2025屆黑龍江省齊齊哈爾市高考二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1黑龍江省齊齊哈爾市2025屆高考二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A0 B. C.1 D.0或1【答案】C【解析】因?yàn)榧?，，，所以，所以或，若，則，此時(shí)，滿足題意；若，則，此時(shí)集合不滿足集合元素的互異性，舍去．綜上，．故選：C．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】已知，則.得到：，則.

所以.

可得：.根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式：則.

故選：D.3.在三棱柱中，設(shè)，，，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，如圖，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．故選：C．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，解得，∴.故選：A．5.直線經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€，令，則，所以，令，則，所以，又因?yàn)?，所以，則該橢圓的離心率.故選：B.6.函數(shù)在上單調(diào)遞增的必要不充分條件為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?由在上單調(diào)遞增，得在上恒成立.則，解得.A是充分不必要條件，B是充分必要條件，C是不充分不必要條件，D是必要不充分條件，故選：D.7.已知，，，則（）A.0.2 B.0.375 C.0.75 D.0.8【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，解?故選：A.8.已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為，高為，體積為，則該正三棱臺(tái)的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)正三棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為，則其下底面積為，上底面面積為，所以，該三棱臺(tái)的體積為，整理可得，因?yàn)椋獾?，如下圖，設(shè)正三棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為、，由正三棱臺(tái)的幾何性質(zhì)可知，外接球球心在直線上，正的外接圓半徑為，正的外接圓半徑為，設(shè)，若球心在線段上，則，設(shè)球的半徑為，則，即，解得，不合乎題意；所以，球心在射線上，則，，即，解得.所以，，故該正三棱臺(tái)的外接球表面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.A、B是函數(shù)與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的定義域?yàn)镃.的對(duì)稱中心為D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】的最小正周期，則，故A正確；由，得，所以的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；由，解得，所以對(duì)稱中心為，故C正確；當(dāng)時(shí)，得，從而無(wú)意義，因此區(qū)間不可能是的單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯(cuò)誤，故選：AC.10.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】的定義域?yàn)?，排除C；對(duì)求導(dǎo)可得，.

當(dāng)時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象從右側(cè)開始上升，B選項(xiàng)滿足.

當(dāng)時(shí)，在上，，，所以，這表明函數(shù)在上單調(diào)遞增，，A選項(xiàng)滿足.

當(dāng)時(shí)，.令，對(duì)求導(dǎo)得，在上，，所以在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，即.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，D選項(xiàng)滿足.故選：ABD.11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線：是線段AB的垂直平分線，且與的交點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C. D.【答案】BC【解析】根據(jù)題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立，可得，∴，，∴，，對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由題意，則，得，∴直線的方程為，，∵，原點(diǎn)到直線距離，∴，故B正確；對(duì)于C，由題意為線段的中點(diǎn)，則，即，又，點(diǎn)在直線上，則，故C正確；對(duì)于D，由，得，則，∴由得，又，解得，故D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，的系數(shù)為______．【答案】【解析】因?yàn)槠渲姓归_式的通項(xiàng)為（），所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：13.已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】的定義域?yàn)?，∵，∴函?shù)是上的增函數(shù)，∵，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∴由得，∴，∴不等式的解集為．故答案為：．14.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳析九章算法》中提出了一階等差數(shù)列的問(wèn)題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列．類比一階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義一階等比數(shù)列．設(shè)數(shù)列：1，1，2，8，64，…是一階等比數(shù)列，則______；______．【答案】①.32②.【解析】由題意，設(shè)數(shù)列：1，1，2，8，64，…是一階等比數(shù)列，設(shè)，所以為等比數(shù)列，其中，公比為，所以，則．則，所以，所以．故答案為：32；．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知，，，且（1）求BO的長(zhǎng)；（2）若，求的值．解：（1）設(shè)，，所以，，在中，，在中，，因?yàn)椋獾?，所以BO的長(zhǎng)為；（2）由（1）知，設(shè),，，在中，，在中，，所以，若，則與全等，所以，所以，所以，不成立，所以所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的值?16.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若恒成立，即恒成立，則恒成立，設(shè)，，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，則的最大值為，則，令，，，則在上單調(diào)遞增，又，∴由，得，∴且，∴.17.已知三棱臺(tái)（圖2）的平面展開圖（圖1）中，和均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，B、C分別為AE、AF的中點(diǎn)，，，在三棱臺(tái)ABC-DEF中（1）求證：；（2）求平面ABC與平面ACFD所成二面角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共線，因?yàn)?，，所以，，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平面展開圖可得，所以，由余弦定理可得，過(guò)作交于，所以，又，所以，所以，，故過(guò)作交于，由（1）知，，故平面，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得，令，則，由得，令，則，所以，所以，所以平面ABC與平面ACFD所成二面角的正弦值為.18.焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線E，其頂點(diǎn)到漸近線的距離為，直線過(guò)點(diǎn)與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)A、B（1）求雙曲線E的方程；（2）若，求直線AB的斜率；（3）若點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C在第三象限，且，求直線AB斜率的取值范圍．解：（1）設(shè)等軸雙曲線的方程為，其漸近線方程為，故，解得，所以雙曲線E方程為.（2）由題意，過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，可設(shè)其方程為，設(shè)，由，得，聯(lián)立，整理得，由韋達(dá)定理得：，，聯(lián)立解得，經(jīng)驗(yàn)證均滿足題意，所以直線的斜率為.（3）點(diǎn)在第三象限，如圖所示，故直線的斜率是正數(shù)，由，得，所以，則，則，由，得，所以，則，又因?yàn)橹本€交兩支兩點(diǎn)，故直線的斜率，所以.19.北海艦隊(duì)開放日活動(dòng)中，隨機(jī)抽取了200名學(xué)生參加繩子打結(jié)計(jì)時(shí)的趣味性比賽，并對(duì)學(xué)生性別與繩子打結(jié)速度快慢的相關(guān)性進(jìn)行分析，得到數(shù)據(jù)如下表：性別繩子打結(jié)速度合計(jì)快慢男生45女生3590合計(jì)（1）完成列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷繩子打結(jié)速度快慢是否與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)，并說(shuō)明理由；（2）現(xiàn)有根繩子，共有2n個(gè)繩頭，每個(gè)繩頭只打一次結(jié)，且每個(gè)結(jié)僅含兩個(gè)繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束．（i）現(xiàn)在有4根繩子，求恰好能圍成兩個(gè)圈的概率；（ii）這n根繩子恰好能圍成一個(gè)圈的不同的連接方法數(shù)為，求．附：0.050.010.0013.841663510.828解：（1）女生打結(jié)慢有人，男生總計(jì)人，男生打結(jié)快共，補(bǔ)充列聯(lián)表性別繩子打結(jié)速度合計(jì)快慢男生6545110女生355590合計(jì)100100200零假設(shè)：繩子打結(jié)速度快慢與學(xué)生性別無(wú)關(guān)聯(lián)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為繩子打結(jié)速度快慢與學(xué)生性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．（2）（i）4根繩子所有的打結(jié)方式共有種，圍成2圈的情況共有種，恰好能圍成兩個(gè)圈的概率.（ii），，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，，，①②，①②整理得，，.黑龍江省齊齊哈爾市2025屆高考二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，若，則（）A0 B. C.1 D.0或1【答案】C【解析】因?yàn)榧?，，，所以，所以或，若，則，此時(shí)，滿足題意；若，則，此時(shí)集合不滿足集合元素的互異性，舍去．綜上，．故選：C．2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】已知，則.得到：，則.

所以.

可得：.根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式：則.

故選：D.3.在三棱柱中，設(shè)，，，為的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】連接，如圖，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以．故選：C．4.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，解得，∴.故選：A．5.直線經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，則該橢圓的離心率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)橹本€，令，則，所以，令，則，所以，又因?yàn)?，所以，則該橢圓的離心率.故選：B.6.函數(shù)在上單調(diào)遞增的必要不充分條件為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?由在上單調(diào)遞增，得在上恒成立.則，解得.A是充分不必要條件，B是充分必要條件，C是不充分不必要條件，D是必要不充分條件，故選：D.7.已知，，，則（）A.0.2 B.0.375 C.0.75 D.0.8【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，解?故選：A.8.已知正三棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為，高為，體積為，則該正三棱臺(tái)的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)正三棱臺(tái)的下底面邊長(zhǎng)為，則其下底面積為，上底面面積為，所以，該三棱臺(tái)的體積為，整理可得，因?yàn)?，解得，如下圖，設(shè)正三棱臺(tái)的上、下底面的中心分別為、，由正三棱臺(tái)的幾何性質(zhì)可知，外接球球心在直線上，正的外接圓半徑為，正的外接圓半徑為，設(shè)，若球心在線段上，則，設(shè)球的半徑為，則，即，解得，不合乎題意；所以，球心在射線上，則，，即，解得.所以，，故該正三棱臺(tái)的外接球表面積為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.A、B是函數(shù)與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的定義域?yàn)镃.的對(duì)稱中心為D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】的最小正周期，則，故A正確；由，得，所以的定義域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；由，解得，所以對(duì)稱中心為，故C正確；當(dāng)時(shí)，得，從而無(wú)意義，因此區(qū)間不可能是的單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯(cuò)誤，故選：AC.10.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】的定義域?yàn)?，排除C；對(duì)求導(dǎo)可得，.

當(dāng)時(shí)，，.所以在上單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象從右側(cè)開始上升，B選項(xiàng)滿足.

當(dāng)時(shí)，在上，，，所以，這表明函數(shù)在上單調(diào)遞增，，A選項(xiàng)滿足.

當(dāng)時(shí)，.令，對(duì)求導(dǎo)得，在上，，所以在上單調(diào)遞增.又，當(dāng)時(shí)，，所以存在，使得，即.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，D選項(xiàng)滿足.故選：ABD.11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，直線：是線段AB的垂直平分線，且與的交點(diǎn)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，，則C. D.【答案】BC【解析】根據(jù)題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立，可得，∴，，∴，，對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，由題意，則，得，∴直線的方程為，，∵，原點(diǎn)到直線距離，∴，故B正確；對(duì)于C，由題意為線段的中點(diǎn)，則，即，又，點(diǎn)在直線上，則，故C正確；對(duì)于D，由，得，則，∴由得，又，解得，故D錯(cuò)誤，故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在的展開式中，的系數(shù)為______．【答案】【解析】因?yàn)槠渲姓归_式的通項(xiàng)為（），所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：13.已知函數(shù)，則不等式的解集為______．【答案】【解析】的定義域?yàn)?，∵，∴函?shù)是上的增函數(shù)，∵，∴函數(shù)是奇函數(shù)，∴由得，∴，∴不等式的解集為．故答案為：．14.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳析九章算法》中提出了一階等差數(shù)列的問(wèn)題，即一個(gè)數(shù)列本身不是等差數(shù)列，但從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列為一階等差數(shù)列．類比一階等差數(shù)列的定義，我們亦可定義一階等比數(shù)列．設(shè)數(shù)列：1，1，2，8，64，…是一階等比數(shù)列，則______；______．【答案】①.32②.【解析】由題意，設(shè)數(shù)列：1，1，2，8，64，…是一階等比數(shù)列，設(shè)，所以為等比數(shù)列，其中，公比為，所以，則．則，所以，所以．故答案為：32；．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，已知，，，且（1）求BO的長(zhǎng)；（2）若，求的值．解：（1）設(shè)，，所以，，在中，，在中，，因?yàn)?，解得，所以BO的長(zhǎng)為；（2）由（1）知，設(shè),，，在中，，在中，，所以，若，則與全等，所以，所以，所以，不成立，所以所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的值?16.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求的取值范圍.解：（1）的定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）若恒成立，即恒成立，則恒成立，設(shè)，，∵，∴，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以不合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，則的最大值為，則，令，，，則在上單調(diào)遞增，又，∴由，得，∴且，∴.17.已知三棱臺(tái)（圖2）的平面展開圖（圖1）中，和均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，B、C分別為AE、AF的中點(diǎn)，，，在三棱臺(tái)ABC-DEF中（1）求證：；（2）求平面ABC與平面ACFD所成二面角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共線，因?yàn)?，，所以，，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；?）解：延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由平面展開圖可得，所以，由余弦定理可得，過(guò)作交于，所以，又，所以，所以，，故過(guò)作交于，由（1）知，，故平面，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，由得，令，則，由得，令，則，所以，所以，所以平面ABC與平面ACFD所成二面角的正弦值為.18.焦點(diǎn)在x軸上的等軸雙曲線E，其頂點(diǎn)到漸近線的距離為，直線過(guò)點(diǎn)與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)A、B（1）求雙曲線E的方程；（2）若，求直線AB的斜率；（3）若點(diǎn)B關(guān)于原