2025屆江西省贛州市一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江西省贛州市2025屆一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解集合，解集合，因為，所以，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則，由，得，化簡得.故選：A.3.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，可得，即，且、，故.故選：C.4.已知數(shù)列的前n項和為，滿足，則=（）A.11 B.31 C.61 D.121【答案】D【解析】令，得，得，由，當(dāng)時，，兩式相減得，，即，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D.5.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，則取出的兩球都是紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球,用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，由題意可知，，，所以，故選：B6.已知函數(shù)，，若恰有3個極值點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以當(dāng)時，，因為恰有3個極值點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍為.故選：C7.已知雙曲線C：左、右頂點(diǎn)分別為，，圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線交C的右支于點(diǎn)P，若的角平分線與y軸平行，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由題知，，雙曲線過第一象限的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，則，所以直線的方程為，設(shè)，則①，因為的角平分線與y軸平行，所以，即，整理得②，聯(lián)立①②解得，代入雙曲線方程得，即.故選：A8.已知，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由換底公式等價變形得：，因為，兩邊取以7為底的對數(shù)可得：，又因為，兩邊取以7為底的對數(shù)可得：，可知，由，可得，由，可得，從而可得，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，所以的展開式中最高次項為次項，即，故A正確；的展開式中，的系數(shù)為，的系數(shù)為，則，故B錯誤；令，得，故C正確；令，得，所以，，故D正確；故選：ACD.10.設(shè)D是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在D上的函數(shù)，若的圖像繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則下列選項中的取值可能為（）A. B.1 C. D.2【答案】BD【解析】由題意可得，問題相當(dāng)于圓上由6個點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點(diǎn)會重合；設(shè)處的點(diǎn)為，∵的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，∴旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)也在的圖象上，同理旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)也在圖象上，以此類推，對應(yīng)的圖象可以為一個圓周上6等分的6個點(diǎn)；對于A，當(dāng)時，與正半軸夾角為，所以，此時，，此時，不滿足函數(shù)定義，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，與正半軸夾角的正切值為，此時每個只對應(yīng)一個，滿足函數(shù)定義，故B正確；對于C，當(dāng)時，與正半軸夾角為，即，此時，，此時，不滿足函數(shù)定義，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，與正半軸夾角為，此時每個只對應(yīng)一個，滿足函數(shù)定義，故D正確；故選：BD．11.已知，為拋物線C：上異于原點(diǎn)O的兩個動點(diǎn)，且，作交直線AB于點(diǎn)N，則（）A.直線恒過定點(diǎn) B.C.存在一個定點(diǎn)Q，使得為定值 D.【答案】BCD【解析】由題意可設(shè)，聯(lián)立拋物線方程可得，則，對于A項，因為，所以，整理得，即直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；對于B項，由弦長公式，當(dāng)時取得等號，故B正確；對于C，設(shè)直線交橫軸D，即當(dāng)時，顯然為直角三角形，則N在以為直徑的圓上，不妨設(shè)的中點(diǎn)為Q，則是定值，當(dāng)時，此時重合，也有是定值，故C正確；對于D項，不妨設(shè)，由上知，則，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則=______．【答案】【解析】因為向量，，則，因為，則，所以，所以．故答案為：13.在三棱錐中，點(diǎn)P在平面的射影為的中點(diǎn)，且，，設(shè)該三棱錐的體積為V，該三棱錐外接球的表面積為S，若，則S的取值范圍為______．【答案】【解析】因為，，故，取的中點(diǎn)D，連接，由題意可知平面，，則，易得，由題意知該三棱錐外接球的球心O在直線上，設(shè)（為負(fù)，則球心在平面的下方），外接球半徑為R，故，易知在上單調(diào)遞增，即則，所以.故答案為：.14.若a，，自然對數(shù)的底數(shù)為e，則的最小值為______．【答案】2【解析】由，設(shè)，求導(dǎo)，，令，解得：，令，解得，令，解得，故區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）已知，當(dāng)角取最大值時，求的面積.解：（1）∵，∴，∴，即，∴，由得，，由正弦定理及余弦定理得，，∴.（2）由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時取最大值，為等邊三角形.由得，.∴的面積為.16.如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，在四邊形中，，．（1）證明：平面平面；（2）若，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件，求二面角的余弦值．條件①：異面直線CD與BE所成角的余弦值為；條件②：直線BF與平面ACEF所成角的正弦值為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的的條件分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分．（1）證明：因為，所以，在中，由余弦定理得，，解得，所以，所以，即，因為四邊形為矩形，所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：若選條件①：連接，設(shè)，因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，因為異面直線CD與BE所成角的余弦值為，所以，解得，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，由，取得，由，取得，所以，所以二面角余弦值為．若選②：連接，設(shè)，因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，所以，因為，，平面，，所以平面，所以直線BF與平面ACEF所成角即為，又平面，所以，所以，解得，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，所以，，設(shè)平面一個法向量為，平面的一個法向量為，由，取得，由，取得，所以，所以二面角的余弦值為．17.已知橢圓E：，其左頂點(diǎn)為P，上頂點(diǎn)為Q，直線PQ交直線于R，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)N在x軸上，過點(diǎn)N作直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，問：是否存在定點(diǎn)N，使得為定值，若存在，求出所有點(diǎn)N的坐標(biāo)并且求出定值；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意可知，，，所以，，整理聯(lián)立有：，又因為，，解得，，所以橢圓方程為.（2）根據(jù)已知條件設(shè)，設(shè)，，當(dāng)直線斜率不為時，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，需，即，由韋達(dá)定理有：，，故因為為定值，所以，整理得，解得，此時；當(dāng)直線斜率為時，不妨設(shè)，，，此時符合題設(shè)，同理可證當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時也符合題設(shè)，又恒成立，所以存在點(diǎn)或使得的值為（定值）.18.已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點(diǎn)，．（1）求的取值范圍：（2）（?。┳C明：對一切的且，都有；（ⅱ）證明：．（1）解：由得.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時，由得，由得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，故.∵，時，，∴在和內(nèi)分別存在一個零點(diǎn)，符合題意，∴m的取值范圍為.（2）證明：（ⅰ）不妨設(shè)，則等價于，即證.令，即證對任意的恒成立.令，則，∴上單調(diào)遞增，故，∴.（ⅱ）由（1）得，在和內(nèi)分別存在一個零點(diǎn)，由得，設(shè)，則，∵等價于，∴，即，由（ⅰ）得，，即，∴.19.十進(jìn)制與二進(jìn)制是常見的數(shù)制，其中十進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為10，進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)十”；二進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”；例如：十進(jìn)制的數(shù)20對應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)為，二進(jìn)制的數(shù)對應(yīng)十進(jìn)制表示的數(shù)為15．用表示非空的整數(shù)集合A的所有元素的和，已知集合，，i=1，2，…，n且．（一個數(shù)，不特別說明，默認(rèn)為十進(jìn)制）.（1）寫出“37”對應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)及“”對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)；（2）若集合，，，，求與的所有可能值組成的集合；（3）若，且對每個正整數(shù)，都存在A的子集S，使得，求的最小值．解：（1），；（2）根據(jù)題意為非空集合，，所以集合為中一種，可能值為，，所以集合為中一種，可能值為，因此與的所有可能值組成的集合分別為；（3）根據(jù)整數(shù)二進(jìn)制表示可知：1到中正整數(shù)可以表示為，可知，對每個正整數(shù)，都存在的子集S，使得，從而對每個正整數(shù)，都存在的子集S，使得，進(jìn)而對每個正整數(shù)，都存在的子集S，使得，即滿足題意，此時，下證：，一方面，因為前10個數(shù)之和不能小于1012，否則設(shè)，則，對于，顯然不存在A的子集S，使得，另一方面，因為，所以根據(jù)整數(shù)二進(jìn)制表示知，其前9個數(shù)之和最大為511，故，綜上：.江西省贛州市2025屆一模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解集合，解集合，因為，所以，故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，且z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，則，由，得，化簡得.故選：A.3.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，又，可得，即，且、，故.故選：C.4.已知數(shù)列的前n項和為，滿足，則=（）A.11 B.31 C.61 D.121【答案】D【解析】令，得，得，由，當(dāng)時，，兩式相減得，，即，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.故選：D.5.甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機(jī)取出兩球，則取出的兩球都是紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球,用事件B表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，由題意可知，，，所以，故選：B6.已知函數(shù)，，若恰有3個極值點(diǎn)，則正數(shù)ω的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以當(dāng)時，，因為恰有3個極值點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍為.故選：C7.已知雙曲線C：左、右頂點(diǎn)分別為，，圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線交C的右支于點(diǎn)P，若的角平分線與y軸平行，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由題知，，雙曲線過第一象限的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，則，所以直線的方程為，設(shè)，則①，因為的角平分線與y軸平行，所以，即，整理得②，聯(lián)立①②解得，代入雙曲線方程得，即.故選：A8.已知，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由換底公式等價變形得：，因為，兩邊取以7為底的對數(shù)可得：，又因為，兩邊取以7為底的對數(shù)可得：，可知，由，可得，由，可得，從而可得，故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】由，所以的展開式中最高次項為次項，即，故A正確；的展開式中，的系數(shù)為，的系數(shù)為，則，故B錯誤；令，得，故C正確；令，得，所以，，故D正確；故選：ACD.10.設(shè)D是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在D上的函數(shù)，若的圖像繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則下列選項中的取值可能為（）A. B.1 C. D.2【答案】BD【解析】由題意可得，問題相當(dāng)于圓上由6個點(diǎn)為一組，每次繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點(diǎn)會重合；設(shè)處的點(diǎn)為，∵的圖象繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，∴旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)也在的圖象上，同理旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)也在圖象上，以此類推，對應(yīng)的圖象可以為一個圓周上6等分的6個點(diǎn)；對于A，當(dāng)時，與正半軸夾角為，所以，此時，，此時，不滿足函數(shù)定義，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，與正半軸夾角的正切值為，此時每個只對應(yīng)一個，滿足函數(shù)定義，故B正確；對于C，當(dāng)時，與正半軸夾角為，即，此時，，此時，不滿足函數(shù)定義，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，與正半軸夾角為，此時每個只對應(yīng)一個，滿足函數(shù)定義，故D正確；故選：BD．11.已知，為拋物線C：上異于原點(diǎn)O的兩個動點(diǎn)，且，作交直線AB于點(diǎn)N，則（）A.直線恒過定點(diǎn) B.C.存在一個定點(diǎn)Q，使得為定值 D.【答案】BCD【解析】由題意可設(shè)，聯(lián)立拋物線方程可得，則，對于A項，因為，所以，整理得，即直線恒過定點(diǎn)，故A錯誤；對于B項，由弦長公式，當(dāng)時取得等號，故B正確；對于C，設(shè)直線交橫軸D，即當(dāng)時，顯然為直角三角形，則N在以為直徑的圓上，不妨設(shè)的中點(diǎn)為Q，則是定值，當(dāng)時，此時重合，也有是定值，故C正確；對于D項，不妨設(shè)，由上知，則，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則=______．【答案】【解析】因為向量，，則，因為，則，所以，所以．故答案為：13.在三棱錐中，點(diǎn)P在平面的射影為的中點(diǎn)，且，，設(shè)該三棱錐的體積為V，該三棱錐外接球的表面積為S，若，則S的取值范圍為______．【答案】【解析】因為，，故，取的中點(diǎn)D，連接，由題意可知平面，，則，易得，由題意知該三棱錐外接球的球心O在直線上，設(shè)（為負(fù)，則球心在平面的下方），外接球半徑為R，故，易知在上單調(diào)遞增，即則，所以.故答案為：.14.若a，，自然對數(shù)的底數(shù)為e，則的最小值為______．【答案】2【解析】由，設(shè)，求導(dǎo)，，令，解得：，令，解得，令，解得，故區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求證：；（2）已知，當(dāng)角取最大值時，求的面積.解：（1）∵，∴，∴，即，∴，由得，，由正弦定理及余弦定理得，，∴.（2）由余弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時取最大值，為等邊三角形.由得，.∴的面積為.16.如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，在四邊形中，，．（1）證明：平面平面；（2）若，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件，求二面角的余弦值．條件①：異面直線CD與BE所成角的余弦值為；條件②：直線BF與平面ACEF所成角的正弦值為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的的條件分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分．（1）證明：因為，所以，在中，由余弦定理得，，解得，所以，所以，即，因為四邊形為矩形，所以，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：若選條件①：連接，設(shè)，因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，因為異面直線CD與BE所成角的余弦值為，所以，解得，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，由，取得，由，取得，所以，所以二面角余弦值為．若選②：連接，設(shè)，因為，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，所以，因為，，平面，，所以平面，所以直線BF與平面ACEF所成角即為，又平面，所以，所以，解得，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，所以，，設(shè)平面一個法向量為，平面的一個法向量為，由，取得，由，取得，所以，所以二面角的余弦值為．17.已知橢圓E：，其左頂點(diǎn)為P，上頂點(diǎn)為Q，直線PQ交直線于R，且（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）點(diǎn)N在x軸上，過點(diǎn)N作直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，問：是否存在定點(diǎn)N，使得為定值，若存在，求出所有點(diǎn)N的坐標(biāo)并且求出定值；若不存在，請說明理由.解：（1）由題意可知，，，所以，，整理聯(lián)立有：，又因為，，解得，，所以橢圓方程為.（2）根據(jù)已知條件設(shè)，設(shè)，，當(dāng)直線斜率不為時，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，需，即，由韋達(dá)定理有：，，故因為為定值，所以，整理得，解得，此時；當(dāng)直線斜率為時，不妨設(shè)，，，此時符合題設(shè)，同理可證當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時也符合題設(shè)，又恒成立，所以存在點(diǎn)或使得的值為（定值）.18.已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩