專題01 平方根、立方根和實數相關計算與規(guī)律探究題重難點題型專訓（6大題型）（解析版）

專題01平方根、立方根和實數相關規(guī)律探究題重難點題型專訓（6大題型）【題型目錄】題型一利用平方根、立方根解方程題型二平方根相關的計算題型三立方根相關的計算題型四實數的混合運算題型五實數相關的規(guī)律探究題題型六新定義的實數計算【經典例題一利用平方根、立方根解方程】1．（2023上·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)，【分析】此題考查了平方根，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵；（1）方程變形后，利用平方根定義計算即可得出答案；（2）方程變形后，利用平方根定義開平方即可求出解；（2）方程變形后，利用平方根定義開平方即可求出解．【詳解】（1）解得；（2）解得；（3）或解得，．2．（2023上·江蘇常州·八年級常州市第二十四中學校聯考期中）求下列各式中的值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)或．【分析】此題考查了運用平方根解方程的能力．（1）整理后，直接運用平方根的定義進行求解即可；（2）運用平方根的定義進行求解即可．【詳解】（1）解：，整理，得，開平方，得；（2）解：，開平方，得，解得或．3．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯考階段練習）求x值：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)或【分析】本題考查了利用平方根解方程，立方根．熟練掌握利用平方根解方程，立方根是解題的關鍵．（1）根據立方根解方程即可；（2）根據平方根解方程即可．【詳解】（1）解：，，，解得，；（2）解：，，解得，或．4．（2023上·江蘇常州·八年級?？计谥校┣鬂M足下列各式的未知數的值．(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（）先化為，再依據平方根的性質即可得到的值；（）先依據立方根的性質得到，然后解關于的方程即可；本題主要考查的是平方根、立方根的性質，熟練掌握平方根、立方根的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）解：，，，；（2），，，．5．（2023上·四川宜賓·八年級?？茧A段練習）解方程．(1)(2)【答案】(1)或；(2)【分析】（1）先移項，再在方程兩邊同除以2，再開平方，求出解即可；（2）方程變形后，利用立方根定義開立方即可求出解．【詳解】（1）∴或；（2）∴【點睛】本題主要考查了利用立方根及平方根解方程，解題的關鍵是熟記開立方及開平方的定義．6．（2023上·河南南陽·八年級校聯考階段練習）求下列各式中的x．(1)(2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據立方根的定義求解即可；（2）根據平方根的定義求解即可．【詳解】（1）解：，∴，∴；（2）解：，移項得，，∴，∴，∴，．【點睛】本題考查平方根、立方根的定義，解題的關鍵是通過方程的特殊結構選擇解方程的方法求解．7．（2023上·遼寧沈陽·八年級沈陽市第一二六中學?？茧A段練習）解方程(1)(2)；【答案】(1)(2)【分析】（1）先移項，開平方根即可；（2）先移項，然后化為整式，再開立方根即可．【詳解】（1）解：，移項可得：，開平方得：或，解得：；（2）解：，移項得：，同乘3可得：，開立方根得：，解得：．【點睛】本題考查了開平方根、立方根，正確解方程是解題的關鍵．8．（2023上·河南平頂山·八年級?？茧A段練習）解方程：(1)；(2)【答案】(1)(2)，【分析】（1）化成的形式，則，即可求解；（2）化成（），則，即可求解．【詳解】（1）解：，，解得：．（2）解：，，或，，．【點睛】本題考查了利用立方根和平方根的定義解方程，理解定義，掌握解法是解題的關鍵．9．（2023上·全國·八年級專題練習）計算求下列各式中的x(1)；(2)．【答案】(1)，(2)【分析】根據立方根與平方根的定義即可求出答案．【詳解】（1）解：（2）解：【點睛】本題主要考查平方根和立方根的定義，掌握相關知識是解題的關鍵．10．（2023下·河南周口·七年級期中）求下列各式中的的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據等式的性質方程兩邊同時除以，再由平方根的定義問題可解．（2）方程可先去分母，得，再根據立方根定義可求解．【詳解】（1）解：方程兩邊同時除以得，開平方得；（2）解：去分母得，開立方根得，移項得．【點睛】本題考查用平方根，立方根定義法解方程，理解平方根，立方根定義是解題的關鍵．【經典例題二平方根相關的計算】11．（2023上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）已知正數的兩個平方根分別是和，與互為相反數，求的平方根．【答案】【分析】本題考查平方根，算術平方根，相反數的概念，由正數的兩個平方根互為相反數，得，由與互為相反數，得，即可求解．【詳解】正數的兩個平方根分別是和，，，，與互為相反數，，，，的算術平方根是．12．（2023上·遼寧丹東·八年級統(tǒng)考期中）已知實數，滿足，求的平方根．【答案】【分析】首先根據非負數的性質解得，的值，再代入并求值，然后根據平方根的定義求解即可．【詳解】解：由題意，，又∵，，∴，，解得，，∴，∴的平方根，即4的平方根為．【點睛】本題主要考查了絕對值非負性質、算術平方根非負性質、代數式求值以及平方根等知識，利用非負數的性質解得的值是解題關鍵．13．（2023上·河南南陽·八年級?？茧A段練習）已知：，求：的平方根．【答案】【分析】由，可得，解得，，則，，根據的平方根為，計算求解即可．【詳解】解：∵，∴，解得，，∴，，∴的平方根為，∴的平方根為．【點睛】本題考查了算術平方根的非負性，平方根．解題的關鍵在于熟練掌握的平方根為．14．（2021下·湖北武漢·七年級校考階段練習）解答題．(1)一個正數a的平方根是與，則a是多少？(2)已知a、b滿足，求的平方根【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正數的兩個平方根互為相反數，列出方程求出的值，進而求出a的值；（2）根據非負性，求出的值，再進行計算即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：，∴；（2）∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查平方根的性質，熟練掌握平方根的性質，以及絕對值和算術平方根的非負性，是解題的關鍵．15．（2022上·黑龍江綏化·七年級?？计谥校┮阎?，．(1)當時，求和的值(2)當，求的值．【答案】(1)的值為1或，的值為(2)或【分析】（1）先由已知可得出，，因為，所以、同號，所以可得出、的值即可得出答案；（2）根據絕對值化簡可知，，即可確定、的值，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∵，．，，，或，，，或，，或當時，的值為1或，的值為．（2）解：，，又∵，，，當，時，，當，時，，當時，的值為或．【點睛】本題主要考查了代數式求值及絕對值的化簡，求平方根，熟練掌握相關知識進行求解是解決本題的關鍵．16．（2023下·福建福州·七年級?？计谥校┮阎粋€正數的平方根是和．(1)求出的值；(2)求這個正數；(3)求的平方根．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據平方根的特征得出，進行計算即可得到答案；（2）先求出的值，再平方即可得到答案；（3）先計算出的值，再求出的平方根即可．【詳解】（1）解：∵一個正數的平方根是和，∴，∴；（2）解：，這個正數為；（3）解：，，∴的平方根是．【點睛】本題考查了一元一次方程的應用、平方根、算術平方根，注意：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數．17．（2023下·河南開封·七年級統(tǒng)考期末）已知實數x，y滿足．(1)求x，y的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據非負數的性質列式，即可求出x、y的值，（2）根據（1）求得的x、y的值，代入代數式進行計算即可得解．【詳解】（1）由題意得：，，解得：，（2）由（1）得：，，∴，∴的平方根【點睛】本題主要考查了非負數的性質，即算術平方根和絕對值的性質．解題的關鍵是根據非負數的性質求得x，y的值．18．（2023上·全國·八年級專題練習）已知一個正數m的兩個不相等的平方根是與．(1)求這個正數m；(2)求關于x的方程的解．【答案】(1)49(2)【分析】（1）由一個正數的兩個平方根互為相反數求值，即可求解；（2）將代入即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，解得，；（2）當時，，，．【點睛】本題考查平方根的意義及求平方根，關鍵是要掌握一個正數有兩個平方根，互為相反數．19．（2023下·四川廣安·七年級?？计谥校┮阎钠椒礁?，的平方根是，求的平方根．【答案】．【分析】利用平方根求出和的值，確定出的值，即可確定出平方根．【詳解】解：∵的平方根是，的平方根是，∴，，解得：，，∴，∴的平方根為．【點睛】此題考查了平方根，熟練掌握平方根的定義是解本題的關鍵．20．（2023下·福建福州·七年級校聯考期中）（1）已知與互為相反數．①求的平方根；②解關于x的方程．（2）已知正實數y的平方根是m和．①當時，求m.②若，求y的值．③在②條件下，k是的小數部分，求的值．（備注：一個數的小數部分是指這個數減去不超過該數的最大整數）【答案】（1）①；②；（2）①；②；③9．【分析】（1）互為相反數的兩個數的和為0，從而可求得，的值，再代入①②進行運算即可；（2）正實數的平方根互為相反數，則有，得到，再代入①②進行求值即可；③先求出k的值，再代入求值即可．【詳解】解：（1）與互為相反數，，則，，解得：，，①當，時，，16的平方根為：；②，，解得：；（2）正實數的平方根是和，，得：，①當時，，解得：；②，，，，則，解得：，是正實數，．③當時，，∴∴【點睛】本題主要考查非負數性質：絕對值，平方根，解答的關鍵是掌握平方根的性質和定義．【經典例題三立方根相關的計算】21．（2023上·河南駐馬店·八年級?？茧A段練習）如果一個正數m的兩個平方根分別是和，n是的立方根．(1)求m和n的值；(2)求的算術平方根【答案】(1)，(2)2【分析】本題考查平方根，立方根和算術平方根．（1）根據正數的兩個平方根互為相反數，得到關于的方程，求出的值，進而求出的值，根據立方根的定義，求出的值；（2）將m和n的值代入代數式，求出算術平方根即可．掌握平方根，立方根和算術平方根的定義，是解題的關鍵．【詳解】（1）解：由題意，得：，，∴，∴；（2）∵，，∴．22．（2023上·福建泉州·八年級校聯考階段練習）已知：和是的兩個不同的平方根，是的立方根．(1)求，，的值；(2)求的平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據一個數的兩個不同的平方根互為相反數得到，求出，得到，再結合立方根定義求出的值；（2）根據平方根定義求出答案．【詳解】（1）解：和是的兩個不同的平方根，，解得：，所以，；又是的立方根，，，即，，；（2）由（1）知：，所以，，所以，，即：的平方根為．【點睛】此題考查了求一個數的平方根，平方根的性質，求一個數的立方根，正確理解平方根的性質是解題的關鍵．23．（2023下·吉林松原·七年級?？茧A段練習）一個正數的兩個平方根是和，則這個正數的立方根是多少？【答案】【分析】分析題目根據正數的兩個平方根互為相反數可得；接下來解方程可得x的值，從而可求出這個正數；然后根據立方根的定義可得答案．【詳解】解：由題意得：，，，，∴，∴9的立方根是．【點睛】本題考查平方根和立方根，知道正數的兩個平方根互為相反數是解題的關鍵．24．（2023上·湖南衡陽·八年級?？茧A段練習）已知：的立方根是3，的算術平方根是2，c的平方根是它本身．(1)求a，b，c的值；(2)求的算術平方根．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）根據立方根，算術平方根，平方根的定義得出，，，即可求解；（2）把a、b、c的值代入計算，再求其算術平方根即可．【詳解】（1）解：∵的立方根是3，∴，∴，∵的算術平方根是2，∴，∴，∵c的平方根是它本身，∴，∴，，；（2）解：當，，時，，∴的算術平方根為9．【點睛】本題主要考查了立方根，算術平方根，平方根的定義，解題的關鍵是熟練掌握相關知識點并熟練運用．25．（2023上·山東青島·八年級?？茧A段練習）根據已知條件求值：(1)已知實數、、在數軸上的位置如圖所示，試化簡：．(2)已知，、互為倒數，、互為相反數，求的值．(3)若9的平方根是，的絕對值是4，求的值？(4)已知的平方根為，的算術平方根為4，求的平方根．(5)若、、滿足，求代數式的值．【答案】(1)(2)0(3)的值為或1或或7(4)(5)【分析】（1）根據實數、、在數軸上的位置得出，，，，然后進行化簡即可；（2）根據倒數，相反數的定義得出，，然后代入求值即可；（3）根據平方根定義和絕對值意義求出a、b的值，然后代入求值即可；（4）的平方根為，的算術平方根為4求出a、b的值，然后代入求值即可；（5）根據非負數的性質求出、、的值，然后再代入求值即可．【詳解】（1）解：根據實數、、在數軸上的位置可知，，，，，∴；（2）解：∵、互為倒數，、互為相反數，∴，，∴；（3）解：∵9的平方根是，的絕對值是4，∴，，當，時，；當，時，；當，時，；當，時，；綜上分析可知，的值為或1或或7．（4）解：∵的平方根為，的算術平方根為4，∴，，解得：，，∴，∴的平方根為；（5）解：∵，∴，，，解得：，，，∴．【點睛】本題主要考查了平方根、立方根、算術平方根定義，非負數的性質，絕對值的意義，解題的關鍵是理解相關的定義和性質，準確計算．26．（2023下·湖北鄂州·七年級校考階段練習）回答下列問題：(1)若一個數的平方根是和，求的值，并求出該數；(2)已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．【答案】(1)，這個數是196(2)【分析】（1）根據一個數的兩個平方根互為相反數，列方程即可求解；（2）首先根據的平方根是，即可求得x的值，再根據的立方根是，即可求得y的值，據此即可求解．【詳解】（1）解：根據題意，得，解得，，．即的值是，這個數是；（2）解：的平方根是，的立方根是，，，，，，的平方根為，的平方根是．【點睛】本題考查了平方根與立方根的定義，兩個平方根之間的關系，熟練掌握和運用平方根與立方根的定義是解決本題的關鍵．27．（2022下·福建廈門·七年級統(tǒng)考期末）數學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上的乘客閱讀的雜志上有道智力題：求59319的立方根，華羅庚脫口而出“39”，鄰座的乘客十分驚奇，忙問其中的奧妙．你知道怎樣迅速地求出計算結果嗎？請你按下面的步驟試一試．第一步：∵，，且1000＜59319＜1000000∴，即59319的立方根是一個兩位數．第二步：∵59319的個位數字是9，而．∴能確定的個位數字是9．第三步：如果劃除59319后面的三位數，得到數59，而27＜59＜64．∴，可得．∴59319的立方根的十位數字是3．∴59319的立方根是39．根據上面的材料解答下面的問題：(1)填空：1728的立方根是一個______位數，其個位數字是______；(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并驗證a是157464的立方根．【答案】(1)兩；2(2)a=54【分析】（1）根據上面的材料所給的方法確定1728的立方根的位數及個位數字即可.（2）仿照上面材料所給的方法先確定a的位數，再確定個位數字，再確定十位數字即可求出a的值.【詳解】（1）解：∵，，且1000＜1728＜1000000∴，即1728的立方根是一個兩位數．∵1728的個位數字是8，而，∴能確定的個位數字是2.故答案為：兩，2（2）解：∵，，且1000＜157464＜1000000∴，即157464的立方根是一個兩位數．∵157464的個位數字是4，而，∴能確定的個位數字是4.如果劃除157464后面的三位數，得到數157，而125＜157＜216．∴，可得．∴157464的立方根的十位數字是5．∴157464的立方根是54．即a=54經過驗證【點睛】本題主要考查了學生的閱讀理解能力，能夠讀懂材料并能熟練計算1-10的立方是解題的關鍵.28．（2023上·浙江溫州·七年級校考期中）如圖，是一塊體積為立方厘米的立方體鐵塊．(1)求出這個鐵塊的棱長．(2)現在工廠要將這個鐵塊融化，重新鍛造成兩個棱長為厘米的小立方體鐵塊和一個底面為正方形的長方體鐵塊，若長方體鐵塊的高為厘米，求長方形鐵塊底面正方形的邊長．【答案】(1)厘米；(2)厘米．【分析】（）根據正方體的體積公式和立方根的定義進行解答；（）根據題意列出式子再進行計算即可；本題考查立方根、算術平方根，孰練掌握相關的知識點是解題的關鍵．【詳解】（1）根據題意可得：鐵塊的棱長為（厘米），答：這個鐵塊的棱長為厘米；（2）由題可知，設長方體鐵塊底面正方形的邊長為厘米，∴，，解得：，答：長方體鐵塊底面正方形的邊長為厘米．29．（2023下·廣東惠州·七年級?？茧A段練習）閱讀下列材料，并完成問題解答：（一）小明閱讀7年級數學第二學期課本44-46頁關于平方根的定義：如果，那么x叫做a的平方根，記作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，請你根據以上定義解答下列問題：(1)解方程：(2)選擇題：式子中的a的取值可以是（

）A．1

B．

C．

D．（二）仿照以上平方根的定義，我們發(fā)現：如果，那么x叫做a的立方根．記作，其中a可以是任意實數，例如：，那么，即，請你根據以上信息解答下列問題：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，記作，其中，例如：如果．那么，即，請你根據以上信息解答下列問題：(4)填空題：若，則x的值是________．【答案】(1)(2)D(3)(4)或【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）根據被開方數大于等于零，得出，即進行判斷即可；（3）根據立方根的定義解方程即可；（4）根據得出，即，解關于x的方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴．（2）解：要使式子有意義，則，∴，∵，∴a的取值可以是，故D正確．故選：D．（3）解：∵，∴，即，解得：．（4）解：∵，∴，即，解得：，．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了平方根和立方根的應用，解題的關鍵是熟練掌握平方根和立方根的定義，準確計算．30．（2023下·廣西南寧·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解，觀察下列式子：①；②；③；④；……根據上述等式反映的規(guī)律，回答如下問題：(1)【觀察與發(fā)現】：根據以上式子反映的規(guī)律，請再寫出一個類似的等式：．(2)【分析與歸納】：根據等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，可歸納為一個這樣的真命題：對于任意兩個有理數，若，則；反之也成立．(3)【拓展與應用】：根據上述歸納的真命題，解答下列問題：若與的值互為相反數，且，求的值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)（或互為相反數）(3)9【分析】（1）根據以上式子反映的規(guī)律寫出符合題意的一個式子即可；（2）觀察規(guī)律若，則；（3）按照規(guī)律計算出和的值，再計算的值即可．【詳解】（1）解：，故答案為：（答案不唯一）；（2）解：根據等式①，②，③，④所反映的規(guī)律，若，則，故答案為：（或a，b互為相反數）；（3）解：與的值互為相反數，，，，，，．【點睛】本題主要考查了立方根性質的應用，觀察并總結規(guī)律是解題的關鍵．【經典例題四實數的混合運算】31．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)(2)4(3)(4)(5)【分析】本題主要考查了有理數混合運算、實數混合運算；解題的關鍵是熟練掌握運算法則，準確計算．（1）根據有理數加減混合運算法則進行計算即可；（2）根據有理數加減混合運算法則進行計算即可；（3）根據有理數四則混合運算法則進行計算即可；（4）根據有理數四則混合運算法則進行計算即可；（5）根據立方根定義，絕對值意義，乘方運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：．32．（2023上·浙江寧波·七年級寧波市第七中學?？计谥校┯嬎悖?1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】本題主要考查了有理數的混合計算，實數的混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．（1）根據有理數加法計算法則求解即可；（2）根據有理數乘法分配律求解即可；（3）先計算乘方，再計算乘除法即可；（4）先計算算術平方根，再計算乘方和絕對值，接著計算乘法，最后計算加減法即可；（5）先計算算術平方根和絕對值，再計算加減法即可；（6）先計算乘方和絕對值，再計算乘除法，最后計算加減法即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式；（5）解；原式；（6）解；原式．33．（2023下·七年級課時練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】略34．（2023上·浙江杭州·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)16(2)(3)(4)【分析】（1）從左向右依次計算，求出算式的值即可；（2）首先計算乘方，然后計算除法、乘法，最后計算減法，求出算式的值即可；（3）根據乘法分配律，求出算式的值即可；（4）首先計算開平方、開立方和絕對值，然后從左向右依次計算，求出算式的值即可．【詳解】（1）．（2）（3）（4）【點睛】此題考查了實數的運算，解答此題的關鍵是要明確：在進行實數運算時，和有理數運算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運算要按照從左到右的順序進行．另外，有理數的運算律在實數范圍內仍然適用．35．（2023上·浙江湖州·七年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)2(2)(3)(4)【分析】此題主要考查了實數的運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．（1）直接利用有理數的加減運算法則計算得出答案；（2）直接利用有理數的混合運算法則計算得出答案；（3）直接利用乘法分配律計算得出答案；（4）直接利用有理數的混合運算法則和實數運算法則計算得出答案．【詳解】（1）解：原式；（2）原式；（3）原式（4）原式36．（2023上·浙江紹興·七年級新昌縣七星中學?？计谥校┯嬎悖?1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)31(4)【分析】本題考查實數的混合運算，解答關鍵是熟練掌握相關運算法則和運算順序：（1）根據有理數的加減混合運算法則求解即可；（2）利用乘法分配律展開求解即可；（3）根據先乘方，再乘除，最后加減的運算順序求解即可；（4）先立方根、算術平方根、絕對值運算，再加減運算即可求解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．37．（2023上·四川達州·八年級校聯考期中）計算或者解方程(1)(2)．(3)；(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題主要考查實數的混合運算以及解方程，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．（1）依次算出立方根，分母有理化，負指數冪，絕對值的計算即可得到答案；（2）根據平方根，負指數冪，絕對值的計算即可得到答案；（3）直接開平方即可得到答案；（4）直接開立方即可得到答案；【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：解得；（4）解：解得．38．（2023上·浙江溫州·七年級?？计谥校┯嬎悖?1)(2)(3)(4)（，結果精確到0.01）【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了實數的混合運算，（1）先化簡符號，再作加減法；（2）先計算乘法，再作加減法；（3）利用乘法分配律展開計算，同時計算乘方，最后計算加減法；（4）先算開方，去括號，再合并，將的近似值代入計算，并精確．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．39．（2023上·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）計算．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實數的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關鍵．（1）先算開方，再算乘法，然后算加減；（2）先算絕對值，乘方和開方，除法，再算乘法，后算加減即可．【詳解】（1）（2）40．（2023上·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期中）計算(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)7(5)1．53(6)【分析】此題主要考查了有理數的混合運算和實數的混合運算，要熟練掌握，注意明確有理數混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，同級運算．應按從左到右的順序進行計算，如果有括號要先做括號內的運算；（1）計算絕對值，利用減法的運算法則可計算；（2）根據平方根計算即可；（3）利用乘法的分配律，進行計算即可；（4）利用有理數的混合運算的運算順序和運算法則進行計算；（5）利用乘法的分配律逆運算，進行計算即可；（6）利用實數的混合運算的運算順序和運算法則進行計算；【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【經典例題五新定義的實數計算】41．（2023·河北滄州·?？寄M預測）定義一種新的運算※，對于任意實數和，規(guī)定，例如：．(1)求的值．(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據題中的新定義，代入數據，根據有理數的混合運算進行計算即可求解；（2）根據題意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解．【詳解】（1）解：根據題中的新定義，得原式．（2）已知不等式利用題中的新定義化簡，得，整理，得，解得．【點睛】本題考查了新定義運算，有理數的混合運算，解一元一次不等式，實數的混合運算，熟練掌握是解題的關鍵．42．（2023春·山東德州·七年級?？茧A段練習）閱讀下面文字，然后回答問題．給出定義：一個實數的整數部分是不大于這個數的最大整數，這個實數的小數部分為這個數與它的整數部分的差的絕對值．例如：的整數部分為，小數部分為；的整數部分為，小數部分可用表示；再如，的整數部分為，小數部分為．由此我們得到一個真命題．如果，其中是整數，且，那么，．(1)如果，其中是整數，且，那么______，_______；(2)如果，其中是整數，且，那么______，______；(3)已知，其中是整數，且，求的值；(4)在上述條件下，求的立方根．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）估算出，即可確定，的值；（2）估算出，可得，即可確定，的值；（3）根據題意確定出，的值，代入求值即可；（4）由（1）（2）（3）的結果，直接代入所求式子即可．【詳解】（1）解：，其中a是整數，且，又，，，故答案為：，；（2）解：，其中是整數，且，又，，，故答案為：，；（3）解：，其中是整數，且，，，；（4）解：，的立方根為：．【點睛】此題考查了估算無理數的大小，代數式求值，解題關鍵是確定無理數的整數部分．43．（2023春·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）【閱讀理解】對于正整數n，定義為不大于的最大整數，例如：，，．【問題解答】(1)直接寫出的值為______；(2)對72進行如下操作：，即對72進行3次操作后可變?yōu)?．類似地：對進行______次操作后可變?yōu)?；(3)先化簡，再求值：，其中．【答案】(1)；(2)三(3)，【分析】（1）先確定的取值范圍，再根據定義求解即可；（2）根據題中的步驟，對依次進行運算，求解即可；（3）根據整式的加減運算進行化簡，再求得的值，代入求解即可．【詳解】（1）解：∵∴根據題中的定義，可得故答案為：（2）解：，對進行三次操作后可變?yōu)?故答案為：三（3）解：，∵∴∴將代入得，原式【點睛】此題考查了無理數的估算，新定義問題，整式的化簡求值，解題的關鍵是理解新定義規(guī)則，掌握無理數的估算方法．44．（2021春·廣東廣州·七年級?？茧A段練習）定義等于不超過實數x的最大整數，定義，例如，．(1)填空（直接寫出結果）：__________，__________，__________．(2)計算：．【答案】(1)1，，(2)【分析】（1）定義等于不超過實數x的最大整數，定義，依此即可求解；（2）根據與求值后，再計算加減法即可求解．【詳解】（1）．故答案為：1，，（2）；故答案為：．【點睛】此題考查新定義，無理數的估算，實數的混合運算，注意的應用．45．（2021春·廣東汕頭·七年級?？计谥校┫矚g探索數學知識的小明遇到一個新的定義：對于三個正整數，若其中任意兩個數乘積的算術平方根都是整數，則稱這三個數為“和諧組合”，其結果中最小的整數稱為“最小算術平方根”，最大的整數稱為“最大算術平方根”，例：1，4，9這三個數，，，，其結果分別為2，3，6，都是整數，所以1，4，9三個數稱為“和諧組合”，其中最小算術平方根是2，最大算術平方根是6．(1)請直接判斷3，12，32是不是“和諧組合”，______．(2)請證明2，18，8這三個數是“和諧組合”，并求出最小算術平方根和最大算術平方根．(3)已知9，，25三個數是“和諧組合”，且最大算術平方根是最小算術平方根的3倍，求的值．【答案】(1)不是(2)4，12(3)81【分析】（1）根據“和諧組合”的定義，進行判斷即可；（2）根據“和諧組合”的定義求解即可；（3）根據題意分3種情況討論，然后根據最大算術平方根是最小算術平方根的3倍，分別列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∵，不是整數，∴3，12，32不是“和諧組合”；故答案為：不是；（2）證明：∵，，∴2，18，8這三個數是“和諧組合”∴最小算術平方根是4，最大算術平方根是12；（3）分三種情況：①當時，得：（舍去）②當時，，得：（舍去）③當時，．得：．綜上所述，a的值為81．【點睛】此題考查了新定義問題，算術平方根等知識，解題的關鍵是理解并掌握新定義的運算法則．46．（2023春·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期中）閱讀下面文字，然后回答問題．給出定義：一個實數的整數部分是不大于這個數的最大整數，這個實數的小數部分為這個數與它的整數部分的差的絕對值．例如：的整數部分為，小數部分為；的整數部分為，小數部分可用表示；再如，的整數部分為，小數部分為．由此我們得到一個真命題．如果，其中是整數，且，那么，．(1)如果，其中是整數，且，那么______，_______；(2)如果，其中是整數，且，那么______，______；(3)已知，其中是整數，且，求的值；(4)在上述條件下，求的立方根．【答案】(1)，(2)，(3)(4)【分析】（1）估算出，即可確定，的值；（2）估算出，可得，即可確定，的值；（3）根據題意確定出，的值，代入求值即可；（4）由（1）（2）（3）的結果，直接代入所求式子即可．【詳解】（1）解：，其中a是整數，且，又，，，故答案為：，；（2），其中是整數，且，又，，，故答案為：，；（3），其中是整數，且，，，；（4），的立方根為：．【點睛】此題考查了估算無理數的大小，代數式求值，解題關鍵是確定無理數的整數部分．47．（2023秋·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料，并完成問題解答：（一）小明閱讀7年級數學第二學期課本44-46頁關于平方根的定義：如果，那么x叫做a的平方根，記作，其中，例如，那么，即是5的平方根，也就是二次方程的解是，請你根據以上定義解答下列問題：(1)解方程：(2)選擇題：式子中的a的取值可以是（

）A．1

B．

C．

D．（二）仿照以上平方根的定義，我們發(fā)現：如果，那么x叫做a的立方根．記作，其中a可以是任意實數，例如：，那么，即，請你根據以上信息解答下列問題：(3)解方程：如果，那么x叫做a的4次方根，記作，其中，例如：如果．那么，即，請你根據以上信息解答下列問題：(4)填空題：若，則x的值是________．【答案】(1)(2)D(3)(4)或【分析】（1）利用平方根解方程即可；（2）根據被開方數大于等于零，得出，即進行判斷即可；（3）根據立方根的定義解方程即可；（4）根據得出，即，解關于x的方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴．（2）解：要使式子有意義，則，∴，∵，∴a的取值可以是，故D正確．故選：D．（3）解：∵，∴，即，解得：．（4）解：∵，∴，即，解得：，．故答案為：或．【點睛】本題主要考查了平方根和立方根的應用，解題的關鍵是熟練掌握平方根和立方根的定義，準確計算．48．（2023春·福建龍巖·七年級統(tǒng)考期中）規(guī)定表示一對數對，給出如下定義：，將與稱為數對的一對“對稱數對”．例如：當，時，，，數對的一對“對稱數對”為與．(1)數對的一對“對稱數對”是______與______；(2)若數對的一對“對稱數”相同，則的值是多少？(3)若數對的一個“對稱數對”是，則的值是多少？【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）利用對稱數對”的規(guī)定解答即可；（2）利用對稱數對”的定義列出關于的等式解答即可；（3）利用對稱數對”的定義列出關于的等式解答即可．【詳解】（1），，數對的一對“對稱數對”是與故答案為：；．（2）數對的一對“對稱數”相同，，．（3）數對的一個“對稱數對”是，，．【點睛】本題主要考查了算術平方根的意義，本題是新定義型，理解新定義的規(guī)定并熟練應用是解題的關鍵．49．（2023春·山東臨沂·七年級統(tǒng)考期中）任意一個無理數介于兩個整數之間，我們定義，若無理數：，（其中為滿足不等式的最大整數，為滿足不等式的最小整數），則稱無理數的“近整區(qū)間”為，如，所以的“近整區(qū)間”為．(1)無理數的“近整區(qū)間”是_________；無理數的“近整區(qū)間”是_________；(2)實數x，y滿足關系式：，求的算術平方根的“近整區(qū)間”．【答案】(1)；；(2)【分析】（1）根據“近整區(qū)間”的定義，確定和介于哪兩個整數之間，即可得到答案；（2）根據算術平方根被開方數大于等于0，求得，，進而得到的算術平方根為，即可求出其“近整區(qū)間”．【詳解】（1）解：，，無理數的“近整區(qū)間”是；，，，無理數的“近整區(qū)間”是，故答案為：；；（2）解：，，，，，的算術平方根為，，，的算術平方根的“近整區(qū)間”是．【點睛】本題考查了無理數的估算，算術平方根，熟練掌握無理數的估算方法，正確理解“近整區(qū)間”的定義是解題關鍵．50．（2023春·湖南長沙·七年級統(tǒng)考期中）給出定義如下：若點滿足，（，），則稱這個點為“show點”．如：，故點是“show點”．(1)點，點，點中，是“show點”的是______；(2)若點是“show點”，求的值；(3)是否存在點，使點是“show點”，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)；(3)的值為0或．【分析】（1）根據“show點”的定義，計算即可判斷；（2）根據“show點”的定義，列出方程，解方程即可求解；（3）根據“show點”的定義，求得m的值，再代入計算即可求解．【詳解】（1）解：點，，，故點不是“show點”；點，，，故點是“show點”；點，，，故點不是“show點”；故答案為：；（2）解：∵點是“show點”，∴，整理得，解得；（3）解：∵點是“show點”，∴，整理得，∴或，當時，；當時，．綜上，的值為0或．【點睛】本題考查了算術平方根應用，理解題意，掌握“show點”的定義是解題的關鍵．【經典例題六實數相關的規(guī)律探究題】51．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級統(tǒng)考期中）根據下表回答下列問題：x18.318.418.518.618.718.818.919x2334.89338.56342.25345.96349.69353.44357.21361(1)在和之間．（填表中相鄰的兩個數）(2)，(3)338.56的平方根是．【答案】(1)18.6,18.8(2)18.7，1.89(3)【分析】（1）結合表格中數據可得，，即可求解；（2）先根據表中數據得出在18.6和18.7之間，再利用四舍五入求解即可，再根據算術平方根的定義求解即可；（3）根據平方根的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，∴在18.7和18.8之間，故答案為：18.7,18.8；（2）解：∵，，∴在18.6和18.7之間，∴，∵，∴，故答案為：18.7，1.89；（3）解：∵,∴338.56的平方根是，故答案為：．【點睛】本題考查平方根和算術平方根的定義，正確利用平方根和算術平方根的定義是解題的關鍵．52．（2021春·安徽合肥·七年級合肥市第四十二中學?？茧A段練習）觀察下列等式：①；②；③．(1)猜想：根據觀察所發(fā)現的規(guī)律，猜想第4個等式為______，第9個等式為______．(2)歸納證明：由以上觀察探究，歸納猜想，用含的式子表示第個等式所反映的規(guī)律為______．【答案】(1)，(2)（n為正整數），見解析【分析】（1）根據前3個等式反映的規(guī)律解答即可；（2）利用（1）的解答可得規(guī)律：，然后利用算術平方根的定義證明即可．【詳解】（1）解：第1個等式為：；第2個等式為；第3個等式為：；所以猜想第4個等式為：；……，第9個等式為：，即；故答案為：，；（2）第個等式所反映的規(guī)律為：；證明：∵n為正整數，；∴（n為正整數）．【點睛】本題考查了算術平方根的運算和規(guī)律問題，正確得出規(guī)律是解題關鍵．53．（2023春·云南昆明·七年級云南師范大學實驗中學?？计谥校┰谖倚？萍脊?jié)活動中愛探究思考的小明，在實驗室利用計算器計算得到下列數據：．．．．．．．．．0.180.5691.85.691856.9180．．．(1)通過觀察可以發(fā)現當被開方數擴大100倍時，它的算術平方根擴大________倍；(2)已知，根據上述規(guī)律直接寫出下列各式的值；________；________；(3)已知，，，則________，________；(4)小明思考如果把算術平方根換成立方根，若，，________，________．【答案】(1)10(2)；(3)；(4)【分析】（1）根據表中的數據找出變化規(guī)律；（2）利用（1）中的規(guī)律進行求解；（3）利用（1）中的規(guī)律進行求解；（4）類比（1）的規(guī)律，求解即可．【詳解】（1）被開方數擴大100倍，它的算術平方根擴大10倍，故答案為：10；（2），，故答案為：；（3），，，，，故答案為：；（4）由（1）的規(guī)律可知：被開方數擴大1000倍，它的立方根擴大10倍，若，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了利用算術平方根的定義進行規(guī)律判斷，通過已知的數據找出小數點移動的規(guī)律是解題的關鍵．54．（2023春·安徽淮南·七年級校聯考階段練習）（1）計算：（2）求中的x的值．（3）到底有多大？下面是小芯探索的近似值的過程，請補充完整：我們知道面積是2的正方形邊長是，且設，畫出如下示意圖．

由面積公式，可得因為x值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到），即．【答案】（1）；（2）或．（3）；；；【分析】（1）先計算算術平方根，絕對值，再合并即可；（2）利用平方根的含義可得或，再解兩個一次方程即可；（3）由，設，由面積公式，可得因為x值很小，所以更小，略去，得方程，再解方程可得答案．【詳解】解：（1）；（2），∴或，解得：或．（3）∵，設，畫出如下示意圖．

由面積公式，可得因為x值很小，所以更小，略去，得方程，解得（保留到），即．【點睛】本題考查的是實數的混合運算，利用平方根的含義解方程，無理數的估算，完全平方公式的應用，掌握以上基礎運算是解本題的關鍵．55．（2023春·福建廈門·七年級校考期中）已知一個三位自然數，若滿足百位數等于十位數字與個位數字的和，則稱這個數為“和數”，若滿足百位數等于十位數和個位數的平方差，則稱這個數為“諧數”．如果一個數既是“和數”又是“諧數”，則稱這個數為“和諧數”．例如，，是“和數”，，是“諧數”，是“和諧數”．(1)最小的和諧數是___________，最大的和諧數是___________．(2)觀察下列各式：，，，，請你用含字母的式子寫出你所觀察到的一般規(guī)律，并證明任意的“諧數”的各個數位上的數字之和一定是偶數．(3)已知（，，且，均為整數），是一個“和數”求的值．【答案】(1)①；②(2)證明見解析；(3)或或【分析】（1）根據“和數”和“諧數”的概念即可解答；（2）設“諧數”的百位數字為(，十位數字為,個位數字為即可解答；（3）先判斷，，再利用“和數”的概念即可解答．【詳解】（1）解：∵這個數是三位數，∴百位上為最小的自然數，∵“和諧數”滿足百位數等于十位數字與個位數字的和，∴十位數字與個位數字為和，∵“和諧數”滿足百位數等于十位數和個位數的平方差，∴十位數字為，個位數字為，∴最小的“和諧數”為，故答案為；∵這個數是三位數，∴百位上為最大的自然數，∵“和諧數”滿足百位數等于十位數字與個位數字的和，∴十位數字與個位數字為和，和，和，和，∵“和諧數”滿足百位數等于十位數和個位數的平方差，∴十位數字為，個位數字為，∴最大的“和諧數”為，故答案為；（2）解：設“諧數”的百位數字為(，十位數字為,個位數字為，∴，∴,∵，是奇偶性相同，∴，必然是一奇一偶，∴必然是偶數，∴任意的“諧數”的各個數位上的數字之和一定是偶數；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴∵為和數，∴，即，∴或或，∴或或．【點睛】本題考查了因式分解的應用，整式的運算，不等式的性質，理解題意、熟練掌握“和數”與“諧數”的概念是解題的關鍵．56．（2023春·湖北咸寧·七年級統(tǒng)考期中）觀察求算術平方根的規(guī)律，并利用這個規(guī)律解決下列問題：，(1)歸納：已知數的小數點的移動與它的算術平方根的小數點移動間有何規(guī)律？(2)①已知，則___