高考數(shù)學(xué)新思維補充材料試題及答案

高考數(shù)學(xué)新思維補充材料試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)在\(x=1\)處取得極值，則該極值是（）

A.極大值

B.極小值

C.沒有極值

D.無法確定

2.下列數(shù)列中，存在無窮多項是奇數(shù)的是（）

A.\(1,3,5,7,9,\ldots\)

B.\(2,4,6,8,10,\ldots\)

C.\(1,4,9,16,25,\ldots\)

D.\(3,6,9,12,15,\ldots\)

3.若\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)，則\(\cosA\)的值是（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{1}{3}\)

C.\(\frac{2}{3}\)

D.\(\frac{3}{4}\)

4.若\(\log_2x=3\)，則\(x\)的值是（）

A.1

B.2

C.4

D.8

5.若\(\sin\alpha=\frac{1}{2}\)，\(\cos\beta=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，則\(\sin(\alpha+\beta)\)的值是（）

A.\(\frac{1}{2}\)

B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

C.1

D.0

6.若\(a,b,c\)成等差數(shù)列，\(a+b+c=9\)，\(ab+bc+ca=12\)，則\(a^2+b^2+c^2\)的值是（）

A.15

B.18

C.21

D.24

7.若\(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{4}{ab}\)，則\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\)的值是（）

A.2

B.4

C.8

D.16

8.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)的值是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若\(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\)，\(\overrightarrow=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)的值是（）

A.5

B.6

C.7

D.8

10.若\(f(x)=x^2-4x+4\)，則\(f(x)\)的圖像是（）

A.拋物線

B.雙曲線

C.直線

D.圓

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若\(a^2+b^2=c^2\)，則\(\triangleABC\)是直角三角形。（）

2.對于任意的實數(shù)\(x\)，\(x^2\geq0\)成立。（）

3.若\(\sin\alpha=\cos\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）

4.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的根，則\(a+b=5\)。（）

5.\(\log_28=3\)。（）

6.\(\tan45^\circ=1\)。（）

7.若\(a,b,c\)成等比數(shù)列，\(abc=27\)，則\(a^2+b^2+c^2=27\)。（）

8.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}=0\)。（）

9.\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)當(dāng)且僅當(dāng)\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow\)垂直。（）

10.若\(f(x)=x^3\)，則\(f(x)\)在\(x=0\)處取得極值。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述如何判斷一個二次函數(shù)的圖像是開口向上還是開口向下。

2.如何利用三角函數(shù)的周期性來求函數(shù)\(y=\sinx\)在區(qū)間\([0,2\pi]\)上的圖像？

3.請簡述求解一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的判別式\(\Delta=b^2-4ac\)的實際意義。

4.如何根據(jù)向量的坐標(biāo)來計算兩個向量的點積？請舉例說明。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。請結(jié)合實例說明如何通過導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，并舉例說明。

2.論述數(shù)列的收斂性和極限的概念。請解釋什么是數(shù)列的收斂性，以及如何判斷一個數(shù)列是否收斂。結(jié)合實例說明收斂數(shù)列的極限的概念及其求法。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.若\(\log_216=x\)，則\(x\)的值是（）

A.2

B.4

C.8

D.16

2.若\(\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，則\(\cos\alpha\)的值是（）

A.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)

B.\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)

C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)

D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)

3.若\(a^2-b^2=9\)，則\((a+b)(a-b)\)的值是（）

A.3

B.9

C.12

D.18

4.若\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{xy}\)，則\(x+y\)的值是（）

A.2

B.4

C.6

D.8

5.若\(\tan\alpha=-1\)，則\(\alpha\)的取值范圍是（）

A.\(\alpha\in(0,\pi)\)

B.\(\alpha\in(\pi,2\pi)\)

C.\(\alpha\in(2\pi,3\pi)\)

D.\(\alpha\in(3\pi,4\pi)\)

6.若\(\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\)，\(\overrightarrow=\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\)，則\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow\)的夾角是（）

A.\(45^\circ\)

B.\(90^\circ\)

C.\(135^\circ\)

D.\(180^\circ\)

7.若\(f(x)=x^3-6x^2+9x\)，則\(f(x)\)的圖像在\(x=0\)處的切線斜率是（）

A.0

B.1

C.3

D.6

8.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)，則\(\lim_{x\to\infty}\frac{\cosx}{x}\)的值是（）

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

9.若\(\triangleABC\)中，\(a=5\)，\(b=6\)，\(c=7\)，則\(\triangleABC\)是（）

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等邊三角形

D.不等邊三角形

10.若\(f(x)=e^x\)，則\(f(x)\)的圖像是（）

A.拋物線

B.雙曲線

C.直線

D.圓

試卷答案如下：

一、多項選擇題答案及解析思路：

1.B.極小值。因為\(f'(x)=3x^2-3\)，在\(x=1\)處\(f'(1)=0\)，且\(f''(x)=6x\)，在\(x=1\)處\(f''(1)=6>0\)，所以\(x=1\)處為極小值。

2.C.\(1,4,9,16,25,\ldots\)。這是一個平方數(shù)列，所有項都是奇數(shù)。

3.A.極大值。因為\(\cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，代入\(a=3\)，\(b=4\)，\(c=5\)得\(\cosA=\frac{1}{2}\)，在\(\triangleABC\)中，\(\cosA\)為正值，所以\(A\)為銳角，故\(A\)處為極大值。

4.C.4。因為\(\log_28=3\)意味著\(2^3=8\)，所以\(x=8\)。

5.A.\(\frac{1}{2}\)。因為\(\sin\alpha=\cos\beta\)意味著\(\alpha\)和\(\beta\)的正弦值相等，而\(\sin\alpha\)和\(\cos\beta\)都是正弦函數(shù)的值，所以\(\alpha=\frac{\pi}{2}-\beta\)，所以\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\beta+\beta\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1\)。

6.C.21。由等差數(shù)列的性質(zhì)\(a+b+c=3d\)，\(ab+bc+ca=3a^2\)得\(a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)=9^2-2\times12=21\)。

7.B.4。由\(\frac{1}{a}+\frac{1}=\frac{4}{ab}\)得\(ab=4\)，所以\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=\frac{(a+b)^2-2ab}{(ab)^2}=\frac{4^2-2\times4}{4^2}=4\)。

8.A.1。因為\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{\cosx\cdotx}=\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{1}{\cosx}=1\cdot1=1\)。

9.A.5。因為\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\cos\theta\)，其中\(zhòng)(\theta\)是\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow\)的夾角，當(dāng)\(\theta=0^\circ\)時，\(\cos\theta=1\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\)。

10.A.拋物線。因為\(f(x)=x^2-4x+4\)是一個二次多項式，其圖像是一個開口向上的拋物線。

二、判斷題答案及解析思路：

1.√。根據(jù)勾股定理，若\(a^2+b^2=c^2\)，則\(\triangleABC\)是直角三角形。

2.√。因為任何實數(shù)的平方都是非負(fù)的。

3.×。三角函數(shù)的值可以是正也可以是負(fù)，所以\(\sin\alpha=\cos\beta\)并不一定意味著\(\alpha=\beta\)。

4.√。根據(jù)韋達定理，\(a+b=-\frac{a}\)，代入\(a\)和\(b\)的值得到\(a+b=5\)。

5.√。因為\(2^3=8\)。

6.√。因為\(\tan45^\circ=\frac{\sin45^\circ}{\cos45^\circ}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=1\)。

7.×。由等比數(shù)列的性質(zhì)\(a\cdotb\cdotc=a^3\)，所以\(a^2+b^2+c^2\neq27\)。

8.×。因為\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{x}\)的極限不存在。

9.√。當(dāng)\(\overrightarrow{a}\)和\(\overrightarrow\)垂直時，它們的點積為0。

10.×。因為\(f(x)=x^3\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)為0，但并不意味著它在該點取得極值。

三、簡答題答案及解析思路：

1.函數(shù)\(f(x)\)的圖像開口向上，當(dāng)且僅當(dāng)\(f''(x)>0\)對所有\(zhòng)(x\)成立。函數(shù)\(f(x)\)的圖像開口向下，當(dāng)且僅當(dāng)\(f''(x)<0\)對所有\(zhòng)(x\)成立。

2.利用周期性，\(\sinx\)的周期是\(2\pi\)，所以\(\sinx\)在\([0,2\pi]\)上的圖像可以通過將\(\sinx\)在\([0,\pi]\)上的圖像向右平移\(\pi\)個單位得到。

3.判別式\(\Delta=b^2-4ac\)可以用來判斷一元二次方程的根的情況。當(dāng)\(\Delta>0\)時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)\(\Delta=0\)時，方程有兩個相等的實