩點，連接，并延長線段交于另一點，若直線和的斜率均存在，且分別為，試判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說明理由.解：（1）設橢圓的焦距，所以的周長為，即.又橢圓的離心率為，所以，所以，所以，所以，所以的標準方程為.（2）是定值.由（1）得，設，，又三點共線，所以，化簡得，則直線的方程為，直線的方程為，由，化簡得，由根與系數(shù)關系可知，，所以，同理，又，所以.19.已知數(shù)列的首項，當時，，數(shù)列滿足，數(shù)列和的所有項合在一起，按從小到大的順序依次排列構成新數(shù)列.（1）求的值；（2）記為數(shù)列的前項和，求使得成立的的最小值；（3）從數(shù)列的前100項中每次隨機抽取一項，有放回地抽取20次，設這20次抽取的項互不相同的概率為，證明：.附：不等式，且的推廣式均大于0，且不全相等）成立.解：（1）數(shù)列的首項，當時，，則數(shù)列是以1為首項，公差為2的等差數(shù)列，所以，由得，數(shù)列和的所有項合在一起，按從小到大的順序依次排列構成新數(shù)列所以數(shù)列為，所以.（2）由（1）知，所以等價于，因為，所以，又，則.當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，不符合題意；當時，，符合題意，故的最小值為7.（3）由（1）知數(shù)列的前100項中無重復的項，所以，所以，設函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以當時，，即.故，則，即，所以.河北省保定市部分示范高中2025屆高三下學期模擬考試數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.2.已知為坐標原點，圓，則（）A.2 B.3 C. D.5【答案】C【解析】，則.故選：C.3.已知向量，則在上的投影向量的模為（）A.1 B. C.10 D.【答案】A【解析】向量在上的投影向量為，故.故選：A.4.已知圓臺的上、下底面半徑分別為3，5，母線長為3，則該圓臺的側(cè)面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由圓臺側(cè)面積公式可得：.故選：C.5.已知雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A. B.2 C.4 D.【答案】B【解析】由題意，又，所以，故，所以，所以雙曲線，故漸近線方程為且焦點為，則焦點到漸近線的距離為.故選：B.6.在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在中，.又，.由正弦定理得，即.在中，，，即..故選：D.7.已知是定義在上的函數(shù)，且有，當時，，則方程的根的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】是定義在上的函數(shù)，且有，當時，，則時，，則，時，，時，，時，，畫出函數(shù)與函數(shù)的圖象，由圖象可知方程的根的個數(shù)為3.故選：C.8.已知，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，又，得，又，所以，且，所以，故，故，又，所以當時，取得最小值，最小值為.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列不等式成立的有（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】因為，故A正確；因為，故B正確；因為，故，故C錯誤；由，得，即，故D錯誤.故選：AB.10.在正方體中，下列四個選項中正確的有（）A.直線平面B.每條棱所在直線與平面所成的角都相等C.平面平面D.直線平面【答案】ABD【解析】設正方體的棱長為1，如圖，因為平面，又平面，直線，所以直線平面，故A正確；在三棱錐中，，所以三棱錐為正三棱錐，故與平面所成的角均相等，又正方體的其他棱均與中的一條棱平行，所以每條棱所在直線與平面所成的角都相等，故B正確；連接交于點，連接，因為均為等邊三角形，所以，所以為二面角的平面角，又，所以，所以C錯誤；由，平面，得平面，因為平面，所以，同理平面，所以直線平面，故D正確.故選：ABD.11.已知到點和的距離之積為定值的點的軌跡稱為伯努利雙紐線，.若，曲線過坐標原點，點為曲線上一點，則下列說法正確的有（）A. B.曲線與軸有三個交點C. D.【答案】ACD【解析】對于A，由時，過坐標原點，所以，所以，所以，故A正確；對于B，設是曲線上任意一點，則，化簡得，當時，，只有一解，所以B錯誤；對于C，由，所以，故C正確；對于D，由，得，將其看成是關于的方程，則，故，所以D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)為，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為__________.【答案】83.5【解析】將數(shù)據(jù)從小到大排列：75，77，79，，又，故這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為.故答案為：83.5.13.由一個1、兩個2和三個3排列成一個六位數(shù)，則所有相同數(shù)字都不相鄰的概率為__________.【答案】【解析】由一個1，兩個2和三個3排列成一個六位數(shù)字共有種結(jié)果，若三個3之間的兩個位置只有兩個2，有132323和323231兩種，若三個3之間的兩個位置只有一個1和一個2，有四種，若三個3之間的兩個位置中，其中一個位置有一個1和一個2，另一個位置為2，有312323，四種，共10種結(jié)果，所以其概率.故答案為：.14.已知集合，定義集合.若，記為集合中元素的個數(shù)，則的最大值為__________.【答案】67【解析】設滿足題意，其中，則：，故，，故，因為，所以，又中最小的元素為0，最大的元素為，則，故，解得，設，則，，因為，可得，即，故的最小值為34，于是當時，中元素最多，即時滿足題意，綜上所述，的最大值是.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）為的導函數(shù)，則當時，求的值；（2）證明：有且僅有一條圖象的切線過坐標原點；（3）討論函數(shù)單調(diào)性.（1）解：當時，，故，故.（2）證明：函數(shù)的定義域為，而，設為切點，則切線的斜率，切線方程為，若切線過點，則，化簡得，方程只有一解為，所以有且僅有一條圖象的切線過坐標原點.（3）解：當時，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，令，解得，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，綜上，當，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.16.某工廠為了解員工績效分數(shù)達標情況與員工性別的關系，隨機對該廠男、女各30名員工的績效分數(shù)達標情況進行調(diào)查，整理得到如下列聯(lián)表：單位：人性別績效分數(shù)達標情況合計未達標達標男201030女52530合計253560（1）經(jīng)計算，所調(diào)查男員工績效分數(shù)的平均數(shù)為26；女員工績效分數(shù)的平均數(shù)為34，求這60人績效分數(shù)的平均數(shù).（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷績效分數(shù)達標情況與性別有關聯(lián)？（3）該廠為激勵員工，規(guī)定每月績效分數(shù)的第一名獎勵1千元，其他名次無獎勵.甲為該廠員工，他在工廠開工的第一個月贏得獎勵的概率為，從第二個月開始，若上個月沒有贏得獎勵，則這個月贏得獎勵的概率為；若上個月贏得獎勵，則這個月仍贏得獎勵的概率為，求甲在前兩個月所得獎金總額（單位：千元）的分布列和數(shù)學期望.附：0.10.010.0012.7066.63510.828參考公式：，其中.解：（1）由題意可知，30.（2）零假設為：績效分數(shù)達標情況與性別無關.，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為績效分數(shù)達標情況與性別有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（3）由題意知可能的取值為，則；，所以甲在前兩個月所得獎金總額的分布列為012數(shù)學期望0.44.17.如圖，在圓錐中，是底面圓上的四點，為直線與圓的另一交點，為母線上一點，且.（1）證明：平面底面圓；（2）為底面圓的劣弧上一點（與點均不重合），且平面與平面所成角的余弦值為，求的正弦值.（1）證明：設交于點，連接，設圓半徑為，則可得，在中，，所以，故，所以，又，所以為正三角形，因此為的中點，易得，故，所以為的中點，所以.又底面圓，所以底面圓