河北省NT20名校聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué) PDF版含解析

NT20名校聯(lián)合體4月高一年級(jí)期中考試1.本試卷共150分。考試時(shí)間120分鐘。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z(1+i)=4,則≈的虛部為A.2B.2i2.已知平面向量a=(2,—1),6=(x,3),且a⊥(a+b),則x=A.—1B.13.已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖為菱形A′B'C'D',已知A′B'=3,∠A'B'C′=60°,則四邊形ABCD的面積為A.6√3B.9√3C.6√6CB=b,則AE=5.如圖，在正三棱錐P-ABC中，PA=2√2,三條側(cè)棱兩兩夾角均為40°,M,N分別是PA,PB上的動(dòng)點(diǎn)，則三角形CMN的周長(zhǎng)的最小值為6.如圖，為了測(cè)量某座山的高度，測(cè)量人員選取了與山底B在同一平面內(nèi)的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C與D,現(xiàn)測(cè)得∠CBD=75°,∠BCD=60°,BD=45米，在點(diǎn)C處測(cè)得山頂A的仰角為60°,則該座山的高度為7.已知正方體ABCD-A?B?C?D?的棱長(zhǎng)為1,則下列說(shuō)法中正確的是A.若M是C?D?的中點(diǎn)，AM與平面BB?D?D的交點(diǎn)為O,則A?,O,C三點(diǎn)共線高一數(shù)學(xué)第1頁(yè)共4頁(yè)B.以正方體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的正四面體的體積為C.若P是B?D?上的動(dòng)點(diǎn)，則D,P,B,C?四點(diǎn)共面D.若Q是AD?上的動(dòng)點(diǎn)，則A?Q+QB的最小值是√2+√38.在銳角△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=2,b=2+2acosC,則的取值范圍是二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，關(guān)于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的其中一個(gè)根為z1=1+i,另一根為≈2,則下列結(jié)論正確的是A.a=2,b=2B.z?=2+i10.已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，下列四個(gè)命題中正確的是A.a>b是sinA>sinB的充分不必要條件B.若△ABC是銳角三角形，則點(diǎn)(sinA—cosB,cosC-sinB)在第四象限C.若a=√6,b=√15,A=45°,則符合條件的△ABC有兩個(gè)D.若△ABC是銳角三角形，且a=1,b=2,則c的取值范圍是(√3,√5)11.已知球O的半徑為R,A,B,C為球面上三點(diǎn)，且AB=BC=√3,CA=3,若球心O到平面ABC的距離等于,則下列結(jié)論正確的是B.若圓柱的外接球?yàn)榍騉,則圓柱側(cè)面積的最大值為8πC.若正三棱柱的內(nèi)切球?yàn)榍騉,則正三棱柱的體積為48√3D.若正四面體的各棱與球O相切，則正四面體的表面積為32√3三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a=(-1,3),b=(λ,—1),若a與b的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是·高一數(shù)學(xué)第2頁(yè)共4頁(yè)高一數(shù)學(xué)第3頁(yè)共4頁(yè)13.在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊為a,b,c,A=60°,a=2,O為△ABC的外心，則OA·(OB+OC)的取值范圍是·14.如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方體ABCD-A?B?C?D?中，M為AB中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，過(guò)M、N、D?作與正方體的截面為α,則截面α的周長(zhǎng)為四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題滿分13分)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,且a,b的夾角為(1)設(shè)向量2a+b與向量a-b所成的角為θ,求cosθ;(2)求a+6在6方向上的投影向量.16.(本小題滿分15分)已知復(fù)數(shù)z=a—2i(a∈R),且z·(1+i)為純虛數(shù)(z是z的共軛復(fù)數(shù)).(2)設(shè)復(fù)數(shù),求|z?|;(3)復(fù)數(shù)≥2滿足|≈2—ai|=1,求|≈2—a+i|的最小值.17.(本小題滿分15分)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若3acosB=c(3—b),(2)若點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且BC=2CD,AD=√6,求△ABC的面積.高一數(shù)學(xué)第4頁(yè)共4頁(yè)18.(本小題滿分17分)如圖，△BCD是圓錐底面圓的內(nèi)接三角形，BD=4,,PA為圓錐的母線，且圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓.(1)求圓錐的外接球的表面積；(2)求三棱錐P-BCD體積的最大值；(3)用平行于底面的平面截去圓錐的上半部分，若剩下的圓臺(tái)有內(nèi)切球，求圓臺(tái)的體積.19.(本小題滿分17分)若△ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，如圖1.(1)若a=3,OB=2OC,求△OBC面積的最大值；(2)若△ABC為正三角形，BC于點(diǎn)D,如圖2.①求tan∠OAB;②求連接AO并延長(zhǎng)交高一數(shù)學(xué)第1頁(yè)NT20名校聯(lián)合體4月高一年級(jí)期中考試2.A【解析】由題意知a⊥(a+b),所以2×(2+x)-2×1=0,解得x=-1,故A正確.故選：A.4.C【解析】因?yàn)镈為AB上靠近B的三等分點(diǎn)，E為CD的中點(diǎn)，5.A【解析】把正三棱錐沿PC剪開(kāi)并展開(kāi)，形成三個(gè)全等的等腰三角形：△PBC、△PAC、△PAB,則線段CC”就是△CMN的最小周長(zhǎng)，又PC=PC'=2√2,在Rt△ABC中，可得AB=BCtan∠ACB=15√6×√3=45√2,7.B【解析】選項(xiàng)A,在正方體ABCD-AB?C?D中，連接AD?,BC?,如圖，連接BD?,平面ABC?D?∩平面BB?D?D=BD?,因?yàn)镸為棱D?C?的中點(diǎn)，則M∈平面ABC?D?,高一數(shù)學(xué)第2頁(yè)因AM與平面BB?D?D的交點(diǎn)為0,則O∈平面BB?D?D,于是得O∈BD,即D?,O,B三點(diǎn)共線，由C?D?//CD/IAB,M為棱DC?的中點(diǎn)，可得DM//AB且所以三點(diǎn)D?,O,B共線，且OB=20D?.而AC與BD?交于BD?的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)A?,O,C不共線，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B,以正方體的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的正四面體，例如四面體B?-D?AC的體積為選項(xiàng)C,設(shè)直線DP與直線BB?相交于點(diǎn)N,直線BC?在平面BB?C?C內(nèi)，且不過(guò)點(diǎn)N,所以由線線位置關(guān)系知，直線DP與BC?是異面直線，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D,如圖，將平面A?AD?和平面BAD?展開(kāi)到一個(gè)平面上，連接AB交AD?于點(diǎn)8.C【解析】△ABC中，因?yàn)閍=2,sin(A+C)=sinA+2sinAcosC.則sinAcosC+cosAsinC=sinA+2sinAcosC,那么cosAsinC-sinAcosC=sinA,即sin(C-A)=sinA,因?yàn)榻茿,C為銳角，所以C=2A,9.CD【解析】A選項(xiàng)，二=1+1是方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的根，則(1+i)2+a(1+i)+b=0,高一數(shù)學(xué)第3頁(yè)即a+b+(a+2)i=0,那么B選項(xiàng)，由A知x2-2x+2=0,(x-1)2=-1,所以x=1±i,二2=1-i,故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，二=2=(1+i)(1-i)=2,故C正確；D選項(xiàng)，所以,故D正確.故選：CD.故A錯(cuò)誤；同理sinB>coSC,所以(sinA-cosB,cosC-sin對(duì)于A,設(shè)△ABC的外接圓圓心為O',半徑為，,由正弦定理得因?yàn)榍蛐腛到平面ABC的距離等于球O半徑的,所以R2=4,R=2,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為ri,則圓柱的側(cè)面積為對(duì)于C,因?yàn)榍騼?nèi)切于正三棱柱，那么三棱柱的高為4,底面正三角形的內(nèi)切圓半徑為2,故底面邊長(zhǎng)為4√3,那么正三棱柱的體積為48√3,故C正確；對(duì)于D,設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為α,則正四面體的棱切球即為棱長(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球，即連接D?E,D?F分別與AA,CC?交于點(diǎn)P,Q,連接PM,QN,…11分17.【解析】(1)因?yàn)?acosB=c(3-b),兩邊同時(shí)乘以C得：3accosB=c2(3-b),……………1分(2)由題意可知那么2AD=3AC-AB…………9分高一數(shù)學(xué)第6頁(yè)18.【解析】(1)設(shè)底面圓心為0,半徑為r,,所!由正弦定理可知,…………2分又圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，所以2πr?=π·PA,所以PA=4√3,所以圓錐的高h(yuǎn)=6……4分(2)