湖南省2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次聯(lián)考暨入學(xué)檢測試題含答案

/2025屆高三數(shù)學(xué)第一次聯(lián)考（暨入學(xué)檢測）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用不等式的解法化簡集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因為，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)的乘法運算及模的求法即得.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則.故選：D.3.已知等差數(shù)列an中，，前5項和，則數(shù)列an的公差為（）A.-2 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求得，進而根據(jù)等差數(shù)列定義求公差d.【詳解】設(shè)等差數(shù)列an的公差為，，又.故選C.4.馬德堡半球?qū)嶒炇?7世紀50年代由馬德堡市長進行的一項實驗，其主要目的是證明大氣壓的存在.實驗使用兩個直徑為14英寸的半球殼，將兩個半球內(nèi)的空氣抽掉，球不容易被分開，以證明大氣壓的存在.若把直徑為14英寸的一個實心球分割為兩個半球，則這兩個半球的表面積之和為（）A.平方英寸 B.平方英寸C.平方英寸 D.平方英寸【答案】B【解析】【分析】兩個半球的表面積之和為球的表面積和兩個以球半徑為半徑的圓面積.【詳解】由題意可知球的半徑，則兩個半球的表面積之和為平方英寸.故選：B5.已知向量，若滿足，則（）A.-3 B.2 C.-5 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量運算，即可求得正確答案.【詳解】設(shè)向量，則，因為，所以，故.故選：A.6.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出在區(qū)間上有變號零點且在零點兩側(cè)的函數(shù)值左負右正的值范圍.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由在區(qū)間上有最小值，得在區(qū)間上有變號零點且在零點兩側(cè)的函數(shù)值左負右正，令，則在區(qū)間上有變號零點且在零點兩側(cè)的函數(shù)值左負右正，因此，解得，所以實數(shù)取值范圍是.故選：D7.已知為雙曲線的左焦點，為雙曲線左支上一點，，則雙曲線的離心率為（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)及余弦定理計算可得.【詳解】設(shè)為雙曲線的右焦點，由余弦定理可得，所以，由雙曲線的定義可得，即，故雙曲線的離心率.故選：D8.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】觀察可知，，因此運用角的變換及兩角和的正弦、余弦公式即可化簡題目所給條件，變形后再平方，兩式相加即可得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可，要注意角的范圍.【詳解】因為，所以①，，即②，①-②得，所以，同理③，，即④，③+④得所以，所以，兩式平方相加得，所以，因為，且在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.中國作為全球最大的產(chǎn)茶國和茶葉消勢市場，茶葉行業(yè)長期保持平穩(wěn)問好發(fā)展的趨勢，下表為2014年—2023年中國茶葉產(chǎn)量（單位：萬噸），根據(jù)該表，則（）年份2014201520162017201820192020202120222023產(chǎn)量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中國茶葉產(chǎn)量年增長率大于B.2014年—2023年中國茶葉產(chǎn)量的極差是150.1C.2014年—2023年中國茶葉產(chǎn)量的分位數(shù)是277.7D.2019年—2023年中國茶葉產(chǎn)量的平均數(shù)大于310【答案】ABD【解析】【分析】對于AB，計算出增長率或極差后可求判斷AB正誤，對于C，計算出分位數(shù)后可判斷其正誤，對于D，計算出平均數(shù)后可判斷其正誤.【詳解】對于A，年中國茶葉產(chǎn)量年增長率為，故A正確；對于B，2014年—2023年中國茶葉產(chǎn)量的極差是，B正確；對于C，所以分位數(shù)是2019年與2020年茶葉產(chǎn)量的平均數(shù)，即，C錯誤；對于D，2019年-2023年中國茶葉產(chǎn)量的平均數(shù)為：，D正確.故選：ABD.10.已知，且，則（）A.若，則B.若，則的最大值為C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】選項A，根據(jù)條件得到，利用的性質(zhì)，即可求解；選項B，根據(jù)條件，利用基本不等式，即可求解；選項C，根據(jù)條件，得到，從而有，得到，即可求解；選項D，利用，得，即可求解.【詳解】對于選項A，由得，，又，可得，所以，又，所以，故選項A正確；對于選項B，易知，，所以，當且僅當時取等號，所以選項B錯誤；對于選項C，由選項A知，所以，得到，所以，所以，整理得，所以選項C正確；對于選項D，由得到，，得，所以選項D正確.故選：ACD.11.已知首項為1的正項數(shù)列的前項和為，且，設(shè)數(shù)列的前項和為，則（）A.為等比數(shù)列 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用等差等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意可得，即，得或，若，則，則，這與矛盾，所以不成立；若，則，所以數(shù)列是首項為1，公比為9的等比數(shù)列，即，故A正確；由，可得，兩式相減得，，且時，，即，得，那么，故故B錯誤；當時，，當時，，當時，符合上式，故，即，故C正確；易得時，，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________.【答案】21【解析】【分析】根據(jù)二項式的展開式的通項，求解問題.【詳解】二項式的展開式的通項，所以的展開式中項的系數(shù)為.故答案為：21.13.設(shè)拋物線的焦點為，經(jīng)過點的直線與拋物線相交于兩點，且點恰為的中點，則__________.【答案】14【解析】【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx【詳解】由題意可得，設(shè)Ax1,過分別作準線的垂線，垂足分別為，根據(jù)拋物線的定義，得，故，因為的中點為，所以，可得，所以.故答案為：.14.在三棱錐中，，二面角的大小為，則最小時，三棱錐的體積為__________.【答案】【解析】【分析】本題主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性質(zhì)，即可求得一元二次函數(shù)的最小值，進而求得三棱錐的體積.【詳解】如圖，取的中點，連接，設(shè)，則，，顯然是二面角的平面角，所以，在中，由余弦定理可得，所以，當且僅當時取等號，此時三棱錐的體積.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知中，內(nèi)角所對的邊分別為，.（1）求；（2）若點為的中點，且，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)比例，設(shè)出，聯(lián)立解得關(guān)于的表達式，再利用余弦定理求值即可；（2）結(jié)合已知條件與（1）中結(jié)論，在中利用余弦定理可得的值以及的值，進而可知中邊的值，再由三角形面積公式求值即可.【小問1詳解】因，設(shè)，則，，聯(lián)立解得，，，所以由余弦定理得.【小問2詳解】在中，，，，，由余弦定理得，解得（負值舍去），所以，，因為，所以，所以.16.某機構(gòu)為了了解某地區(qū)中學(xué)生的性別和喜愛游泳是否有關(guān)，隨機抽取了100名中學(xué)生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡游泳不喜歡游泳合計男生25女生35合計已知在這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.（1）請將上述列聯(lián)表補充完整；（2）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為喜歡游泳與性別有關(guān)聯(lián)；（3）將樣本頻率視為總體概率，在該地區(qū)的所有中學(xué)生中隨機抽取3人，計抽取的3人中喜歡游泳的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和期望．附：.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）認為是否喜歡游泳與性別無關(guān)（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)題中信息即可統(tǒng)計數(shù)據(jù)求解.（2）根據(jù)獨立性檢驗計算卡方值即可求解.（3）根據(jù)二項分布求概率即可求解分布列和期望.【小問1詳解】喜歡游泳不喜歡游泳合計男生252550女生351550合計6040100【小問2詳解】零假設(shè):假設(shè)是否喜歡游泳與性別無關(guān)，，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為是否喜歡游泳與性別無關(guān).【小問3詳解】X的可能取值為0，1，2，3，，.的分布列為X0123P.17.已知橢圓的焦距為，且的離心率為.（1）求的標準方程；（2）若，直線交橢圓于兩點，且的面積為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)直接求解；（2）結(jié)合韋達定理與題目條件，結(jié)合三角形面積公式即可得解.【小問1詳解】由題意得：，即，則，所以的標準方程為：.【小問2詳解】由題意設(shè)，聯(lián)立，消去得：，則，則，可得，設(shè)直線與軸的交點為，且，則，故，解得.18.已知正四棱柱底面為邊長為3的正方形，，點分別在線段上，且，，點在線段上且.（1）求銳二面角的余弦值；（2）求平面將四棱柱分割成兩個多面體的體積比.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立適當?shù)目臻g直角坐標系，利用可求得點，再求出平面與平面的法向量，利用向量夾角的坐標表示求出二面角的余弦值；（2）利用與位似，延長交于點，可求得的體積，再利用正四棱柱的體積可求得剩余部分的體積，作比即可.【小問1詳解】如圖，以點為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，依題意可得，，，，，，設(shè)，則，，，，，解得，即，易知平面的一個法向量，且，設(shè)平面的一個法向量n2=由，可得，令，可得，，則，，故銳二面角的余弦值為.【小問2詳解】易知與位似，延長交于點，則，，，，，，體積比.19.若函數(shù)的定義域為，且存在非零常數(shù)，使得對任意，都有，則稱是類周期為的“類周期函數(shù)”.（1）若函數(shù)是類周期為1的“類周期函數(shù)”，證明：是周期函數(shù)；（2）已知是“類周期函數(shù)”，求的值及的類周期；（3）若奇函數(shù)是類周期為的“類周期函數(shù)”，且，求的值，并給出符合條件的一個.【答案】（1）證明見解析（2）的類周期為2（3），【解析】【分析】（1）利用“類周期函數(shù)”的定義，即可證明；（2）利用已知條件是“類周期函數(shù)”以及奇函數(shù)的性質(zhì)，即可證明；（3）利用已知條件，求出的關(guān)系，進而求出T的值，進行作答.【小問1詳解】證