2.5 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 課件-2025屆高三數(shù)學(xué)三輪專項復(fù)習(xí)

2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)考點指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.指數(shù)冪的運算(1)根式n次方根概念如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,n∈N*性質(zhì)當n是奇數(shù)時,a的n次方根為x=

當n是偶數(shù)時,正數(shù)a的n次方根為x=±

,負數(shù)沒有偶次方根0的任何次方根都是0,記作

=0根式概念式子

叫做根式,其中n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù)性質(zhì)當n為奇數(shù)時,

=a當n為偶數(shù)時,

=|a|=

(2)分數(shù)指數(shù)冪及指數(shù)冪的運算性質(zhì)分數(shù)指數(shù)冪正分數(shù)指數(shù)冪:

=

a>0,m,n∈N*,n>1負分數(shù)指數(shù)冪:

=

=

0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分

數(shù)指數(shù)冪沒有意義指數(shù)冪的運算性質(zhì)ar·as=ar+sa>0,b>0,r,s∈R(ar)s=ars(ab)r=arbr2.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(1)指數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中指數(shù)x是自變量,定義域是R.提醒

形如y=kax,y=ax+k(k∈R且k≠0,a>0且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)型函數(shù),不是指數(shù)函數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>10<a<1圖象

定義域R值域(0,+∞)性質(zhì)過定點(0,1),即當x=0時,y=1當x>0時,y>1;當x<0時,0<y<1當x<0時,y>1;當x>0時,0<y<1在(-∞,+∞)上是增函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)提示

1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)的圖象恒過點(0,1),(1,a),

,依據(jù)這三點的坐標可得到指數(shù)函數(shù)的大致圖象.2.函數(shù)y=ax與y=

(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于y軸對稱.3.在直線x=1的右側(cè),指數(shù)函數(shù)的圖象越高,其底數(shù)的值越大.如圖所示,其中0<d<c<1<b<

a.

即練即清1.判斷正誤.(對的打“√”,錯的打“?”)(1)

=(

)n=a.

(

)(2)若函數(shù)f(x)是指數(shù)函數(shù),且f(1)>1,則f(x)是增函數(shù).

(

)(3)指數(shù)函數(shù)的圖象一定在x軸上方.

(

)2.若函數(shù)f(x)=(a2-1)·ax為指數(shù)函數(shù),則a=

.3.若函數(shù)f(x)=ax在[-1,1]上的最大值為2,則a=

.4.若a>0且a≠1,則函數(shù)f(x)=ax+1-1的圖象恒過點的坐標為

.×√√2或(-1,0)題型一指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用典例1已知指數(shù)函數(shù)y=

的圖象如圖所示,則一次函數(shù)y=ax+b的圖象可能是

(

)

C解析

由指數(shù)函數(shù)的圖象可知0<

<1,排除選項B,若a,b均為正數(shù),則a>b>0,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得此時函數(shù)y=ax+b的圖象過第一、二、三象限,即C符合題意,D不符合題意;若a,b均

為負數(shù),則a<b<0,此時函數(shù)y=ax+b的圖象過第二、三、四象限,選項A不符合題意.故選

C.變式訓(xùn)練1-1

(條件結(jié)論變式)函數(shù)f(x)=|2x-1|的圖象與直線y=m有兩個不同的交點,則m

的取值范圍為

.(0,1)解析

作出f(x)的圖象與直線y=m,如圖所示.由圖可知,若直線y=m與f(x)的圖象有兩個不同的

交點,則m∈(0,1).

歸納總結(jié)

對于指數(shù)(型)函數(shù)的問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平

移、伸縮、對稱變換得到所求函數(shù)的圖象.特別地,當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)

注意分類討論.題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用角度1比較指數(shù)式的大小

典例2比較下列兩組數(shù)的大小:(1)(-2.5

和(-2.5

;(2)0.4-2.5,2-0.2,2.51.6.解析

(1)(-2.5

=2.

,(-2.5

=

,∵y=2.5x在R上為增函數(shù),且

>

,∴2.

>2.

,即(-2.5

>(-2.5

.(2)∵0.4-2.5=2.52.5,y=2.5x在R上為增函數(shù),且2.5>1.6>0,∴2.52.5>2.51.6>1,又2-0.2<20=1,∴0.4-2.5>2.51.6>2-0.2.變式訓(xùn)練2-1

(結(jié)論拓展變式)(2023天津,3,5分)設(shè)a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,則a,b,c的大

小關(guān)系為

(

)A.a<b<c

B.b<a<cC.c<b<a

D.c<a<bD解析

∵f(x)=1.01x單調(diào)遞增,∴f(0.5)<f(0.6),即a<b.∵g(x)=x0.5單調(diào)遞增,∴g(1.01)>g(0.6),即a>c,∴b>a>c,故選D.角度2解簡單的指數(shù)方程或不等式1.解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)(1)af(x)=ag(x)(a>0且a≠1)?f(x)=g(x).(2)af(x)>ag(x),當a>1時,等價于f(x)>g(x);當0<a<1時,等價于f(x)<g(x).2.解指數(shù)不等式的方法先利用冪的運算性質(zhì)化為同底數(shù)冪,再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.典例3若不等式

<

恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是

(

)A.(-1,0)

B.

C.

D.

B解析

不等式

<

恒成立,即

<

恒成立,由指數(shù)函數(shù)y=

的單調(diào)性得x2-2ax>-(3x+a2)恒成立,即x2+(3-2a)x+a2>0恒成立,所以Δ=(3-2a)2-4a2<0,解得a>

,所以實數(shù)a的取值范圍是

,故選B.變式訓(xùn)練2-2

(關(guān)鍵元素變式)不等式10x-6x-3x≥1的解集為

.

[1,+∞)解析

將10x-6x-3x≥1兩邊同除以10x,可得

+

+

≤1.(將不等式一側(cè)變形為多個單調(diào)性相同的函數(shù)之和,得到函數(shù)單調(diào)性是解題的關(guān)鍵)令f(x)=

+

+

,則f(x)在R上單調(diào)遞減,且f(1)=1,故不等式10x-6x-3x≥1的解集為[1,+∞).角度3指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題形如函數(shù)y=af(x)(a>0且a≠1)的單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間有關(guān):(1)若a>1,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間;(2)若0<a<1,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增(減)區(qū)間即函數(shù)y=af(x)的單調(diào)遞減(增)區(qū)間.2.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性問題(1)利用函數(shù)奇偶性的定義解決相關(guān)問題.(2)記住幾種常見的具有奇偶性的特殊函數(shù):①f(x)=ax+a-x是偶函數(shù),②f(x)=ax-a-x是奇函數(shù),③f(x)=

是奇函數(shù).其中a>0且a≠1.典例4

(2025屆吉林長春東北師大附中開學(xué)考,18)已知函數(shù)f(x)=

(a∈R).(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),求a的值;(2)當a=3時,用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:函數(shù)f(x)=

在R上單調(diào)遞增;(3)若函數(shù)y=f(x)-2x有兩個不同的零點,求a的取值范圍.解析

(1)函數(shù)的定義域為R.由f(0)=0,得a=1,此時f(x)=

.因為f(-x)=

=

=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),故a=1.(2)證明:當a=3時,f(x)=

=3-

.

把解析式化成f(x)=3-

有利于單調(diào)性的判定

任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=

-

=

,因為x1<x2,所以

<

,又

+1>0,

+1>0,所以

<0,即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)=

在R上單調(diào)遞增.(3)y=f(x)-2x有兩個不同的零點等價于(2x)2+(1-a)2x+1=0有兩個不同的實數(shù)解.令t=2x(t>0),則t2+(1-a)t+1=0在(0,+∞)上有兩個不同的實數(shù)解,所以

解得a>3.所以a的取值范圍為(3,+∞).變式訓(xùn)練2-3

(逆