2025屆河南省部分學(xué)校高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，即，由解得，即得，故.故選：A.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故選：B.3.已知，，為不共線的單位向量，且任意兩個(gè)向量的夾角均相等，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，任意兩個(gè)向量的夾角均為，由平行四邊形法則可知，，所以.故選：B.4.已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離與焦距之比為，則C的離心率為（）A2 B.4 C. D.【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的焦距為2c，易知焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，所以，，故，故選：C.5.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列函數(shù)一定為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，將向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，將向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，關(guān)于直線對(duì)稱，不能得出的奇偶性，A，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：，可得函數(shù)為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：D.6.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】設(shè)的公比為q，則，即，，因?yàn)?，所以，所以，故選：D.7.若函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)（，且），則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，恒成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，則，解得，所以a的取值范圍為.故選：B8.設(shè)A，B是曲線上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，將平面直角坐標(biāo)系沿x軸折疊，使得上，下兩半部分所成二面角為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】設(shè)，，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，則，，，，折疊后即有，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選:C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，Y服從二項(xiàng)分布，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A：，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，，則（）A.的最小正周期為B.的最小正周期為C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】因?yàn)?，，的最小正周期不是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的最小正周期為，B選項(xiàng)正確；，，因?yàn)榕c有可能不相等（例如取），所以不恒成立，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，所以只需考慮的情況，當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)周期性可得時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得函數(shù)的值域?yàn)?，D選項(xiàng)正確；故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則D.函數(shù)（，且），則【答案】ABD【解析】，，，選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，由，且得，此時(shí)，因?yàn)?，即證當(dāng)時(shí)，，則，易知單調(diào)遞減，，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B正確；依題意即與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，易知在函數(shù)的圖象上，即，所以，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以的最小值為8，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，易知，，所以；當(dāng)且時(shí)，所以；選項(xiàng)D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則________.【答案】【解析】由，得出，所以.故答案為：.13.已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，且，若表示事件“，”，則________.【答案】【解析】依題意可知事件A為與同號(hào)，與異號(hào)，則，，的符號(hào)有2種情況，剩下的，，，任意選有，則.故答案為：.14.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若的外接圓圓心在直線上，則的外接圓的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，可得，①，設(shè)外接圓圓心為，外接圓方程為，即，與直線聯(lián)立可得，②，依題意，①，②為同一個(gè)方程，所以，解得，，所以的外接圓面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程及演算步驟.15.在銳角三角形中，角、、對(duì)應(yīng)的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，所以，，即，所以，.（2）因?yàn)闉殇J角三角形，可得，解得，則，因?yàn)?，則,所以，可得，即，所以的取值范圍為.16.如圖，在三棱臺(tái)中，平面ABC，，.（1）證明：；（2）若與平面所成角的正弦值為，求.（1）證明：取AC的中點(diǎn)O，連接，由平面ABC可知，平面平面ABC，因?yàn)?，所以，且平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又四邊形為正方形，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OA，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有即，可取，設(shè)與平面所成的角為，則，解得，所以.17.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，左，右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)的動(dòng)直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，其中的最大值為，最小值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)且與PQ垂直的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）由題意，，，，解得，又，橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線PQ與x軸不垂直也不平行時(shí)，不妨設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)，，聯(lián)立橢圓和直線PQ的方程，可得，由，則，，，設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，，聯(lián)立橢圓和直線MN的方程，可得，由，則，，，又，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)直線PQ與x軸垂直或平行時(shí)，此時(shí)，綜上所述，的取值范圍是.18.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線為的切線，求a的值.（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.解：（1）由，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）設(shè)切點(diǎn)為，依題意，，所以，又，代入可得，，設(shè)，則，所在單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?（3），，所以曲線在處的切線方程為，即，設(shè)，，，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，?dāng)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，?dāng)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；綜上，a的取值范圍是.19.已知有限集合（，），若，則稱A為“完美集”.（1）已知，，，，成等差數(shù)列，若集合A為“完美集”，求；（2）已知，是否存在首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，使得集合A為“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，說(shuō)明理由；（3）已知，且集合A為“完美集”，求A.解：（1）依題意，，，解得；（2）設(shè)數(shù)列的公比為q，依題意，，，因?yàn)榧螦為“完美集”，所以，整理得，解得，不符題意，所以不存在首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，使得集合A為“完美集”；（3）設(shè)，若集合A為“完美集”，則，易知，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，顯然不符題意；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，，故，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符題意；綜上，或.河南省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由可得，即，由解得，即得，故.故選：A.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，所以，故選：B.3.已知，，為不共線的單位向量，且任意兩個(gè)向量的夾角均相等，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依題意，任意兩個(gè)向量的夾角均為，由平行四邊形法則可知，，所以.故選：B.4.已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線的距離與焦距之比為，則C的離心率為（）A2 B.4 C. D.【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的焦距為2c，易知焦點(diǎn)到其漸近線的距離為，所以，，故，故選：C.5.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則下列函數(shù)一定為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，將向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，將向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，關(guān)于直線對(duì)稱，不能得出的奇偶性，A，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D：，可得函數(shù)為奇函數(shù)，D選項(xiàng)正確；故選：D.6.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】設(shè)的公比為q，則，即，，因?yàn)?，所以，所以，故選：D.7.若函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)（，且），則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，依題意，恒成立，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞減，在上遞增，因此，則，解得，所以a的取值范圍為.故選：B8.設(shè)A，B是曲線上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，將平面直角坐標(biāo)系沿x軸折疊，使得上，下兩半部分所成二面角為，則的最小值為（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】設(shè)，，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，則，，，，折疊后即有，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選:C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，Y服從二項(xiàng)分布，則（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對(duì)于A：，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.10.已知函數(shù)，，則（）A.的最小正周期為B.的最小正周期為C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【解析】因?yàn)椋?，的最小正周期不是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的最小正周期為，B選項(xiàng)正確；，，因?yàn)榕c有可能不相等（例如?。圆缓愠闪?，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋詾榕己瘮?shù)，所以只需考慮的情況，當(dāng)時(shí)，，且；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)周期性可得時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，根?jù)函數(shù)是偶函數(shù)可得函數(shù)的值域?yàn)?，D選項(xiàng)正確；故選：BD.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，則（）A.B.C.若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則D.函數(shù)（，且），則【答案】ABD【解析】，，，選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，由，且得，此時(shí)，因?yàn)?，即證當(dāng)時(shí)，，則，易知單調(diào)遞減，，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B正確；依題意即與直線恰有兩個(gè)交點(diǎn)，易知在函數(shù)的圖象上，即，所以，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以的最小值為8，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，易知，，所以；當(dāng)且時(shí)，所以；選項(xiàng)D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則________.【答案】【解析】由，得出，所以.故答案為：.13.已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零，且，若表示事件“，”，則________.【答案】【解析】依題意可知事件A為與同號(hào)，與異號(hào)，則，，的符號(hào)有2種情況，剩下的，，，任意選有，則.故答案為：.14.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若的外接圓圓心在直線上，則的外接圓的面積為_(kāi)_______.【答案】【解析】設(shè)直線，聯(lián)立拋物線方程，可得，①，設(shè)外接圓圓心為，外接圓方程為，即，與直線聯(lián)立可得，②，依題意，①，②為同一個(gè)方程，所以，解得，，所以的外接圓面積為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程及演算步驟.15.在銳角三角形中，角、、對(duì)應(yīng)的邊分別為、、，已知.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，因?yàn)闉殇J角三角形，則，，所以，，即，所以，.（2）因?yàn)闉殇J角三角形，可得，解得，則，因?yàn)?，則,所以，可得，即，所以的取值范圍為.16.如圖，在三棱臺(tái)中，平面ABC，，.（1）證明：；（2）若與平面所成角的正弦值為，求.（1）證明：取AC的中點(diǎn)O，連接，由平面ABC可知，平面平面ABC，因?yàn)椋?，且平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又四邊形為正方形，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）解：如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OA，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則有即，可取，設(shè)與平面所成的角為，則，解得，所以.17.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，左，右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)的動(dòng)直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，其中的最大值為，最小值為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)且與PQ垂直的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.解：（1）由題意，，，，解得，又，橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線PQ與x軸不垂直也不平行時(shí)，不妨設(shè)直線PQ的方程為，設(shè)，，聯(lián)立橢圓和直線PQ的方程，可得，由，則，，，設(shè)直線MN的方程為，設(shè)，，聯(lián)立橢圓和直線MN的方程，可得，由，則，，，又，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)直線PQ與x軸垂直或平行時(shí)，此時(shí)，綜上所述，的取值范圍是.18.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）若