吉林省長春市2024-2025學年高三數(shù)學上學期第三次摸底考試試卷

/考試時長：120分鐘 滿分：150分單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，則A. B. C. D.2.已知集合，則A. B. C. D.3.將直線繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到直線，則直線的方程是A． B． C． D．4.正項遞增等比數(shù)列，前n項的和為，若，，則A． B． C． D．5.已知曲線表示圓，則的取值范圍是A．B． C．D．6.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sin18°表示，即,設,則A． B． C． D.7.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，當時，，則A. B. C. D.8.點M、N為正四面體ABCD的內(nèi)切球球面上的兩個動點，T為棱AB上的一動點，則當取最大值時，A. B. C. D.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法中正確的是函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱C.將向左平移個單位長度，得到函數(shù)D.若方程在上有個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是10.如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形，，，為與的交點.若，，，則下列說法正確的有A．B．C．設，則D．以為球心，為半徑的球在四邊形內(nèi)的交線長為11．已知函數(shù)，則A．當時，函數(shù)單調(diào)遞增 B．當時，函數(shù)有兩個極值C．過點且與曲線相切的直線有且僅有一條D．當時，若是與的等差中項，直線與曲線有三個交點，則三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，且，則．13.若函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍是.14.已知為數(shù)列的前項和，滿足,則；．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.（13分）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項；（2）求數(shù)列的前項和.16.（15分）如圖，直角中，，,分別為、中點，將沿翻折成，得到四棱錐，為中點． （1）證明：平面； （2）若，求平面與平面夾角的余弦值．17.（15分）銳角的內(nèi)角的對邊分別為，.（1）若，求；（2）求的取值范圍．18.（17分）已知函數(shù)．（1）證明：；（2）證明：，．19.（17分）已知項數(shù)為的數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，若，且，則稱為的“伴隨數(shù)列”．（1）數(shù)列是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”，若不存在，說明理由；（2）若為的“伴隨數(shù)列"，證明:；（3）已知數(shù)列存在“伴隨數(shù)列，且，求的最大值．高三數(shù)學第三次摸底考試參考答案單選題12345678ABCADDDC多選題91011ACACDAC三、填空題12．13.14．四、解答題15.【解析】（1），，，數(shù)列是以為首項，以1為公差的等差數(shù)列，，．（2），，錯位相減得，．16.【解析】（1）證明：取中點，ABCDEPMNABCDEPMN為的中點，則，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，平面．（2）,,.ABCDEPABCDEPMNxyz平面，,又，.解法一(向量法)：以點D為坐標原點,以DE,DC,DP分別為x軸、y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,則,設平面PBC的法向量,則,即,令,得.設平面PEC的法向量,則,即,令,得.設平面與平面夾角為,則=,所以平面與平面夾角的余弦值為.解法二（幾何法）：,,，，又，且，平面．且,，.根據(jù)二面角的定義可知,即為二面角的平面角,,.所以平面與平面夾角的余弦值為.17.【解析】（1），由余弦定理知：，,.（2）,,,.又,,即.,又為銳角三角形，,解得，,.18.【解析】（1）(i)，設，當時，，在單調(diào)遞增，，即；（ii），設，，，在單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，，即．（2）由（1）可知，，變形得，令，得，取得，，，相加得．19.【解析】（1）因為，，，均為正整數(shù)所以數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”，且其“伴隨數(shù)列”為.（2）因為數(shù)列存在“伴隨數(shù)列”，所以，且∴，∴，即，∴．（3）①一