2025屆四川省樂(lè)山市高三第二次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1四川省樂(lè)山市2025屆高三第二次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，解得，則，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D2.設(shè)i為虛數(shù)單位，若，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】，所以.故選：A.3.已知圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的2倍，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則母線長(zhǎng)為，，，.故選：B.4.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由，令，得，令，得，.故選：D.5.若是偶函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】由題，可得，即，，，即因不恒為0，故.故選：B.6.現(xiàn)有數(shù)字1，2，2，3，3，3，若將這六個(gè)數(shù)字排成一排，則數(shù)字2，2恰好相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一：給定的數(shù)字是1，2，2，3，3，3，其中有一個(gè)1，兩個(gè)2，三個(gè)3，總共有6個(gè)數(shù)字，因此總排列數(shù)為：.符合條件的排列數(shù)（兩個(gè)2恰好相鄰的情況）：將兩個(gè)2視為一個(gè)整體（即“超級(jí)元素”），這樣剩下的元素為1，3，3，3和這個(gè)“超級(jí)元素”，共5個(gè)元素.其中三個(gè)3是重復(fù)的，因此符合條件的排列數(shù)為：，所以符合條件的排列數(shù)除以總排列數(shù)：.方法二：考慮兩個(gè)2的位置組合，共有種可能的位置組合，其中相鄰的位置對(duì)數(shù)為5種，概率為：，因此，數(shù)字2，2恰好相鄰的概率為.故選：D.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，又，則，，.故選：D.8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，則，又，，.故選：C.二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得分.9.已知向量，，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量為D.當(dāng)與夾角為銳角時(shí)，【答案】AC【解析】對(duì)于A，由，則，解得，故A正確；對(duì)于B，，，，解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則由投影向量公式得在方向上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)與夾角為銳角時(shí)，則，且與不同向，∴2+x>02x-1≠0，解得且，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為定點(diǎn)，而點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，若，則（）A.B.C.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，的方程為D.當(dāng)軸時(shí)，的離心率【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，則，又，所以，即，，故A正確；對(duì)于B，由對(duì)稱(chēng)性可得，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得，，解得，則，所以橢圓方程為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)軸時(shí)，可得，由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得，即，解得，，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)滿足條件：時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角.如圖，在中，角所對(duì)的邊分別為，記的面積為，點(diǎn)是的布洛卡點(diǎn)，布洛卡角為，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)且時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，故A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)知，，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，即，即，所以，在中，，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，?lián)立，解得，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，相加得，即，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)，在中，由正弦定理得，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則______.【答案】0.04【解析】因?yàn)?，所以，所以故答案為?13.設(shè)，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，，則的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，由，則，，解得，在中，由余弦定理得，，即，.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，整理得，因?yàn)?，解得，，設(shè)，則，令得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，，所以，，所以的取值范圍?故答案為：.四、解答題：本題共小題，共分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）因?yàn)?，所以時(shí).當(dāng)時(shí)，，所以，，滿足，所以，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.16.某社區(qū)為推行普法宣傳，舉辦社區(qū)“普法”知識(shí)競(jìng)賽.有A，B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比賽的選手先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從該類(lèi)問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該選手比賽結(jié)束；若回答正確則繼續(xù)從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該選手比賽結(jié)束.類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得40分，否則得0分；類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得60分，否則得0分.設(shè)選手李華能正確回答類(lèi)問(wèn)題的概率為，能正確回答類(lèi)問(wèn)題的概率為，參賽選手能正確回答問(wèn)題的概率與回答順序無(wú)關(guān).（1）當(dāng)時(shí)，求李華先回答類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分為100分的概率；（2）若李華先回答類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望大于先回答類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望，求的取值范圍.解：（1）由題知：回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分為100分概率：.（2）先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分記為變量，的值為0，40，100，，，，先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分記為變量，的值為0，60，100，，，，由，所以，解得：.17.已知函數(shù)，.（1）若存在極小值，且極小值為，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1），，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，解得.（2）由，得，即，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以，則，所以的取值范圍為.18.如圖，在平面四邊形中，是等邊三角形，是等腰三角形，且，現(xiàn)將沿翻折至，形成三棱錐，其中為動(dòng)點(diǎn).（1）若，求證：平面平面；（2）若，記的重心為，若，求與平面所成角的正弦值；（3）求平面與平面夾角正切的最大值.（1）證明：設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，則，連接交于點(diǎn).因?yàn)槭堑妊切?，所以，即，因?yàn)?，?所以，，，面，所以面，因?yàn)槊?，所以面?（2）解：在中，，，，由余弦定理得，所以，所以三棱錐為正三棱錐.因?yàn)槭堑闹匦?，所以面，則，連接并延長(zhǎng)交于，連接，可得，，所以面，所以面面，過(guò)作，因?yàn)槊婷妫?，所以?取的中點(diǎn)為，由題意知是的中點(diǎn).所以，所以所求線面角.在中，，，所以.（3）解：因?yàn)?，設(shè)，過(guò)作.因?yàn)?，可得平面，所以平面平面，所以平面，可得，，過(guò)作，連接，易得，可得為所求夾角.在中，，，所以，，所以，解得，所以平面與平面夾角正切的最大值.19.已知拋物線：，過(guò)點(diǎn)作的切線，切點(diǎn)分別為，，且.（1）求的方程；（2）設(shè)，為上兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（不在軸上），為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn).（?。┰O(shè)，求的最小值；（ⅱ）求證：.解：（1）由題知，軸，設(shè)切點(diǎn)，則，由，則，所以，，可得，所以拋物線的方程為.（2）（?。┰O(shè)方程為，，，由，整理得，于是，，，.因?yàn)?，，即，又，所?于是，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.（ⅱ）法一，由（ⅰ）知直線的方程為，，，設(shè)，，又，所以直線方程為，代入拋物線方程可得.又直線的斜率，設(shè)直線的方程為，直線的方程為.將直線的方程代入直線的方程，可得，，于是可得.同理.所以直線的斜率.所以.法二（極點(diǎn)極線）因?yàn)?，所以點(diǎn)關(guān)于曲線的極線的方程為，即，又因?yàn)橹本€的斜率，所以，于是.四川省樂(lè)山市2025屆高三第二次診斷性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令，解得，則，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：D2.設(shè)i為虛數(shù)單位，若，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】，所以.故選：A.3.已知圓錐的母線長(zhǎng)是底面半徑的2倍，則該圓錐的側(cè)面積與表面積的比值為（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，則母線長(zhǎng)為，，，.故選：B.4.若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由，令，得，令，得，.故選：D.5.若是偶函數(shù)，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】由題，可得，即，，，即因不恒為0，故.故選：B.6.現(xiàn)有數(shù)字1，2，2，3，3，3，若將這六個(gè)數(shù)字排成一排，則數(shù)字2，2恰好相鄰的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】方法一：給定的數(shù)字是1，2，2，3，3，3，其中有一個(gè)1，兩個(gè)2，三個(gè)3，總共有6個(gè)數(shù)字，因此總排列數(shù)為：.符合條件的排列數(shù)（兩個(gè)2恰好相鄰的情況）：將兩個(gè)2視為一個(gè)整體（即“超級(jí)元素”），這樣剩下的元素為1，3，3，3和這個(gè)“超級(jí)元素”，共5個(gè)元素.其中三個(gè)3是重復(fù)的，因此符合條件的排列數(shù)為：，所以符合條件的排列數(shù)除以總排列數(shù)：.方法二：考慮兩個(gè)2的位置組合，共有種可能的位置組合，其中相鄰的位置對(duì)數(shù)為5種，概率為：，因此，數(shù)字2，2恰好相鄰的概率為.故選：D.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，又，則，，.故選：D.8.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，則，又，，.故選：C.二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得分.9.已知向量，，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，在方向上的投影向量為D.當(dāng)與夾角為銳角時(shí)，【答案】AC【解析】對(duì)于A，由，則，解得，故A正確；對(duì)于B，，，，解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則由投影向量公式得在方向上的投影向量為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)與夾角為銳角時(shí)，則，且與不同向，∴2+x>02x-1≠0，解得且，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為定點(diǎn)，而點(diǎn)在橢圓上，且位于第一象限，若，則（）A.B.C.當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，的方程為D.當(dāng)軸時(shí)，的離心率【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，則，又，所以，即，，故A正確；對(duì)于B，由對(duì)稱(chēng)性可得，所以點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓上，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋蓹E圓焦點(diǎn)三角形面積公式得，，解得，則，所以橢圓方程為，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)軸時(shí)，可得，由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得，即，解得，，則，解得，故D正確.故選：ACD.11.三角形的布洛卡點(diǎn)是法國(guó)數(shù)學(xué)家克洛爾于1816年首次發(fā)現(xiàn)，當(dāng)內(nèi)一點(diǎn)滿足條件：時(shí)，則稱(chēng)點(diǎn)為的布洛卡點(diǎn)，角為布洛卡角.如圖，在中，角所對(duì)的邊分別為，記的面積為，點(diǎn)是的布洛卡點(diǎn)，布洛卡角為，則（）A.當(dāng)時(shí)，B.當(dāng)且時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，所以，即，故A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由A選項(xiàng)知，，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以又因?yàn)?，所以，，在中，由正弦定理得，即，即，所以，在中，，由正弦定理得，所以，由余弦定理得，所以，?lián)立，解得，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，所以，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，相加得，即，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，若，此時(shí)，在中，由正弦定理得，所以，所以，D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則______.【答案】0.04【解析】因?yàn)椋?，所以故答案為?13.設(shè)，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，，則的離心率為_(kāi)_____.【答案】【解析】設(shè)，由，則，，解得，在中，由余弦定理得，，即，.故答案為：.14.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，整理得，因?yàn)椋獾?，，設(shè)，則，令得或，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?，，，，所以，，所以的取值范圍?故答案為：.四、解答題：本題共小題，共分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.解：（1）因?yàn)?，所以時(shí).當(dāng)時(shí)，，所以，，滿足，所以，數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，.所以公比，.（2）由（1）知，，.16.某社區(qū)為推行普法宣傳，舉辦社區(qū)“普法”知識(shí)競(jìng)賽.有A，B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比賽的選手先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從該類(lèi)問(wèn)題中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該選手比賽結(jié)束；若回答正確則繼續(xù)從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該選手比賽結(jié)束.類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得40分，否則得0分；類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得60分，否則得0分.設(shè)選手李華能正確回答類(lèi)問(wèn)題的概率為，能正確回答類(lèi)問(wèn)題的概率為，參賽選手能正確回答問(wèn)題的概率與回答順序無(wú)關(guān).（1）當(dāng)時(shí)，求李華先回答類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分為100分的概率；（2）若李華先回答類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望大于先回答類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分的期望，求的取值范圍.解：（1）由題知：回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分為100分概率：.（2）先回答A類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分記為變量，的值為0，40，100，，，，先回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題累計(jì)得分記為變量，的值為0，60，100，，，，由，所以，解得：.17.已知函數(shù)，.（1）若存在極小值，且極小值為，求；（2）若，求的取值范圍.解：（1），，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)無(wú)極值，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極小值為，解得.（2）由，得，即，，設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以，則，所以的取值范圍為.18.如圖，在平面四邊形中，是等邊三角形，是等腰三角形，且，現(xiàn)將沿翻折至，