2025屆青海省西寧市大通縣高考一?？荚嚁?shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1青海省西寧市大通縣2025屆高考一?？荚嚁?shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，而，所以.故選：C2.復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】依題意，，所以對應點位于第一象限.故選：A3.已知直線：與圓：交于，兩點，則（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】圓：的圓心，半徑，點到直線：的距離，直線與圓相交，則.故選：B4.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，則的形狀是（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不確定的【答案】C【解析】因為，，所以，，所以，，易知，即，設，則，，則，可得，所以是銳角三角形.故選：C.5.如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點，則正方體被平面所截得的截面周長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正方體中，取的中點，的中點，連接，由是的中點，得，則四邊形為平行四邊形，，由是的中點，得，梯形是正方體被平面所截得的截面，，，所以所求截面的周長是.故選：B6.已知向量，，若與的夾角為銳角，則x的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.又與的夾角為銳角，所以，且與不共線，則，解得，且.即x的取值范圍為.故選：C7.已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的定義域為R，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞增，由，得，則，即，而，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是．故選：B．8.如圖，已知圓臺形水杯（不計厚度）的杯口直徑為6，杯底的直徑為4，高為，水杯中盛有部分水.當杯底水平放置時，杯中水的高度為，將半徑為的小球放入杯中，小球被完全浸沒，水恰好填滿水杯，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓臺水杯上底面圓半徑為，下底面半徑為，當杯底水平放置時，液面半徑為，為方便理解，畫出圓臺的軸截面圖如下所示：因為此時杯中水的高度為，故為；整個水杯盛滿水時的體積為：，未放置小球前水的體積為：，又小球體積為；故，即，解得故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了豐富校園文化生活，展現(xiàn)學生的才藝風采，激發(fā)學生的藝術創(chuàng)造力和表現(xiàn)力，某校舉行了“綻放青春，藝路有你”才藝大賽.甲、乙兩位同學才藝表演結(jié)束后，6位評委對甲、乙進行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則（）A.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)B.甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)C.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】BCD【解析】甲、乙的得分從小到大排列如下：甲：，乙：，甲得分的中位數(shù)為，乙得分的中位數(shù)為，甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確；甲得分的眾數(shù)，乙得分的眾數(shù)為，甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)，故B正確；甲得分的平均數(shù)，乙得分的平均數(shù)，所以甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù)，故A錯誤；由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)的定義域為，對任意，均滿足，且，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.8是的一個周期C.的圖象關于點對稱D.【答案】BC【解析】對于A，令，得，所以，令，得，即，所以為偶函數(shù)，所以，則為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，令，，即，所以4是的一個周期，8也是的一個周期，故B正確；對于C，令，，所以，所以關于對稱，且，又周期為4，所以，故C正確；對于D，令，得，即，令，，得，所以，所以，所以，故D錯誤；故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.11.函數(shù)的極小值是______.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為R，求導得，由，得；由，得或，因此當時，取得極大值，當時，取得極小值，所以函數(shù)的極小值為.故答案為：12.甲、乙等5名學生到這三個公司實習，要求每個公司至少有1人去實習，且每人只能到1個公司實習，則甲去公司實習的不同情況有______種.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】若公司只有甲名學生，則另外名學生到兩個公司，若兩個公司各有名學生，則有種，若兩個公司有一個有名學生，另一個有名學生，則有種，若公司有名學生，則有種，若公司有名學生，則有種根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種.故答案為：.13.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則的最小值為C.若是的極值點，則是函數(shù)的零點D.和所有交點的橫坐標之和是【答案】ACD【解析】對于A，由的圖象關于直線對稱，得，而，則，A正確；對于B，，，因此的最小值為的半周期，B錯誤；對于C，由是的極值點，得，則，即，C正確；對于D，，由解得：或，且在，上的圖象分別關于直線，對稱，直線和的圖象有4個交點，其橫坐標由小到大依次為，，因此，D正確.故選：ACD14.已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，如圖所示，點，分別在雙曲線的左、右支上，且，若，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】延長與雙曲線交于另一點，連接，由，得，由對稱性知四邊形為平行四邊形，設，則，，，在中，，即，解得，設雙曲線的焦距為，在中，，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）若，求的最小值.解：（1）因為，令可得，當時，所以作差得，所以，所以，所以是首項，公比為3的等比數(shù)列，；（2）因為，所以；（3）因為，所以；又因為，所以，所以，因為單調(diào)遞增，且，所以，則的最小值為5.16.已知拋物線：，過點的直線交拋物線于，兩點，且點到拋物線的準線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知為坐標原點，直線的斜率為，的面積為，求直線的方程.解：（1）拋物線的準線方程為，由點到拋物線的準線的距離為，得，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，直線方程為，設，由消去得，則解得或，，，令直線與軸的交點，則的面積，因此，解得，所以直線方程為.17.如圖，在四棱柱中，，，，，，分別是棱，的中點.（1）證明：平面.（2）若，直線與平面所成角的正弦值為.①求四棱柱的體積；②求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：在梯形中，，，則，在中，，，則，，而，平面，所以平面.（2）解：①由，平面，得平面，取中點，連接，由是的中點，得，由（1）知，平面，則是直線與平面所成的角，即，，，所以四棱柱的體積.②連接，由①知平面，，則平面，平面，則，而，于是，又平面，所以平面，因為平面，所以，由是的中點，得，共面，因此是平面與平面的夾角，，所以平面與平面的夾角的余弦值是.18.某餐館2024年12月份共有800個線上外賣訂單，其中好評訂單有600個，其余均為非好評訂單.為了提升菜品品質(zhì)，增加營業(yè)額，該餐館在2025年1月份更換了廚師，更換廚師后該餐館2025年1月份共有2000個線上外賣訂單，其中好評訂單有1600個，其余均為非好評訂單.（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下列表格，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該餐館訂單的好評率是否與更換廚師有關聯(lián).好評非好評合計更換廚師前更換廚師后合計（2）現(xiàn)從更換廚師前的訂單中按好評和非好評，按比例用分層隨機抽樣法抽取8個訂單進行電話回訪，再從這8個訂單中隨機抽取3個訂單發(fā)放新品品嘗券并讓顧客評價，記抽取的3個訂單中好評的訂單個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.（3）用樣本頻率估計總體概率，現(xiàn)從更換廚師后所有訂單中隨機抽取100個訂單，記其中好評的訂單個數(shù)為，求使事件“”的概率最大時的值.附：，其中.0.10.050.010.0052.7063.8416.6357.879解：（1）列聯(lián)表如下：好評非好評合計更換廚師前600200800更換廚師后16004002000合計22006002800零假設為餐館訂單的好評率與更換廚師無關聯(lián)，根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為該餐館訂單的好評率與更換廚師有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于.（2）依題意，用分層隨機抽樣法抽取的8個訂單中，好評訂單有個，非好評有2個，而從這8個訂單中隨機抽取3個，其中好評的訂單個數(shù)的可能值有，則，所以的分布列為：123數(shù)學期望.（3）依題意，更換廚師后好評率為，從更換廚師后所有訂單中隨機抽取100個訂單，則，于是，由，由，解得，而，則當時，單調(diào)遞增；由，解得，則當時，單調(diào)遞減，所以使事件“”概率最大時的值為80.19.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若在上恒成立，求的取值范圍.解：（1）當時，，，切線的斜率，，所以切點坐標為，切線方程為，，當時，，當時，，所以直線與軸交點為，與軸交點為，所以切線與坐標軸圍成三角形的面積為.（2）因為，，，所以，可化為：，即，令，，所以為上的單調(diào)遞增函數(shù)，將，轉(zhuǎn)化為，因為為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即，即，整理有：，令，，令，即，，當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減，所以，因為恒成立，所以.青海省西寧市大通縣2025屆高考一?？荚嚁?shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，而，所以.故選：C2.復數(shù)滿足，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】依題意，，所以對應點位于第一象限.故選：A3.已知直線：與圓：交于，兩點，則（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】圓：的圓心，半徑，點到直線：的距離，直線與圓相交，則.故選：B4.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且，，則的形狀是（）A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.不確定的【答案】C【解析】因為，，所以，，所以，，易知，即，設，則，，則，可得，所以是銳角三角形.故選：C.5.如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點，則正方體被平面所截得的截面周長是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在正方體中，取的中點，的中點，連接，由是的中點，得，則四邊形為平行四邊形，，由是的中點，得，梯形是正方體被平面所截得的截面，，，所以所求截面的周長是.故選：B6.已知向量，，若與的夾角為銳角，則x的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.又與的夾角為銳角，所以，且與不共線，則，解得，且.即x的取值范圍為.故選：C7.已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的定義域為R，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，又在R上單調(diào)遞增，由，得，則，即，而，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是．故選：B．8.如圖，已知圓臺形水杯（不計厚度）的杯口直徑為6，杯底的直徑為4，高為，水杯中盛有部分水.當杯底水平放置時，杯中水的高度為，將半徑為的小球放入杯中，小球被完全浸沒，水恰好填滿水杯，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓臺水杯上底面圓半徑為，下底面半徑為，當杯底水平放置時，液面半徑為，為方便理解，畫出圓臺的軸截面圖如下所示：因為此時杯中水的高度為，故為；整個水杯盛滿水時的體積為：，未放置小球前水的體積為：，又小球體積為；故，即，解得故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了豐富校園文化生活，展現(xiàn)學生的才藝風采，激發(fā)學生的藝術創(chuàng)造力和表現(xiàn)力，某校舉行了“綻放青春，藝路有你”才藝大賽.甲、乙兩位同學才藝表演結(jié)束后，6位評委對甲、乙進行打分（滿分10分），得到如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則（）A.甲得分的平均數(shù)大于乙得分的平均數(shù)B.甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)C.甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)D.甲得分的方差大于乙得分的方差【答案】BCD【解析】甲、乙的得分從小到大排列如下：甲：，乙：，甲得分的中位數(shù)為，乙得分的中位數(shù)為，甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)，故C正確；甲得分的眾數(shù)，乙得分的眾數(shù)為，甲得分的眾數(shù)大于乙得分的眾數(shù)，故B正確；甲得分的平均數(shù)，乙得分的平均數(shù)，所以甲得分的平均數(shù)等于乙得分的平均數(shù)，故A錯誤；由圖可以看出甲得分的波動比乙大，故甲得分的方差大于乙得分的方差，故D正確.故選：BCD10.已知函數(shù)的定義域為，對任意，均滿足，且，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù)B.8是的一個周期C.的圖象關于點對稱D.【答案】BC【解析】對于A，令，得，所以，令，得，即，所以為偶函數(shù)，所以，則為奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，令，，即，所以4是的一個周期，8也是的一個周期，故B正確；對于C，令，，所以，所以關于對稱，且，又周期為4，所以，故C正確；對于D，令，得，即，令，，得，所以，所以，所以，故D錯誤；故選：BC．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.11.函數(shù)的極小值是______.【答案】【解析】函數(shù)的定義域為R，求導得，由，得；由，得或，因此當時，取得極大值，當時，取得極小值，所以函數(shù)的極小值為.故答案為：12.甲、乙等5名學生到這三個公司實習，要求每個公司至少有1人去實習，且每人只能到1個公司實習，則甲去公司實習的不同情況有______種.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】若公司只有甲名學生，則另外名學生到兩個公司，若兩個公司各有名學生，則有種，若兩個公司有一個有名學生，另一個有名學生，則有種，若公司有名學生，則有種，若公司有名學生，則有種根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有種.故答案為：.13.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則的最小值為C.若是的極值點，則是函數(shù)的零點D.和所有交點的橫坐標之和是【答案】ACD【解析】對于A，由的圖象關于直線對稱，得，而，則，A正確；對于B，，，因此的最小值為的半周期，B錯誤；對于C，由是的極值點，得，則，即，C正確；對于D，，由解得：或，且在，上的圖象分別關于直線，對稱，直線和的圖象有4個交點，其橫坐標由小到大依次為，，因此，D正確.故選：ACD14.已知，分別是雙曲線：的左、右焦點，如圖所示，點，分別在雙曲線的左、右支上，且，若，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】延長與雙曲線交于另一點，連接，由，得，由對稱性知四邊形為平行四邊形，設，則，，，在中，，即，解得，設雙曲線的焦距為，在中，，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.設數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和；（3）若，求的最小值.解：（1）因為，令可得，當時，所以作差得，所以，所以，所以是首項，公比為3的等比數(shù)列，；（2）因為，所以；（3）因為，所以；又因為，所以，所以，因為單調(diào)遞增，且，所以，則的最小值為5.16.已知拋物線：，過點的直線交拋物線于，兩點，且點到拋物線的準線的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）已知為坐標原點，直線的斜率為，的面積為，求直線的方程.解：（1）拋物線的準線方程為，由點到拋物線的準線的距離為，得，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）知，直線方程為，設，由消去得，則解得或，，，令直線與軸的交點，則的面積，因此，解得，所以直線方程為.17.如圖，在四棱柱中，，，，，，分別是棱，的中點.（1）證明：平面.（2）若，直線與平面所成角的正弦值為.①求四棱柱的體積；②求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：在梯形中，，，則，在中，，，則，，而，平面，所以平面.（2）解：①由，平面，得平面，取中點，連接，由是的中點，得，由（1）知，平面，則是直線與平面所成的角，即，，，所以四棱柱的體積.②連接，由①知平面，，則平面，平面，則，而，于是，又平面，所以平面，因為平面，所以，由是的中點，得，共面，因此是平面與平面的夾角，，所以平面與平面的夾角的余弦值是.18.某餐館2024年12月份共有800個線上外賣訂單，其中好評訂單有600個，其余均為非好評訂單.為了提升菜品品質(zhì)，增加營業(yè)額，該餐館在2025年1月份更換了廚師，更換廚師后該餐館2025年1月份共有2000個線上外賣訂單，其中好評訂單有1600個，其余均為非好評訂單.（1）根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，完成下列表格，并依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析該餐館訂單的好評率是否與更換廚師有關聯(lián)