振動(dòng)理論及應(yīng)用期末復(fù)習(xí)題題題庫(kù)-西南交通大學(xué)

2008年振動(dòng)力學(xué)期末考試試題

第一題（20分）

1、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：重物c的質(zhì)量〃”勻

質(zhì)桿AB的質(zhì)量加2，長(zhǎng)為L(zhǎng),勻質(zhì)輪O的質(zhì)量m3,

彈簧的剛度系數(shù)晨當(dāng)A5桿處于水平時(shí)為系統(tǒng)的靜平

衡位置。試采用能量法求系統(tǒng)微振時(shí)的固有頻率。

解：

系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以重物。的

位移），作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí)＞，=（）,

此時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能為零。

AB轉(zhuǎn)角：（p=yiL

系統(tǒng)動(dòng)能：

mi動(dòng)能：刀二g町》2

1,11,711,“011,

n12動(dòng)能：T2=7J2①2=5（5加2乙~）0=萬(wàn)］"，/）（￡）~二5（4'"2）’

2

m3動(dòng)能:T3="渥R(shí)）4）2=巖砥）y2

42，KLL

系統(tǒng)勢(shì)能：

111r

v=一?gy+62g（5）'）+-^（-yY

在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢(shì)力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因而有:

T+V=:（叫+J和+〈川3）12一叫舒+:%g）’+〈女（＜）'）2=E

上式求導(dǎo).得系統(tǒng)的微分方程為：

）'+-------j------j—y=￡

4（7??.+—+—，〃1）

3-2

固有頻率和周期為:

“11

4（m1+-/w24--m3）

2、質(zhì)量為加的勻質(zhì)圓盤(pán)置于粗糙?水平面上，輪緣上繞有

不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩并通過(guò)定滑輪A連在質(zhì)量為〃?2的物塊B

上；輪心C與剛度系數(shù)為k的水平彈簧相連；不計(jì)滑輪A,

繩及彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)自彈簧原長(zhǎng)位置靜止釋放。試采用

能量法求系統(tǒng)的固有頻率，

解：系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以重物8的位移

x作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí)x=0,此時(shí)系統(tǒng)

的勢(shì)能為零。

2

物體B動(dòng)能：T,=-tn2x

2-

輪子與地面接觸點(diǎn)為速度瞬心，則輪心速度為匕=4比，角速度為0=」-文，轉(zhuǎn)過(guò)的角度

22R

為6=」-工。輪子動(dòng)能：

2R

T?=（陽(yáng)內(nèi)+（焉土2）=ggg￡2）

系統(tǒng)勢(shì)能：

V=-kx；.=-k（0R）2=-k（—xR）2=-x2

2'222RX

在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢(shì)力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有：

22

T+V（弓+fn2）x+-x=E

上式求導(dǎo)得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：

“———x=()

3網(wǎng)+8叫

固有頻率為:

_I2k

V3〃(十8〃?2

第二題（20分）

1、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，重物質(zhì)量為m,外殼質(zhì)量為2〃!，每個(gè)

彈簧的剛度系數(shù)均為鼠設(shè)外殼只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)。采用影響

系數(shù)方法：（1）以笛和“2為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的微分方程;

（2）求系統(tǒng)的固有頻率。

解：

系統(tǒng)為二自由度系統(tǒng)，

當(dāng)xl=l,x2=0時(shí)，有：kll=2k,k21=-2k

當(dāng)x2=l,x2=l時(shí)，有：k22=4k,kl2=-2k

因此系統(tǒng)剛度矩陣為:

2k-2k

-2k4A

系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：

m0

02m

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

m0-2k-2k■()■

+_

02m元_-2k4人兒0

頻率方程為:

2k-mar-2k

A((y)==0

-2k4k-2mco2

解出系統(tǒng)2個(gè)固有頻率:

lkr-k

=(2—A/2)—?G)2=(2+V^)一

mm

2、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，物體A、8的質(zhì)量均為機(jī)，彈簧

的剛度系數(shù)均為火，剛桿4。的質(zhì)量忽略不計(jì)，桿水平

時(shí)為系統(tǒng)的平衡位置。采用影響系數(shù)方法，試求：(1)

以X,和足為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程；(2)

系統(tǒng)的固有頻率方程。

解：

系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為二白由度振動(dòng)系統(tǒng)，以物體A和B

在鉛垂方向的位移為和土為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。

當(dāng)xl=l,x2=()時(shí)，AD轉(zhuǎn)角為，=1/3L,兩個(gè)

彈簧處的彈性力分別為人團(tuán)和2AH。對(duì)D點(diǎn)取

力矩平衡，有：=—kL；另外有攵21=一攵￡。

同理，當(dāng)x2=l,x2=l時(shí)，可求得：

k=kL,=—kL

因此，一yy系統(tǒng)剛度矩陣為:

—kL-kL

9

-kLkL

系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：

m0

0m

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

tn—kL—kL20

+9

00

-kLkLJLxzJ

頻率方程為:

14kL2

--------tnco-kL

9=0

A

-kLkL-mcoi

BP：

9tn2co4-23kmLc『+5k2l3=0

第三題(20分)

在圖不振動(dòng)系統(tǒng)中,已知：物體的質(zhì)量加、加2及彈簧的剛度系數(shù)為心、攵2、心、加⑴

采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程；

(2)若A產(chǎn)治=公=依，又依=2心，求系統(tǒng)固有

頻率；(3)取率=1,61=8/9,“2=1，系統(tǒng)初

始位移條件為xi(0)=9和x2(0)=0,初始速度都

為零，采用模態(tài)疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)。

解：

(1)系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)。

當(dāng)xl=1,x2=0時(shí)，有：

kll=kl+k2+k4,k21=k2

當(dāng)x2=l,x2=l時(shí)，有：k22=k2+k3,kl2=-k2.因比，系統(tǒng)剛度矩陣為:

K+攵2+左4—k?

—k7+k-.

系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為:

"A0

0m、

_4一

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：

0攵］+女2+%40

+

0一0

m2x2k2“2+*3」L“2

(2)當(dāng)匕=自=*=勺，％2=2&O時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程用矩陣表示為:

04ko~2ko為0

4-

-2人()3%)」x

0m720

頻率方程為:

(4&0-"282)(3%)_〃/2)-44；=0

42

mAm2co—(3/7?!+4m2)k(yco+8&j=0

求得:

———(3町+4孫-欣-8叫叫+16欣)

1mxm2

co：=——----(3〃21+4機(jī),+《9團(tuán)；-8町〃+16底)

2mlm2

(3)當(dāng)k()=1,〃?尸8/9,川2=1時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)量陣:

8

0

M=9

01

系統(tǒng)剛度陣:

4-2

K=

-23

固有頻率為:

23

"5。；二6

主模態(tài)矩陣為:

3_3

勿=4-2

11

主質(zhì)量陣:

一3

-o

產(chǎn)仃=2

M03

主剛度陣:

9

-0

4

0

18

模態(tài)空間初始條件:

4(0)王(0)4<7.(0)x,(0)l0

一0T一0Tx(0)|

生（°）.2

利(0)x2(0)-4

模態(tài)響應(yīng):

%+。：/=（），互2+?；%=（）

即：

%(f)=4COSG/,夕2(f)=-4cos6y2f

因此有:

$(f)①q](03COS691/+6COS692/

r

/2()J[%。)

4cOS691/-4cOS692r

第四題（20分）

一勻質(zhì)桿質(zhì)量為m,長(zhǎng)度為L(zhǎng),兩端用彈簧支承，

彈簧的剛度系數(shù)為ki和k2o桿質(zhì)心C上沿X方向作用

有簡(jiǎn)諧外部激勵(lì)sin詡。圖示水平位置為靜平衡位置。

（1）以X和。為廣義坐標(biāo)，采用影響系數(shù)方法建立系

統(tǒng)的振動(dòng)微分方程：（2）取參數(shù)值為m=12,L=\,k]=\,

&2=3,求出系統(tǒng)固有頻率；（2）系統(tǒng)參數(shù)仍取前值，試問(wèn)當(dāng)外部激勵(lì)的頻率。為多少時(shí),

能夠使得桿件只有。方向的角振動(dòng)，而無(wú)x方向的振動(dòng)?

解：

（1）系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，選X、，為廣義坐標(biāo)，X為質(zhì)心的縱向位移，，為

剛桿的角位移，如圖示。

當(dāng)X=l、0=0時(shí):

hi=k[+k2mkjg

當(dāng)工=0、。=1時(shí):

LJ}

七=(&-匕)3，&2=6+&)N

匕-i附?N&二.1

因此，剛度矩陣為:

也2-卜”

k、+k2

氏_匕）'|1}

(攵?+^2)—

質(zhì)量矩陣為:

m0

M二八1,2

0—mL

12

系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程:

m0%+&也一sinryr

0—ml3L1}00

12

(k2-^i)—(匕+女2)彳

(2)當(dāng)m=12,L=,A=l,上=3時(shí),系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為:

120x4xsin69/

+

010100

頻率方程為:

4一12雨1

=0

11一就

即:

12①:-16就+3=0

求得:

,4±V7

xx

(3)令sin。，代入上述動(dòng)力學(xué)方程，有:

0~0

4-12步1Ti1

1\-(o200

由第二行方程，解得至=代入第一行的方程，有:

1-692

x=—————，分=一[(4-12。2)-1]

(4-12療)-1

要使得桿件只有。方向的侑振動(dòng)，而無(wú)X方向的振動(dòng)，則需元=(),因此啰=1。

第五題(20分)

如圖所示等截面懸臂梁,梁長(zhǎng)度為乙彈性模量為E,

橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為/,梁材料密度為夕。

在梁的4位置作用有集中載荷尸?)。已知梁的初始

條件為：y(xfi)=f}(x),y(x,0)=/2(x)o(1)

推導(dǎo)梁的正交性條件;(2)寫(xiě)出求解梁的響應(yīng)y(xJ)

的詳細(xì)過(guò)程。

(假定已知第i階固有頻率為幼-相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為4(外，i=l~oo)

提示：梁的動(dòng)力學(xué)方程為：JH.vg)]十=其中

dx-dx-dt2

/(x,0=F(t)3(x-a),3為6函數(shù)。

解：

(1)梁的彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：

算E1駕釣+小=0

dxdi2

y(x,f)可寫(xiě)為:

y(x")==(ff(x)asm(cot+0)

代入梁的動(dòng)力學(xué)方程，有：

(EW=pS(t)

設(shè)與例、叼對(duì)應(yīng)有4、內(nèi),有:

(EI^)n=corpS^(1)

(E70；)"=cojpS(j)j(2)

式(1)兩邊乘以內(nèi)并沿梁長(zhǎng)對(duì)x積分，有：

jO’(EIgdx=①；￡pS^jdx(3)

利用分部積分，上式左邊可寫(xiě)為：

(內(nèi)(￡/娟"公二%(曰娟[：—+f以歐/公(4)

由于在梁的簡(jiǎn)單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或力矩中的一個(gè)同時(shí)為零，所以，

上式右邊第一、第二項(xiàng)等于零，成為：

、他(El(j)：)"dx=￡El$戒dx

將上式代入(3)中，有：

￡EI姒％dx=①;、金pS(p曲jdx(5)

式(2)乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)x積分，同樣可得到:

￡El蝌dx=/(pS^dx

(6)

由式(5)、(6)得:

(co；-/j)￡pSMflx=0(7)

如果iwj時(shí)，①尸①j,則有：

￡pSMjdx=0當(dāng)*/

上式即梁的主振型關(guān)于質(zhì)帚的正交性.再由(3)及(6)可得:

歌沖?=()當(dāng)iHj

p.(E/^Wr=O當(dāng)i*j

上兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。

1

當(dāng)]=/時(shí)，式(7)總能成立，令：￡pS(j)ldx=M

Mf,j、K力即為第/階主質(zhì)量和第/階主剛度。

、K.

由式(6)知有：co~=——

」%

如果主振型外。)中的常數(shù)按下列歸一化條件來(lái)確定：

10訓(xùn)泌=乂/1(9)

則所得的主振型稱為正則振型，這時(shí)相應(yīng)的第j階主剛度Kpj為魴。

式(9)與(8)可合并寫(xiě)為：(pSMjdx=3u

由式(6)知有：￡EI郴出=，>[)%(EI心"dx=0；%

(2)懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

嶗+於票—(1)

其中:

f{xj)=F(t)8(x-a)(2)

令:

8

y(x,f)=Z0(x)%?)(3)

r?l

代入運(yùn)動(dòng)微分方程，有:

Z(E@)“i+ps￡aa產(chǎn)以x,i)(4)

上式兩邊乘風(fēng)(X)，并沿梁長(zhǎng)度對(duì)X