2025屆上海市普陀區(qū)高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1上海市普陀區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1.不等式的解集是____________.【答案】【解析】因?yàn)?所以原不等式的解集為：.故答案為：2.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則____________.【答案】【解析】因?yàn)椋?故答案為：3.已知事件與事件相互獨(dú)立，若，則____________.【答案】【解析】由獨(dú)立事件性質(zhì)，，,故答案為：4.設(shè)，，是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為____________.【答案】##【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，.所以，，所以：.故答案為：5.設(shè)，拋物線上的點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為5，點(diǎn)到軸的距離為3，則的值為____________.【答案】9【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，由點(diǎn)到軸的距離為3，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為5，得，解得或，而，所以.故答案為：96.設(shè)，若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為10，則____________.【答案】2【解析】項(xiàng)為，由.故答案為：27.在一個(gè)不透明的盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的大小與質(zhì)地都相同的小球各2個(gè)，現(xiàn)從該盒中一次取出2個(gè)球，設(shè)事件為“取出2個(gè)球的數(shù)字之和大于5”，事件為“取出的2個(gè)球中最小數(shù)字是2”，則____________.【答案】【解析】事件（數(shù)字之和大于5）的基本事件數(shù)（數(shù)字組合），共有種；而事件（最小數(shù)字是2且和大于5，即）的基本事件數(shù)有種，由條件概率公式.故答案為：8.若一個(gè)圓錐的高為，側(cè)面積為，則該圓錐側(cè)面展開圖中扇形的中心角的大小為____________.【答案】【解析】設(shè)底面半徑為，母線長為l由，得，又，由勾股定理，所以，解得，底面圓周長，扇形中心角，故答案為：9.設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，皆有成立的一個(gè)充分條件是____________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，要使，則周期，即，因?yàn)?，所以一個(gè)充分條件是，故答案：10.設(shè)為正整數(shù)，集合，若集合滿足，且對(duì)中任意的兩個(gè)元素，皆有成立，記滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為，則____________.【答案】28【解析】當(dāng)時(shí)，若為空集，符合題意；只有1種，若為一元集：共有8種，若為二元集：如，共有15種，若為三元集：如共有4種，所以總共有：種；故答案為：28.11.在棱長為4的正方體中，，若一動(dòng)點(diǎn)滿足，則三棱錐體積的最大值為____________.【答案】【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則有.又，所以.設(shè)，則.因?yàn)?，代入可得，整理可得，即在以點(diǎn)為球心，為半徑的球上.又的面積為，平面到平面的距離為4，所以到平面的最大距離為.體積最大值為.故答案為：.12.設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)，所以，，，解得，不符合題意，所以在上無解.②當(dāng)時(shí)，，所以，，，令，所以，即令，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，即.此時(shí)在上有唯一解；③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩解，即在上有兩解，即在上有兩解.令所以，即解得，綜上①②③，所以的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13－14題每題4分，第15－16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在大題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，否則一律得零分.13.某市職業(yè)技能大賽的移動(dòng)機(jī)器人比賽項(xiàng)目有19位同學(xué)參賽，他們?cè)陬A(yù)賽中所得的積分互不相同，只有積分在前10位的同學(xué)才能進(jìn)入決賽.若該比賽項(xiàng)目中的某同學(xué)知道自己的積分后，要判斷自己能否進(jìn)入決賽，則他只需要知道這19位同學(xué)的預(yù)賽積分的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.中位數(shù) D.方差【答案】C【解析】因?yàn)?9位同學(xué)的積分，中位數(shù)是第10名，所以知道中位數(shù)即可判斷是否在前10.故選：C14.設(shè)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則角屬于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，所以，異?hào)，所以在第二、四象限，又，所以在第二象限.故選：.15.設(shè)，點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線的左焦點(diǎn)，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線的右支在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，則雙曲線的離心率的一個(gè)可能的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖：因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，方程為：.因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離為：，所以直線與圓相切.又過點(diǎn)，且，直線與雙曲線右支在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，所以直線的斜率為：.又一、三象限雙曲線的漸近線的斜率為：.又.即.故選：D16.設(shè)，，、，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，數(shù)列是由個(gè)大于的整數(shù)組成的有窮數(shù)列，若，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“數(shù)列”.對(duì)于數(shù)列有如下兩個(gè)命題：①若，則數(shù)列不是數(shù)列的“數(shù)列”；②若，則數(shù)列的“數(shù)列”至少有5個(gè).則下列結(jié)論中正確的是（）A.①為真②為真 B.①為真②為假 C.①為假②為真 D.①為假②為假【答案】A【解析】對(duì)數(shù)列：①②①－②得：，所以是以3為公比的等比數(shù)列，令，對(duì)①：若，.因?yàn)?，且為整?shù)，，其余.以為例，.若，則，這與矛盾.所以不能恒成立.故①為真.對(duì)②：以為例：設(shè)，令，則方程的解有，，，，5個(gè)滿足.即時(shí)，數(shù)列的“數(shù)列”有5個(gè).當(dāng)時(shí)，，令，則方程滿足的解的個(gè)數(shù)更多.即時(shí)，數(shù)列的“數(shù)列”多于5個(gè).……依次類推：當(dāng)數(shù)列至少5個(gè)，故②為真.故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.如圖，在三棱柱中，，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：連結(jié)，連結(jié)CO在中，，故是等邊三角形，所以為菱形，所以，且是的中點(diǎn).因?yàn)椋?因?yàn)?，所以平?又平面，所以平面平面.（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，OC為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，即.令，可得平面的一個(gè)法向量為，所以，直線與平面所成的角的正弦值為.18.設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為.（1）若，設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，求的面積.（2）對(duì)任意的，皆有成立，且該函數(shù)在區(qū)間上不存在最小值，求函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，解得或，所以或，若，則，不符；所以，所以，所以，由，得，所以，；（2）由，得，所以，，令，因?yàn)椋?，又函?shù)在無最小值，所以，解得，所以，則，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋栽趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增.19.某區(qū)為推進(jìn)教育數(shù)字化轉(zhuǎn)型，通過聚合區(qū)域?qū)W校的教育資源，依托AI技術(shù)搭建了區(qū)域智慧題庫系統(tǒng)，形成了“通識(shí)過關(guān)—綜合拓展—?jiǎng)?chuàng)新提升”三層動(dòng)態(tài)原庫，且三層題量之比為，設(shè)該題庫中任意1道題被選到的可能性都相同.（1）現(xiàn)有4人參加一項(xiàng)比賽，若每人分別獨(dú)立地從該題庫中隨機(jī)選取一道題作答，求這4人中至少有2人的選題來自層的概率；（2）現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法，使用智能組卷系統(tǒng)從該題庫中選取12道題生成試卷，若某老師要從生成的這份12道題的試卷中隨機(jī)選取3道題做進(jìn)一步改編，記該老師選到層題的題數(shù)為，求的分布與期望．解：（1）因?yàn)槿龑宇}量之比為，所以在層選題的概率為，不在層選題的概率為，設(shè)至少2人的選題來自層的概率為，從層選題數(shù)量為，由題意得，而二項(xiàng)分布概率公式為，則至少2人的選題來自層的概率為，故.（2）因?yàn)槿龑宇}量之比為，所以在層最多抽到7道，且可取，則，，其分布列為所以期望.20.設(shè)，點(diǎn)分別是橢圓的上頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，且，直線經(jīng)過點(diǎn)與交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)在直線上，向量在直線上的投影為向量，證明.（1）解：，直線l過所以右焦點(diǎn)，即，所以，橢圓方程為.（2）解：當(dāng)，直線，，解得，，設(shè)，到直線距離，由面積，得或，即或.（3）證明：設(shè)，因?yàn)橄蛄吭谥本€上的投影為向量，故，故直線的斜率為，故直線的方程為，故，而，故，聯(lián)立，，，故，設(shè)，設(shè)，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)可得在為增函數(shù)，故，故，.21已知，對(duì)于函數(shù)，，設(shè)集合，，記.（1）若函數(shù)，請(qǐng)判斷中元素的個(gè)數(shù)，并說明理由；（2）設(shè)，函數(shù)，若，求的值以及曲線在點(diǎn)處的切線方程；（3）設(shè)，函數(shù)，若對(duì)于任意的，皆有成立，求的取值范圍.解：（1）由.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以有2個(gè)元素.（2）將代入圓，由相切.此時(shí)，，又，所以，所以，切線方程，即.（3）對(duì)于任意，皆有成立，即函數(shù)的圖象與圓系：無交點(diǎn)，所以恒成立.因?yàn)?，，所以?當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且.由.當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.即當(dāng)時(shí)，；又，所以.所以.設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以.由.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為：上海市普陀區(qū)2025屆高三下學(xué)期質(zhì)量調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共有12題，滿分54分）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)前6題得4分、后6題得5分，否則一律得零分.1.不等式的解集是____________.【答案】【解析】因?yàn)?所以原不等式的解集為：.故答案為：2.已知復(fù)數(shù)，其中i為虛數(shù)單位，則____________.【答案】【解析】因?yàn)椋?故答案為：3.已知事件與事件相互獨(dú)立，若，則____________.【答案】【解析】由獨(dú)立事件性質(zhì)，，,故答案為：4.設(shè)，，是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的值為____________.【答案】##【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，.所以，，所以：.故答案為：5.設(shè)，拋物線上的點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為5，點(diǎn)到軸的距離為3，則的值為____________.【答案】9【解析】拋物線的準(zhǔn)線為，由點(diǎn)到軸的距離為3，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為5，得，解得或，而，所以.故答案為：96.設(shè)，若的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為10，則____________.【答案】2【解析】項(xiàng)為，由.故答案為：27.在一個(gè)不透明的盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4的大小與質(zhì)地都相同的小球各2個(gè)，現(xiàn)從該盒中一次取出2個(gè)球，設(shè)事件為“取出2個(gè)球的數(shù)字之和大于5”，事件為“取出的2個(gè)球中最小數(shù)字是2”，則____________.【答案】【解析】事件（數(shù)字之和大于5）的基本事件數(shù)（數(shù)字組合），共有種；而事件（最小數(shù)字是2且和大于5，即）的基本事件數(shù)有種，由條件概率公式.故答案為：8.若一個(gè)圓錐的高為，側(cè)面積為，則該圓錐側(cè)面展開圖中扇形的中心角的大小為____________.【答案】【解析】設(shè)底面半徑為，母線長為l由，得，又，由勾股定理，所以，解得，底面圓周長，扇形中心角，故答案為：9.設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)，皆有成立的一個(gè)充分條件是____________.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，要使，則周期，即，因?yàn)?，所以一個(gè)充分條件是，故答案：10.設(shè)為正整數(shù)，集合，若集合滿足，且對(duì)中任意的兩個(gè)元素，皆有成立，記滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為，則____________.【答案】28【解析】當(dāng)時(shí)，若為空集，符合題意；只有1種，若為一元集：共有8種，若為二元集：如，共有15種，若為三元集：如共有4種，所以總共有：種；故答案為：28.11.在棱長為4的正方體中，，若一動(dòng)點(diǎn)滿足，則三棱錐體積的最大值為____________.【答案】【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則有.又，所以.設(shè)，則.因?yàn)?，代入可得，整理可得，即在以點(diǎn)為球心，為半徑的球上.又的面積為，平面到平面的距離為4，所以到平面的最大距離為.體積最大值為.故答案為：.12.設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是____________.【答案】【解析】①當(dāng)時(shí)，所以，，，解得，不符合題意，所以在上無解.②當(dāng)時(shí)，，所以，，，令，所以，即令，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，即.此時(shí)在上有唯一解；③當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩解，即在上有兩解，即在上有兩解.令所以，即解得，綜上①②③，所以的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13－14題每題4分，第15－16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在大題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，否則一律得零分.13.某市職業(yè)技能大賽的移動(dòng)機(jī)器人比賽項(xiàng)目有19位同學(xué)參賽，他們?cè)陬A(yù)賽中所得的積分互不相同，只有積分在前10位的同學(xué)才能進(jìn)入決賽.若該比賽項(xiàng)目中的某同學(xué)知道自己的積分后，要判斷自己能否進(jìn)入決賽，則他只需要知道這19位同學(xué)的預(yù)賽積分的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù) C.中位數(shù) D.方差【答案】C【解析】因?yàn)?9位同學(xué)的積分，中位數(shù)是第10名，所以知道中位數(shù)即可判斷是否在前10.故選：C14.設(shè)，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，且，則角屬于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以，所以，異?hào)，所以在第二、四象限，又，所以在第二象限.故選：.15.設(shè)，點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線的左焦點(diǎn)，若直線經(jīng)過點(diǎn)，且與雙曲線的右支在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，則雙曲線的離心率的一個(gè)可能的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖：因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓，方程為：.因?yàn)辄c(diǎn)到直線：的距離為：，所以直線與圓相切.又過點(diǎn)，且，直線與雙曲線右支在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，所以直線的斜率為：.又一、三象限雙曲線的漸近線的斜率為：.又.即.故選：D16.設(shè)，，、，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，數(shù)列是由個(gè)大于的整數(shù)組成的有窮數(shù)列，若，，則稱數(shù)列是數(shù)列的“數(shù)列”.對(duì)于數(shù)列有如下兩個(gè)命題：①若，則數(shù)列不是數(shù)列的“數(shù)列”；②若，則數(shù)列的“數(shù)列”至少有5個(gè).則下列結(jié)論中正確的是（）A.①為真②為真 B.①為真②為假 C.①為假②為真 D.①為假②為假【答案】A【解析】對(duì)數(shù)列：①②①－②得：，所以是以3為公比的等比數(shù)列，令，對(duì)①：若，.因?yàn)?，且為整?shù)，，其余.以為例，.若，則，這與矛盾.所以不能恒成立.故①為真.對(duì)②：以為例：設(shè)，令，則方程的解有，，，，5個(gè)滿足.即時(shí)，數(shù)列的“數(shù)列”有5個(gè).當(dāng)時(shí)，，令，則方程滿足的解的個(gè)數(shù)更多.即時(shí)，數(shù)列的“數(shù)列”多于5個(gè).……依次類推：當(dāng)數(shù)列至少5個(gè)，故②為真.故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.如圖，在三棱柱中，，且.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值.（1）證明：連結(jié)，連結(jié)CO在中，，故是等邊三角形，所以為菱形，所以，且是的中點(diǎn).因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以平?又平面，所以平面平面.（2）解：以為原點(diǎn)，為軸，為軸，OC為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，即.令，可得平面的一個(gè)法向量為，所以，直線與平面所成的角的正弦值為.18.設(shè)，函數(shù)的表達(dá)式為.（1）若，設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，求的面積.（2）對(duì)任意的，皆有成立，且該函數(shù)在區(qū)間上不存在最小值，求函數(shù)在的單調(diào)區(qū)間.解：（1）因?yàn)?，所以，所以，解得或，所以或，若，則，不符；所以，所以，所以，由，得，所以，；（2）由，得，所以，，令，因?yàn)?，所以，又函?shù)在無最小值，所以，解得，所以，則，所以，令，所以，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.19.某區(qū)為推進(jìn)教育數(shù)字化轉(zhuǎn)型，通過聚合區(qū)域?qū)W校的教育資源，依托AI技術(shù)搭建了區(qū)域智慧題庫系統(tǒng)，形成了“通識(shí)過關(guān)—綜合拓展—?jiǎng)?chuàng)新提升”三層動(dòng)態(tài)原庫，且三層題量之比為，設(shè)該題庫中任意1道題被選到的可能性都相同.（1）現(xiàn)有4人參加一項(xiàng)比賽，若每人分別獨(dú)立地從該題庫中隨機(jī)選取一道題作答，求這4人中至少有2人的選題來自層的概率；（2）現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽