高考數(shù)學試題及答案解讀

高考數(shù)學試題及答案解讀姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處取得極值，則此極值為（）

A.極大值B.極小值C.既不是極大值也不是極小值

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1+a_2+a_3=9$，$a_4+a_5+a_6=21$，則$a_1$的值為（）

A.1B.3C.5D.7

3.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是奇函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^2$B.$f(x)=\frac{1}{x}$C.$f(x)=|x|$D.$f(x)=\sqrt{x}$

4.在直角坐標系中，點$A(2,1)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點為（）

A.$(1,2)$B.$(2,1)$C.$(1,-2)$D.$(-2,1)$

5.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，且$f(0)=3$，$f(2)=1$，則$a$，$b$，$c$的值分別為（）

A.$a=1$，$b=-2$，$c=3$B.$a=1$，$b=2$，$c=3$C.$a=-1$，$b=2$，$c=3$D.$a=-1$，$b=-2$，$c=3$

6.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$在$x=1$處取得極值，則此極值為（）

A.極大值B.極小值C.既不是極大值也不是極小值

7.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公比為$q$，若$a_1\cdota_2\cdota_3=8$，$a_4\cdota_5\cdota_6=64$，則$q$的值為（）

A.2B.4C.8D.16

8.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)是偶函數(shù)的是（）

A.$f(x)=x^3$B.$f(x)=\frac{1}{x}$C.$f(x)=|x|$D.$f(x)=\sqrt{x}$

9.在直角坐標系中，點$B(3,2)$關(guān)于直線$y=-x$的對稱點為（）

A.$(2,3)$B.$(3,2)$C.$(-2,-3)$D.$(-3,-2)$

10.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$在$x=1$處取得極值，則此極值為（）

A.極大值B.極小值C.既不是極大值也不是極小值

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若$a>b>0$，則$\frac{1}{a}<\frac{1}$。（）

2.函數(shù)$f(x)=x^2$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。（）

3.等差數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$。（）

4.若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)一定存在極值點。（）

5.若$a$，$b$，$c$是等比數(shù)列的三項，則$\frac{a}=\frac{c}$。（）

6.在直角坐標系中，任意一點到原點的距離等于該點的坐標的平方和的平方根。（）

7.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則$a>0$。（）

8.等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q$滿足$|q|<1$時，數(shù)列是收斂的。（）

9.若函數(shù)$f(x)$在$x=0$處可導，則$f'(0)$存在。（）

10.在直角坐標系中，若兩條直線垂直，則它們的斜率之積為-1。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$的極值點和拐點的位置，并說明理由。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=3$，公差$d=2$，求該數(shù)列的前10項和。

3.設(shè)函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$，求證：$f(x)\geq0$對所有實數(shù)$x$成立。

4.在直角坐標系中，已知點$A(1,2)$和點$B(3,4)$，求過這兩點的直線的斜率。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述數(shù)列$\{a_n\}$的收斂性及其收斂到某一值$A$的必要條件和充分條件。結(jié)合具體例子說明這些條件如何影響數(shù)列的收斂性。

2.論述函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,\infty)$內(nèi)的性質(zhì)，包括單調(diào)性、極值點、奇偶性等，并討論該函數(shù)的圖像特征。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.若函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=0$處取得極值，則下列哪個選項是正確的？

A.$a=0$B.$b=0$C.$c=0$D.$a\neq0$

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$的第5項和第8項的和為22，第10項和第13項的和為56，則該數(shù)列的首項$a_1$為多少？

A.2B.4C.6D.8

3.函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4}$的定義域是？

A.$x\geq2$B.$x\leq2$C.$x\geq-2$D.$x\leq-2$

4.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(0,\infty)$內(nèi)是單調(diào)遞減的，那么在區(qū)間$(-\infty,0)$內(nèi)該函數(shù)是？

A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.先增后減D.先減后增

5.在直角坐標系中，點$A(1,1)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點是？

A.$(1,1)$B.$(1,-1)$C.$(-1,1)$D.$(-1,-1)$

6.函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在$x=0$處的導數(shù)為？

A.0B.1C.-1D.不存在

7.等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項$a_1=1$，公比$q=2$，那么第5項$a_5$為？

A.1B.2C.4D.8

8.函數(shù)$f(x)=\ln(x)$在$x=1$處的導數(shù)為？

A.0B.1C.不存在D.無窮大

9.在直角坐標系中，點$B(2,3)$關(guān)于直線$y=-x$的對稱點是？

A.$(2,3)$B.$(3,2)$C.$(-2,-3)$D.$(-3,-2)$

10.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$的圖像與x軸的交點個數(shù)是？

A.0B.1C.2D.3

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.A.極大值

解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x$在$x=1$處取得極大值，因為當$x<1$時，$f(x)$單調(diào)遞增；當$x>1$時，$f(x)$單調(diào)遞減。

2.C.5

解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，$a_4=a_1+3d$，$a_5=a_1+4d$，$a_6=a_1+5d$，代入得$a_1+3d+a_1+4d+a_1+5d=21$，解得$a_1=5$。

3.C.$f(x)=|x|$

解析：奇函數(shù)滿足$f(-x)=-f(x)$，偶函數(shù)滿足$f(-x)=f(x)$。只有$|x|$滿足偶函數(shù)的定義。

4.A.$(1,2)$

解析：點$A(2,1)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點，交換$x$和$y$的值，得到$(1,2)$。

5.A.$a=1$，$b=-2$，$c=3$

解析：由$f(0)=3$得$c=3$，由$f(2)=1$得$4a+2b+c=1$，代入$c=3$得$4a+2b=-2$，由$f'(1)=0$得$2a+b=0$，解得$a=1$，$b=-2$。

6.B.極小值

解析：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}+\sqrt{x}$在$x=1$處取得極小值，因為當$x<1$時，$f(x)$單調(diào)遞減；當$x>1$時，$f(x)$單調(diào)遞增。

7.A.2

解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)，$a_4=a_1\cdotq^3$，$a_5=a_1\cdotq^4$，$a_6=a_1\cdotq^5$，代入得$a_1\cdotq^3\cdota_1\cdotq^4\cdota_1\cdotq^5=64$，解得$q=2$。

8.C.$f(x)=|x|$

解析：偶函數(shù)滿足$f(-x)=f(x)$，只有$|x|$滿足偶函數(shù)的定義。

9.C.$(-2,-3)$

解析：點$B(3,2)$關(guān)于直線$y=-x$的對稱點，交換$x$和$y$的值并取相反數(shù)，得到$(-2,-3)$。

10.B.極小值

解析：函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+3x-1$在$x=1$處取得極小值，因為當$x<1$時，$f(x)$單調(diào)遞增；當$x>1$時，$f(x)$單調(diào)遞減。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析：若$a>b>0$，則$\frac{1}{a}<\frac{1}$，因為分母大的分數(shù)值小。

2.×

解析：函數(shù)$f(x)=x^2$在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，因為導數(shù)$f'(x)=2x$，當$x>0$時，$f'(x)>0$，當$x<0$時，$f'(x)<0$。

3.√

解析：等差數(shù)列的通項公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項，$d$是公差。

4.×

解析：函數(shù)在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)連續(xù)并不意味著一定存在極值點，極值點還需要函數(shù)在該點的導數(shù)為0。

5.√

解析：等比數(shù)列的公比$q$滿足$\frac{a}=\frac{c}$，因為$a\cdotc=b^2$。

6.√

解析：由勾股定理，點$(x,y)$到原點的距離$d=\sqrt{x^2+y^2}$。

7.√

解析：函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，則$a>0$，因為二次項系數(shù)決定開口方向。

8.√

解析：等比數(shù)列$\{a_n\}$的公比$q$滿足$|q|<1$時，數(shù)列是收斂的，因為每一項都趨向于0。

9.√

解析：若函數(shù)$f(x)$在$x=0$處可導，則$f'(0)$存在，因為導數(shù)是函數(shù)在某點的極限。

10.√

解析：在直角坐標系中，若兩條直線垂直，則它們的斜率之積為-1，因為垂直直線的斜率互為相反數(shù)。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$的導數(shù)為$f'(x)=3x^2-12x+9$。令$f'(x)=0$，解得$x=1$和$x=3$。當$x<1$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增；當$1<x<3$時，$f'(x)<0$，$f(x)$單調(diào)遞減；當$x>3$時，$f'(x)>0$，$f(x)$單調(diào)遞增。因此，$x=1$是極大值點，$x=3$是極小值點。函數(shù)的二次導數(shù)為$f''(x)=6x-12$，令$f''(x)=0$，解得$x=2$。當$x<2$時，$f''(x)<0$，$f(x)$凹向下；當$x>2$時，$f''(x)>0$，$f(x)$凹向上。因此，$x=2$是拐點。

2.等差數(shù)列$\{a_n\}$的前10項和$S_{10}=\frac{10}{2}(a_1+a_{10})=5(2a_1+9d)=5(2\cdot3+9\cdot2)=5\cdot24=120$。

3.函數(shù)$f(x)=x^2-4x+4$可以寫成$f(x)=(x-2)^2$，因為$(x-2)^2\geq0$對所有實數(shù)$x$成立，所以$f(x)\geq0$。

4.直線過點$A(1,2)$和點$B(3,4)$，斜率$k=\frac{4-2}{3-1}=1$。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.數(shù)列$\{a_n\}$的收斂性及其收斂到某一值$A$的必要條件是：存在一個實數(shù)$A$，使得當$n$趨向于無窮大時，$a_n$趨向于$A$。充分條件是：存在一個實數(shù)$A$，使得對于任意小的正數(shù)$\epsilon$，存在一個正整數(shù)$N$，當$n>N$時，$|a_n-A|<\epsilon$。例如，數(shù)列$\{a_n\}=\fra