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PAGEPAGE1課下層級訓(xùn)練(五十三)排列與組合[A級基礎(chǔ)強化訓(xùn)練]1.用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為()A.24 B.48C.60 D.72【答案】D[第一步,先排個位,有Ceq\o\al(1,3)種選擇;其次步,排前4位,有Aeq\o\al(4,4)種選擇.由分步乘法計數(shù)原理,知有Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)=72(個).]2.從10名高校畢業(yè)生中選3個人擔(dān)當(dāng)村長助理,則甲、乙至少有1人入選,而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()A.85 B.56C.49 D.28【答案】C[分兩類:甲、乙中只有1人入選且丙沒有入選;甲、乙均入選且丙沒有入選,計算可得所求選法種數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,7)+Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,7)=49.]3.(2024·山東淄博檢測)從A,B,C,D,E5名學(xué)生中選出4名分別參與數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、外語競賽,其中A不參與物理、化學(xué)競賽,則不同的參賽方案種數(shù)為()A.24 B.48C.72 D.120【答案】C[A參與時參賽方案有Ceq\o\al(3,4)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)=48(種);A不參與時參賽方案有Aeq\o\al(4,4)=24(種),所以不同的參賽方案共72種.]4.(2024·山東日照檢測)大數(shù)據(jù)時代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù),二胎政策的放開使得家庭中有兩個小孩的現(xiàn)象普遍存在,某城市關(guān)系要好的A,B,C,D四個家庭各有兩個小孩共8人,打算運用滴滴打車軟件,分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩,每車限坐4名(乘同一輛車的4名小孩不考慮位置),其中A戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名小孩恰有2名來自于同一個家庭的乘坐方式共有()A.18種 B.24種C.36種 D.48種【答案】B[當(dāng)A戶家庭的孿生姐妹乘坐甲車或乙車時,則另兩個小孩,是另外兩個家庭的一個小孩,有2×Ceq\o\al(2,3)×22=24種方法.]5.(2024·全國卷Ⅱ)支配3名志愿者完成4項工作,每人至少完成1項,每項工作由1人完成,則不同的支配方式共有()A.12種 B.18種C.24種 D.36種【答案】D[由題意可得其中1人必需完成2項工作,其他2人各完成1項工作,可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)=36(種),或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)=3×eq\f(4×3,2)×2=36(種).]6.如圖,用五種不同顏色給A、B、C、D涂色,每個區(qū)域涂一種顏色,相鄰區(qū)域涂色不同,共有____________種涂法.ABCD【答案】260[共有5×4×1×4+5×4×3×3=260種.]7.若Ceq\o\al(m-1,8)>3Ceq\o\al(m,8),則m=____________.【答案】7或8[原不等式可化為eq\f(8!,m-1!9-m!)>eq\f(3×8!,m!8-m!),解得m>eq\f(27,4).∵0≤m-1≤8,且0≤m≤8,∴1≤m≤8.又m是整數(shù),∴m=7或m=8.]8.(2024·全國卷Ⅰ)從2位女生,4位男生中選3人參與科技競賽,且至少有1位女生入選,則不同的選法共有____________種.(用數(shù)字填寫答案)【答案】16[方法一按參與的女生人數(shù)可分兩類:只有1位女生參與有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)種,有2位女生參與有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)種.故共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)+Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)=2×6+4=16(種).方法二間接法.從2位女生,4位男生中選3人,共有Ceq\o\al(3,6)種狀況,沒有女生參與的狀況有Ceq\o\al(3,4)種,故共有Ceq\o\al(3,6)-Ceq\o\al(3,4)=20-4=16(種).]9.(2024·河北衡水模擬)把20個不加區(qū)分的小球放入1號,2號,3號的三個盒子中,要求每個盒內(nèi)的球數(shù)不小于它的編號數(shù),則不同的放法種數(shù)為____________.【答案】120[先在編號為2,3的盒內(nèi)分別放入1個,2個球,還剩17個小球,三個盒內(nèi)每個至少再放入1個,將17個球排成一排,有16個空隙,插入2塊擋板分為三堆放入三個盒中即可,共有Ceq\o\al(2,16)=120種方法.]10.(2024·浙江卷)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字,從0,2,4,6中任取2個數(shù)字,一共可以組成____________個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答)【答案】1260[不選0時,有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)=720(個).選0時,0不能排在首位,有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)=540(個).由分類加法計數(shù)原理,共有720+540=1260(個)四位數(shù).][B級實力提升訓(xùn)練]11.(2024·山東濰坊檢測)從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出,假如甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi),那么不同的放法種數(shù)為()A.Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(4,8) B.Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(5,9)C.Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9) D.Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,8)【答案】C[先排第1號瓶,從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有Ceq\o\al(1,8)種方法,再排剩余的瓶子,有Aeq\o\al(5,9)種方法,故不同的放法共Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)種.]12.(2024·山東淄博檢測)第一屆“一帶一路”國際合作高峰論壇于2024年5月14日至15日在北京實行,為了愛護各國元首的平安,將5個安保小組全部支配到指定三個區(qū)域內(nèi)工作,且這三個區(qū)域每個區(qū)域至少有一個安保小組,則這樣的支配方法共有()A.96種 B.100種C.124種 D.150種【答案】D[因為三個區(qū)域每個區(qū)域至少有一個安保小組,所以可以把5個安保小組分成三組,有兩種分組的狀況:一種是1,1,3,另一種是1,2,2.當(dāng)依據(jù)1,1,3來分時,共有N1=eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)=60(種),當(dāng)依據(jù)1,2,2來分時,共有N2=eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)=90(種),依據(jù)分類加法計數(shù)原理知N=N1+N2=150種.]13.某班組織文藝晚會,打算從A,B等8個節(jié)目中選出4個節(jié)目演出,要求A,B兩個節(jié)目至少有一個選中,且A,B同時選中時,它們的演出依次不能相鄰,那么不同演出依次的種數(shù)為()A.1860 B.1320C.1140 D.1020【答案】C[當(dāng)A,B節(jié)目中只選一個時,共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(4,4)=960種演出依次;當(dāng)A,B節(jié)目都被選中時,由插空法得共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)=180種演出依次.所以一共有1140種演出依次.]14.(2024·山東臨沂檢測)有編號為1,2,3,4,5,6的六輛貨車排隊動身,要求1號車必需在3號車前動身,共有____________種動身依次.【答案】360[編號為1,2,3,4,5,6的六輛貨車排隊動身,共有Aeq\o\al(6,6)動身依次,要求1號車必需在3號車前動身,所以有eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(2,2))=6×5×4×3=360(種)動身依次.]15.(2024·天津卷)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù),這樣的四位數(shù)一共有____________個.(用數(shù)字作答)【答案】1080[①當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中有一個偶數(shù)時,四位數(shù)的個數(shù)為Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)=960.②當(dāng)組成四位數(shù)的數(shù)字中不含偶數(shù)時,四位數(shù)的個數(shù)為Aeq\o\al(4,5)=120.故符合題意的四位數(shù)一共有960+120=1080(個).]16.(2024·浙江卷)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊長1人,副隊長1人,一般隊員2人組成4人服務(wù)隊,要求服務(wù)隊中至少有1名女生,共有____________種不同的選法.(用數(shù)字作答).【答案】660[方法一只有1名女生時,先選1名女生,有Ceq\o\al(1,2)種方法;再選3名男生,有Ceq\o\al(3,6)種方法;然后排隊長、副隊長位置,有Aeq\o\al(2,4)種方法.由分步乘法計數(shù)原理,知共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,4)=480(種)選法.有2名女生時,再選2名男生,有Ceq\o\al(2,6)種方法;然后排隊長、副隊長位置,有Aeq\o\al(2,4)種方法.由分步乘法計數(shù)原理,知共有Ceq\o\al(2,6)Aeq\o\al(2,4)=180(
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