2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編：數(shù)列的概念

第1頁(yè)/共1頁(yè)2023-2025北京高二（上）期末數(shù)學(xué)匯編數(shù)列的概念一、單選題1．（2025北京101中高二上期末）在數(shù)列中，，（，），則（

）A． B．1 C． D．22．（2025北京東城高二上期末）在數(shù)列中，（

）A．2 B．2 C． D．3．（2025北京朝陽(yáng)高二上期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)，則（

）A． B． C． D．4．（2025北京八中高二上期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則（

）A． B． C． D．25．（2024北京西城高二上期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，那么（

）A．4 B．5 C．6 D．76．（2024北京通州高二上期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；②數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；③數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立；④數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，且存在常數(shù)，使得恒成立．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)7．（2024北京北師大附中高二上期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（

）A．1 B．3 C．5 D．88．（2025北京豐臺(tái)高二上期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則“是遞增數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．（2023北京朝陽(yáng)高二上期末）斐波那契數(shù)列在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用，它是由如下遞推公式給出的：，當(dāng)時(shí)，若，則（

）A． B． C． D．10．（2023北京密云高二上期末）已知數(shù)列，首項(xiàng)，，則（

）A．5 B．8 C．11 D．1511．（2023北京東城高二上期末）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，那么（

）A． B． C． D．12．（2023北京通州高二上期末）已知數(shù)列的前5項(xiàng)為1，，，，，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為（

）A． B．C． D．13．（2023北京大興高二上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A．1 B．2 C．3 D．414．（2025北京二十中高二上期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則“為常數(shù)列”是“，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題15．（2025北京101中高二上期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則滿(mǎn)足的n的最小值是65；④若，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.16．（2025北京東城高二上期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，..，其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，后來(lái)人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱(chēng)為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是.①；②；③；④.17．（2025北京八中高二上期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，且其前項(xiàng)和滿(mǎn)足，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合上述條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.18．（2024北京豐臺(tái)高二上期末）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②各項(xiàng)中的最大值為2；③，使得；④，都有.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.19．（2024北京通州高二上期末）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，使數(shù)列中存在負(fù)數(shù)項(xiàng)的一個(gè)t的值為．20．（2024北京101中高二上期末）普林斯頓大學(xué)的康威教授于1986年發(fā)現(xiàn)了一類(lèi)有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”（Lookandsaysequence），該數(shù)列由正整數(shù)構(gòu)成，后一項(xiàng)是前一項(xiàng)的“外觀描述”.例如：取第一項(xiàng)為1，將其外觀描述為“1個(gè)1”，則第二項(xiàng)為11；將11描述為“2個(gè)1”，則第三項(xiàng)為21；將21描述為“1個(gè)2，1個(gè)1”，則第四項(xiàng)為1211；將1211描述為“1個(gè)1，1個(gè)2，2個(gè)1”，則第五項(xiàng)為111221，…，這樣每次從左到右將連續(xù)的相同數(shù)字合并起來(lái)描述，給定首項(xiàng)即可依次推出數(shù)列后面的項(xiàng).則對(duì)于外觀數(shù)列，下列說(shuō)法正確的有.①若，則從開(kāi)始出現(xiàn)數(shù)字2；②若，則的最后一個(gè)數(shù)字均為；③可能既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；④若，則均不包含數(shù)字4.21．（2023北京101中高二上期末）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，若，則．22．（2023北京密云高二上期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則，的最小值為.23．（2023北京通州高二上期末）已知有窮數(shù)列的各項(xiàng)均不相等，將數(shù)列的項(xiàng)從大到小重新排序后相應(yīng)的項(xiàng)數(shù)構(gòu)成新數(shù)列，稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的“序數(shù)列”．例如，數(shù)列，，滿(mǎn)足，則其“序數(shù)列”為1，3，2．設(shè)各項(xiàng)均不相等的數(shù)列2，，，5（）為數(shù)列Ω．①若，則數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為；②若數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為3，4，1，2，則t的取值范圍為．24．（2025北京人大附中高二上期末）某校數(shù)學(xué)課外小組在坐標(biāo)紙上，為學(xué)校的一塊空地設(shè)計(jì)植樹(shù)方案如下第棵樹(shù)種植在點(diǎn)處，其中，，當(dāng)時(shí)，表示非負(fù)實(shí)數(shù)的整數(shù)部分，例如，．按此方案，第6棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．第2008棵樹(shù)種植點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)為．三、解答題25．（2025北京密云高二上期末）給定數(shù)列：，，…，，其中，且各項(xiàng)均為正整數(shù)．若數(shù)列滿(mǎn)足如下兩個(gè)條件，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)．①（）；②在三個(gè)數(shù)，，（）中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng)．(1)分別判斷數(shù)列1，2，3，6和數(shù)列2，4，5，8是否具有性質(zhì)；（直接寫(xiě)出結(jié)論）(2)若數(shù)列具有性質(zhì)，試判斷，，是否能同時(shí)為數(shù)列中的項(xiàng)，并說(shuō)明理由．26．（2025北京朝陽(yáng)高二上期末）給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列、、、滿(mǎn)足.對(duì)于正數(shù)，定義，其中表示數(shù)集中最大的數(shù).記某合，設(shè)的元素個(gè)數(shù)為.(1)寫(xiě)出集合、；(2)若，求的所有可能取值；(3)證明：存在無(wú)窮多個(gè)使得.27．（2024北京海淀高二上期末）已知整數(shù)，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，即且定義數(shù)列的“相鄰數(shù)列”為，其中或(1)已知，數(shù)列，寫(xiě)出的所有“相鄰數(shù)列”；(2)已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且的所有“相鄰數(shù)列”均為遞增數(shù)列，求這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)；(3)已知，數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，，且存在的一個(gè)“相鄰數(shù)列”，對(duì)任意的，求的最小值．28．（2023北京豐臺(tái)高二上期末）數(shù)列：，，…，滿(mǎn)足：，，或1（，2，…，），對(duì)任意i，j，都存在s，t，使得，其中且兩兩不相等．(1)若，直接寫(xiě)出下列三個(gè)數(shù)列中所有符合題目條件的數(shù)列的序號(hào)：①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2(2)記，若，證明：；(3)若，求n的最小值．29．（2023北京朝陽(yáng)高二上期末）在無(wú)窮數(shù)列中，．(1)求與的值；(2)證明：數(shù)列中有無(wú)窮多項(xiàng)不為0；(3)證明：數(shù)列中的所有項(xiàng)都不為0．

參考答案1．A【分析】列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到是以為周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期性計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，），所以，，，，所以是以為周期的周期?shù)列，則.故選：A2．D【分析】結(jié)合遞推公式可求得數(shù)列是周期為3的周期數(shù)列，然后利用遞推數(shù)列求出第3項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)樗?，，故，，故?shù)列是周期為3的周期數(shù)列，從而由知，，，故.故選：D.3．A【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可通過(guò)列舉一些項(xiàng)，進(jìn)而根據(jù)規(guī)律猜想得，即可求解.【詳解】由可得，由得，由此猜想：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，，滿(mǎn)足，故，因此故選：A4．D【解析】數(shù)列滿(mǎn)足，，可得，利用周期性即可得出．【詳解】數(shù)列滿(mǎn)足，，可得，，，，，數(shù)列的周期為3．．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5．C【分析】利用數(shù)列的遞推式依次求得即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以?故選：C.6．B【分析】先根據(jù)的正負(fù)判斷出的單調(diào)性，然后根據(jù)的單調(diào)性求解出的取值范圍，由此可判斷出正確結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以為單調(diào)遞減數(shù)列；又因?yàn)?，?dāng)且，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，由上可知，②④正確，故選：B.7．C【分析】利用及從而可求解.【詳解】由題意知，所以，故C正確.故選：C.8．B【分析】利用，結(jié)合充分必要條件的定義即可判斷.【詳解】當(dāng)是遞增數(shù)列，則，則，但是的符號(hào)不確定，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，則，故是遞增數(shù)列，即必要性成立；綜上，“是遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件.故選：B.9．B【分析】由已知得，且，從而利用裂項(xiàng)相消法可得，從而得到，進(jìn)而可求解.【詳解】由已知得，且，所以，，，累加整理可得；又因?yàn)?，即是該?shù)列的第項(xiàng)，所以.故選：B10．B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系求得.【詳解】.故選：B11．A【分析】由可直接求得結(jié)果.【詳解】由得：，.故選：A.12．A【分析】觀察數(shù)列的規(guī)律，找出合適的通項(xiàng)公式即可；或可將數(shù)列的各項(xiàng)代入選項(xiàng)中的通項(xiàng)公式進(jìn)行驗(yàn)證排除.【詳解】觀察數(shù)列的各項(xiàng)，容易發(fā)現(xiàn)，分子均為1，分母均與項(xiàng)數(shù)相同，則數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式可以為.經(jīng)驗(yàn)證，其他選項(xiàng)均不能滿(mǎn)足.故選：A.13．C【分析】根據(jù)關(guān)系解決即可.【詳解】由題知，數(shù)列的前項(xiàng)和，所以，故選：C14．C【分析】利用常數(shù)列、數(shù)列前n項(xiàng)和的意義，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】數(shù)列為常數(shù)列，則，，，，，則當(dāng)時(shí)，，即，有，因此，，，數(shù)列為常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“，”的充分必要條件.故選：C15．①④【分析】由題設(shè)計(jì)算得即可判斷①；由題設(shè)計(jì)算，再結(jié)合累加法依次計(jì)算、、和即可判斷②③；由依次計(jì)算和即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，若，由題得，，則；當(dāng)時(shí)，所以若，則，故①正確；對(duì)于②，因?yàn)?，所以，所以，所以，，，…，，所以，若，則，所以，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，由②可得，所以，所以所以若，則滿(mǎn)足的n的最小值是64，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，由題，，若，則.又由①知當(dāng)時(shí)，即，所以，，所以對(duì)任意，，所以若，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.故④正確.故答案為：①④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知條件得到和，再結(jié)合累加法計(jì)算各選項(xiàng)所需數(shù)據(jù)即可.16．①③④【分析】分別求出前七項(xiàng)，求和后可判斷①；由依次取值后累加可判斷②；由依次取奇數(shù)累加可判斷③；由遞推關(guān)系可得，依次取值后累加可判斷④.【詳解】因?yàn)榈谌?xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由數(shù)列前五項(xiàng)為1，1，2，3，5，可得，，∴，①正確；由，，…，，兩邊累加可得：即，∴，②錯(cuò)誤；由，，，…，，相加可得：．③正確；因?yàn)殪巢瞧鯏?shù)列總有，則，，，…，，；相加可得，即，④正確．故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是正確理解“斐波那契數(shù)列”含義以及遞推關(guān)系與性質(zhì)，求解時(shí)注意根據(jù)題干中的結(jié)論將遞推關(guān)系靈活轉(zhuǎn)換.17．（答案不唯一）【分析】根據(jù)條件得到數(shù)列的性質(zhì),按性質(zhì)寫(xiě)出一個(gè)數(shù)列即可.【詳解】∵，∴數(shù)列時(shí)一個(gè)增數(shù)列；∵，∴∴故答案為：（答案不唯一）18．①②④【分析】令，求出可以判斷①，將已知變形可判斷③，判斷數(shù)列的增減性可判斷②和④.【詳解】令得即，解得令得，因?yàn)樗越獾?，故①正確.依題意有，，所以所以有，，故③不正確，且所以因?yàn)轱@然是隨著的增大而遞增的，且，所以即所以數(shù)列是遞減數(shù)列，所以所以②正確.所以所以④正確.故答案為：①②④.19．（答案不唯一，中的一個(gè)值）【分析】記，然后分類(lèi)討論、，當(dāng)以及時(shí)可直接根據(jù)通項(xiàng)公式的取值正負(fù)作出判斷，當(dāng)時(shí)，根據(jù)的正負(fù)作出判斷，由此可求解出結(jié)果.【詳解】記，當(dāng)時(shí)，即，顯然恒成立，不滿(mǎn)足要求；當(dāng)時(shí)，或，若，則，所以恒成立，不滿(mǎn)足要求；若，此時(shí)，必然滿(mǎn)足數(shù)列中存在負(fù)數(shù)項(xiàng)，由上可知，的可取值的范圍是，故可取，故答案為：（答案不唯一，中的一個(gè)值）.20．②③④【分析】由外觀數(shù)列的定義可判斷①和②；舉例子可判斷③；由反證法，結(jié)合外觀數(shù)列的定義可判斷④.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，由外觀數(shù)列的定義可得：，，，故①錯(cuò)；對(duì)于②，由外觀數(shù)列的定義可知，每次都是從左向右描述，所以第一項(xiàng)的始終在最右邊，即最后一個(gè)數(shù)字，故②正確；對(duì)于③，取，則，此時(shí)既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，故③正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，由外觀數(shù)列的定義可得：，，，.設(shè)第一次出現(xiàn)數(shù)字4，則中必出現(xiàn)了4個(gè)連續(xù)的相同數(shù)字.而的描述必須包含“個(gè)，個(gè)”，顯然的描述不符合外觀數(shù)列的定義.所以當(dāng)時(shí)，均不包含數(shù)字4，故④正確.故答案為：②③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的新定義、根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng)及利用遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì).解題關(guān)鍵在于理解數(shù)列的新定義，明確數(shù)列的遞推關(guān)系式.根據(jù)數(shù)列的定義可判斷①和②；舉出特殊例子可判斷③；通過(guò)反證法及數(shù)列的定義可判斷④.21．【分析】由遞推式，結(jié)合依次求出、即可.【詳解】由，可得：，又，可得：.故答案為：.22．【分析】利用求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，，所以，所以，由于時(shí)，，是遞增數(shù)列，，所以的最小值為.故答案為：；23．，，，.【分析】根據(jù)“序數(shù)列”定義直接求解即可.【詳解】①因?yàn)?，所以?shù)列Ω為：，由“序數(shù)列”定義可得：時(shí)，數(shù)列Ω的“序數(shù)列”為，，，.②因?yàn)閿?shù)列Ω的“序數(shù)列”為3，4，1，2，而數(shù)列Ω為2，，，5，由“序數(shù)列”定義可得：，解得：，所以的取值范圍為，故答案為：，，，；.24．(1,2)

(3,402)【詳解】T組成的數(shù)列為1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)．一一代入計(jì)算得數(shù)列為1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5……；數(shù)列為1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4…….因此，第6棵樹(shù)種在(1,2)，第2008棵樹(shù)種在(3,402)．25．(1)數(shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列不具有性質(zhì)(2)2，4，7不能同時(shí)為數(shù)列中的項(xiàng)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由題意，通過(guò)驗(yàn)證即可判斷數(shù)列和數(shù)列是否具有性質(zhì)；（2）利用反證法，假設(shè)2，4，7同時(shí)為數(shù)列中的項(xiàng)，則8，14，28中至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，推出矛盾結(jié)果，則2，4，7不能同時(shí)為數(shù)列中的項(xiàng)．【詳解】（1）數(shù)列具有性質(zhì)，數(shù)列不具有性質(zhì)．?dāng)?shù)列1，2，3，6，因?yàn)?，滿(mǎn)足①；當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足②，對(duì)于其他組合，同理可以驗(yàn)證在三個(gè)數(shù)，，中至少有一個(gè)數(shù)是數(shù)列中的項(xiàng)，所以數(shù)列具有性質(zhì)；數(shù)列2，4，5，8，因?yàn)?，滿(mǎn)足①；當(dāng)時(shí)，，，這三個(gè)數(shù)都不是數(shù)列中的項(xiàng)，所以不滿(mǎn)足②，則數(shù)列不具有性質(zhì)．（2）2，4，7不能同時(shí)為數(shù)列中的項(xiàng)．理由如下：假設(shè)2，4，7同時(shí)為數(shù)列中的項(xiàng)，又因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以由②可知，8，14，28中至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)．所以數(shù)列的最后一項(xiàng)，且其項(xiàng)數(shù)大于或等于，即．不妨取數(shù)列的最后四項(xiàng)，，，，由①可知，．對(duì)于，，，由②可知，有成立．對(duì)于，，，由②可知，有成立．所以，即成立，這與①矛盾．所以2，4，7不可能同時(shí)是數(shù)列中的項(xiàng)．26．(1)，(2)、、、(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）寫(xiě)出數(shù)列、，根據(jù)題中定義可得出集合、；（2）由題意可得，由（1）可知，或不合乎題意，可得出，推導(dǎo)出，求出的可能取值，然后逐一檢驗(yàn)即可得解；（3）討論，和，兩種情況，結(jié)合題中的定義，求出、，即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列，，，則，數(shù)列，，，，則.（2）由題意可得.由（1）可知，當(dāng)或時(shí)，，不合乎題意，所以，，對(duì)于給定的，因?yàn)?，所以，，即，?dāng)時(shí)，且，所以，，，因?yàn)椋?，，所以，，即，又因?yàn)?，解得、、、或，?dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，，，不合乎題意.綜上所述，的所有可能取值有、、、.（3）當(dāng)，時(shí)，若，因?yàn)?，所以，或，所以，、、、中不同的值為、、、、，共個(gè)，若，因?yàn)椋?，、、、各不相等，所以，、、、中不同的值有個(gè)，所以，；當(dāng)，時(shí)，若，因?yàn)?，所以，或，所以，、、、中不同的值為、、、、，共個(gè)，若，因?yàn)?，所以，、、、各不相同，所以，、、、中不同的值有個(gè)，所以，.所以，對(duì)任意的，，故結(jié)論得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解新定義題型的步驟：（1）理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.（2）重視“舉例”，利用“舉例”檢驗(yàn)是否理解和正確運(yùn)用“新定義”；歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類(lèi)情況.（3）類(lèi)比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問(wèn)題.27．(1)；；；.(2)11個(gè)(3)37【分析】（1）根據(jù)相鄰數(shù)列的概念直接求解即可；（2）任取的一個(gè)“相鄰數(shù)列”，根據(jù)相鄰數(shù)列的概念可得且，對(duì)于的取值分情況討論，利用為遞增數(shù)列可得是公差為1的等差數(shù)列，列不等式組求解即可；（3）令可得對(duì)任意，設(shè)，證明與要么是空集，要么是連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成的集合，進(jìn)而根據(jù)定義求解即可.【詳解】（1）根據(jù)“相鄰數(shù)列”的概念可知，，或，或，所以的所有“相鄰數(shù)列”有；；；.（2）任取的一個(gè)“相鄰數(shù)列”，因?yàn)榛?，或，所以有且，?duì)于的取值分以下4種情形：（a），（b），（c），（d）由數(shù)列是遞增的整數(shù)數(shù)列，前3種情形顯然都能得到，所以只需考慮第4種情形，遞增，，即，由是遞增的整數(shù)數(shù)列得，從而是公差為1的等差數(shù)列，于是，則，即滿(mǎn)足數(shù)列的有11個(gè).（3）令，所以對(duì)任意，設(shè)，則且，先證明與要么是空集，要么是連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成的集合，若，令，則，由得，所以，即，即是空集，或是連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成的集合．若，令，則，由得，所以，即，即是空集，或是連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成的集合，因此，的分布只可能是如下三種情況：（i），此時(shí)，對(duì)任意的，由得，所以對(duì)任意的，注意到，所以，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到；（ii）存在整數(shù)，使得對(duì)任意的，對(duì)任意的，所以（iii）．此時(shí)，對(duì)任意的，與情形1類(lèi)似，對(duì)任意的，注意到，所以，綜上，的最小值為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)“相鄰數(shù)列”的定義，按照或分類(lèi)討論不同情形，結(jié)合數(shù)列的定義求解即可.28．(1)②③(2)證明見(jiàn)解析(3)2030【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)列滿(mǎn)足的要求一一判斷所給數(shù)列，可得結(jié)論；（2）設(shè)數(shù)列中1，2，3出現(xiàn)的頻數(shù)依次為，判斷出的取值情況，即可證明結(jié)論；（3）設(shè)出現(xiàn)的頻數(shù)依次為，同（2）判斷的取值情況，即可由取最小值時(shí)求得n的最小值，然后分類(lèi)討論，證明此時(shí)符合題目要求即可.【詳解】（1）對(duì)于①，由于，故或，不合題意；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，存在s，t兩兩不相等，使得；當(dāng)時(shí)，存在s，t兩兩不相等，使得；當(dāng)時(shí)，存在s，t兩兩不相等，使得；符合題意；同理③也符合題意，故所