五年級(jí)奧數(shù)數(shù)的奇偶性一

第7講奇偶性（一）

整數(shù)依據(jù)能不能被2整除，可以分為兩類：

（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

0,2,4,6,8,10,12,14,16,…

（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如

1,3,5,7,9,11,13,15,17,…

整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)大小相差1,

所以確定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的

形式，其中n為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+l

的形式，其中n為整數(shù)。

每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有

如下一些重要性質(zhì)：

（1）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）確定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同

的數(shù)的和（或差）確定是奇數(shù)。反過來，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這

兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)確定是一奇一

偶。

（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶

數(shù)。隨意多個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。

（3）兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積確定是偶數(shù)。

（4）若干個(gè)數(shù)相乘，假如其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，則積必是偶數(shù)；

假如全部因數(shù)都是奇數(shù)，則積就是奇數(shù)。反過來，假如若干個(gè)數(shù)的積是偶

數(shù)，則因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；假如若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，則全部的因

數(shù)都是奇數(shù)。

(5)在能整除的狀況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能

得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)確定不能被偶數(shù)整除。

(6)偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

因?yàn)?2n)2=4n2=4Xn2,所以(2n),能被4整除；

因?yàn)?2n+l)2=4n2+4n+l=4X(n2+n)+1,所以(2n+l)?除以4余1。

(7)相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

(8)假如一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)(包括1和這個(gè)數(shù)本身)，則這個(gè)

數(shù)確定是平方數(shù)；假如一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，則這個(gè)數(shù)確定不是平方數(shù)。

整數(shù)的奇偶性能解決很多與奇偶性有關(guān)的問題。有些問題表面看來好

像與奇偶性一點(diǎn)關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但

只要想方法編上號(hào)碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。

例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

1+2+3+4+…+1997+1998。

分析與解：本題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來推斷這個(gè)和的奇偶性。

但假如能不計(jì)算，干脆分析推斷出和的奇偶性，則解法將更加簡(jiǎn)潔。依據(jù)

奇偶數(shù)的性質(zhì)(2),和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中

的偶數(shù)無關(guān)。1?1998中共有999個(gè)奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和

是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。

例2能否在下式的口中填上“+”或，使得等式成立？

1口2口3口4口5口6口7口8口9二66。

分析與解：等號(hào)左端共有9個(gè)數(shù)參與加、減運(yùn)算，其中有5個(gè)奇數(shù)，

4個(gè)偶數(shù)。5個(gè)奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因?yàn)?/p>

“奇數(shù)+偶數(shù)二奇數(shù)”，所以題目的耍求做不到。

例3隨意給出一個(gè)五位數(shù)，將組成這個(gè)五位數(shù)的5個(gè)數(shù)碼的依次隨意

變更，得到一個(gè)新的五位數(shù)。則，這兩個(gè)五位數(shù)的和能不能等于99999?

分析與解：假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999,則有下式：

其中組成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同。因?yàn)閮蓚€(gè)個(gè)位數(shù)相加，和不

會(huì)大于9+9=18,豎式中和的個(gè)位數(shù)是9,所以個(gè)位相加沒有向上進(jìn)位，即

兩個(gè)個(gè)位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等

于9。所以組成兩個(gè)加數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和等于9+9+9+9+9=45,是奇數(shù)。

另一方面，因?yàn)榻M成兩個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼完全相同，所以組成兩個(gè)加

數(shù)的10個(gè)數(shù)碼之和，等于組成第一個(gè)加數(shù)的5個(gè)數(shù)碼之和的2倍，是偶

數(shù)。

奇數(shù)W偶數(shù)，沖突的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個(gè)五位數(shù)的和等于99999,所

以假設(shè)不成立，即這兩個(gè)數(shù)的和不能等于99g99。

例4在一次校友聚會(huì)上，久別重逢的老同學(xué)相互頻頻握手。請(qǐng)問：握

過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請(qǐng)說明理由。

分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對(duì)于甲是握手1

次，對(duì)于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不

論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)確定是偶數(shù)。

把聚會(huì)的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)

是奇數(shù)的人。

（大數(shù)減小數(shù)），再將這七個(gè)差相乘。嬉戲規(guī)則是：若積是偶數(shù)，則甲勝;

若積是奇數(shù)，則乙勝。請(qǐng)說明誰將獲勝。

4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每?jī)扇碎g的通信量相等，即甲給乙

寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)

還是偶數(shù)？

5.A市舉辦五年級(jí)小學(xué)生“春暉杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽，競(jìng)賽題30道，記分方

法是：底分15分，每答對(duì)一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯(cuò)一

道扣1分。假如有333名學(xué)生參賽，則他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？

6.把下圖中的圓圈隨意涂上紅色或藍(lán)色。是否有可能使得在同一條直線

上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。

7.紅星影院有1999個(gè)座位，上、下午各放映一場(chǎng)電影。有兩所學(xué)校

各有1999名學(xué)生包場(chǎng)看這兩場(chǎng)電影，則確定有這樣的座位，上、下午在

這個(gè)座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？

整數(shù)依據(jù)能不能被2整除，可以分為兩類：

（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如

0,2,4,6,8,10,12,14,16,…

（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如

1,3,5,7,9,11,13,15,17,…

整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個(gè)整數(shù)大小相差1,

所以確定是一奇一偶。因?yàn)榕紨?shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的

形式，其中n為整數(shù)；因?yàn)槠鏀?shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+l

的形式，其中n為整數(shù)。

每一個(gè)整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個(gè)屬性叫做這個(gè)數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有

如下一些重要性質(zhì)：

（1）兩個(gè)奇偶性相同的數(shù)的和（或差）確定是偶數(shù)；兩個(gè)奇偶性不同

的數(shù)的和（或差）確定是奇數(shù)。反過來，兩個(gè)數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這

兩個(gè)數(shù)奇偶性相同；兩個(gè)數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個(gè)數(shù)確定是一奇一

偶。

（2）奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和（或差）是偶

數(shù)。隨意多個(gè)偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。

（3）兩個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個(gè)奇數(shù)與一個(gè)偶數(shù)的乘積確定是偶數(shù)。

（4）若干個(gè)數(shù)相乘，假如其中有一個(gè)因數(shù)是偶數(shù)，則積必是偶數(shù)；

假如全部因數(shù)都是奇數(shù)，則積就是奇數(shù)。反過來，假如若干個(gè)數(shù)的積是偶

數(shù)，則因數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)；假如若干個(gè)數(shù)的積是奇數(shù)，則全部的因

數(shù)都是奇數(shù)。

（5）在能整除的狀況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能

得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)確定不能被偶數(shù)整除。

（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。

因?yàn)椋?n）Mn2=4Xn2,所以（2n）,能被4整除;

因?yàn)椋?n+l）2=4n2+4n+l=4X（n2+n）+1,所以（2n+l）?除以4余1。

（7）相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。

（8）假如一個(gè)整數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)（包括1和這個(gè)數(shù)本身），則這個(gè)

數(shù)確定是平方數(shù)；假如一個(gè)整數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù)，則這個(gè)數(shù)確定不是平方數(shù)。

練習(xí)7

1.五個(gè)奇數(shù)的和不行能等于22。

2.與例3類似，這位同學(xué)計(jì)算有錯(cuò)誤。

3.甲勝。

提示：七個(gè)整數(shù)中，奇、偶數(shù)的個(gè)數(shù)確定不等，假如奇（偶）數(shù)多，

則至少有一列的兩個(gè)數(shù)都是奇（偶）數(shù)，這列的差是偶數(shù)，七個(gè)差中有一

個(gè)偶數(shù)，七個(gè)差之積必是偶數(shù)，所以甲勝。

4.偶數(shù)。

提示：因?yàn)檫@次活動(dòng)是有來有往，所以總的通信數(shù)是偶數(shù)。乂因?yàn)閷?/p>

了偶數(shù)封信的人寫信的總數(shù)是偶數(shù)，所以寫了奇數(shù)封信的人寫信的總數(shù)也

是偶數(shù)。因?yàn)橹挥信紨?shù)個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)，所以寫奇數(shù)封信的人數(shù)是偶數(shù)。

5.奇數(shù)。提示：每個(gè)同學(xué)的得分都是奇數(shù)。

6.不行能。

提示：假設(shè)在同一條直線上的