流體力學典型題16

第一章緒論

［例1］：一可動和一不動平板別離置于液體中，間距h=0.5mmo可動板V=

0.25m/s,水平右移，維持V不變，加在動板上的外力為2Pa。求口。

解：由

由坐標系，按牛頓粘性定律：

（線性散布）

dyh

"方二6"10-3

/dy/h

［例2］:［1T5］滑動軸承直徑D=20cm,寬b=30cm,液膜厚t=0.08cm,u=?s,消

耗功率Ne=,求n=?若是n=1000rpm,求Ne=?

解：A=nDb=X10-lm2,Ne二切力消耗的功率

7rDn

v=-----

60

n==8.96x10rpm=1.49rad/s

(2);z=1000ipm

v=^-^=1.05xl0m/s

60

v2：

3

Ne=vFf=JLIA—=6.35xlOW

注：一、消耗功率全數(shù)用于克服粘性阻力;

二、應用牛頓粘性定律時，用切向速度。

第二章流體靜力學

［例1］：測壓計測A中水的壓強。，，，，酒精相對密度，水銀相對密度。真空

計讀數(shù)真空度，求P。

解：由等壓面：，，，

由靜壓強散布取得：

P=P「Pwgh

聯(lián)立以上方程，有:

P=P0+PmcS（h\+h3）-PalSh2-PwSh

=-0.25X!05+13.6X103X9.81（0.22+0.2）-0.8xl03x9.81x0.25-103x9.81x0.5

=（計示壓強）

注：因po為計示壓強，計算時，未計h3以上空氣壓強。

[例2]:[2—9]試給出圖中四種情形側(cè)壁面上壓強的散布圖。

解：

[例3]:[2—11]容器中盛有水和空氣，各水面相對位置不同離為：hl=h4=0.91m,

h2=h3=0.305m,求：A.B.C.D各點的絕對壓強，并指出哪些為真空狀態(tài)？（不

計空氣重力，取pa=X104Pa）

解：=X104+103XX（+）=X105Pa.,

由于Pk^O,故：=X104-103XX=X104Pa.,

pD=Pc-Pg（h+%2+〃3）=Xl°'T03><X（++）

l

=X10Pao

由于，，，，因此，B.C.D為真空狀態(tài)。

[例4]:[2—21]一封鎖容器內(nèi)盛有油和水，，試求液面上的表壓強。

解：由等壓面原理，可列方程：

〃0+。油她+聞”=夕水林（4+他一“）+Pa

表壓強：

=。水銀gg+4一"）一處的一哂

=13600x9.81(0.3+0.5-0.4)

-890x9.81x0.3-1000x9.81x0.5

=45842Pa

［例5］:［2-24］直徑D=L2ni,長L=2.5山的油罐車，內(nèi)裝相對密度為的石油，油

面高度h=lm,以加速度a=2m/s水平運動，試確信油槽車側(cè)蓋A和B上所受到的

油液的作使勁。

解：等壓面：

I95

//Ac=-tg^+/?=—X0.20387+l=1.2548m

2

八=pg〃ACA=0.9x103x9.81x1.2548x冗14x1.22I25

小=h--tg0=0.20387=0.745m

=I2529.6N

&=Qg/BCA=0-9x1()3x9.81x0.745

X^-/4X|.22=7439N

［例6］：［2—26］盛有高度為h的水的圓筒形容器，以角速度3繞垂直縱軸作等

速旋轉(zhuǎn)，容器半徑為R,試求當3超過量少時，可露出筒底？

解；建坐標系如圖，由等壓面方程：，當露出底部時，，現(xiàn)在，水的體積V為:

11

RReor9R4

V=fz-Ijnxlr=f-----17nxlr-——

002g4g

原體積二，于是，得出：。

［例7］:［2—43］圖示一儲水設備，在C點測得絕對壓強為p=294300Pa,h=2m,

R=lm,求半球曲面AB所受到液體的作使勁。

解：半球曲面AB所受到液體的作使勁因水平方向?qū)ΨQ，合力為零，因此大小應

等于垂直方向的分力Fzo故此題的關(guān)鍵是要畫出壓力體，即第一找出對應于大

氣壓強的自由面位置，為此，假定自由面位置距底面為H,那么壓力體高度為

hO=H-h,壓力體體積V:V=,

由于：Pa,

而：，

==—=—=

故，H2Im,h0Hh21219mo

221

片4——TTR'=>rxl2X19——x)x1'=18—乃，

(N),方向垂直向上。

［例8］:［2—44］畫出圖中四種曲面圖形的壓力體圖。

解：

第三章流體運動學

［例1］:己知：，,(k>0)

分析流線形狀及流態(tài)。

解：由，為二元流動。

代入式(3—6),

,有：

積分：，為以原點為圓心的圓。

判定流向：假設，那么

顯然，指向逆時針方向轉(zhuǎn)。

［例2］:假設流體恒定流速度為，求過(2,4,8)點的流線方程。

解：由流線方程：，代入已知條件：

分離變量積分：

當x=2,y=4,=1/4-1/2=-1/4,y=4,z=8時，=-1/8

所求方程為：

［例3］：不可緊縮流體v分量：，且在，求？

解：持續(xù)方程：

代入：，有：

積分：

當，即

V.=-4(x+y)z

［例4］:［3—8］已知流體運動的速度場為：，式中a為常數(shù)，試求t=l時，過(0,

b)點的流線方程。

解：由流線方程，

當：t=l,x=O,y=b,"const時

有：，

2

X2―(y+$2=-^--b2-ab=-(^+b)2

,為雙曲線。

［例5］：證明以下二維流場是無旋的，并找出過(1,2)點的流線方程式。

vv=x?—y2+x,vy=-(2xy+y)

解：，故是無旋的。

流線方程為：，

轉(zhuǎn)為全微分：

積分：

當x=l,y=2時，

得：

［例6］:［3—11］設有兩個流動，速度分量為：

(1),,

(2),,

式中a、c為常數(shù)，試問：這兩個流動中，哪個是有旋的？哪個是無旋的？

哪個有角變形？哪個無角變形？

解：①，…，

,有旋；

,無變形；

②，a、c為常數(shù)。

)=5f+)，

2dxdyx1+)2

1

+—

1+y22

,無旋；

i(mdvy

y=---------—

221&dy)

1c2cx2c2cy2

2x2+y2(x2+^2)2x2+y2(x2+^2)2

,有角變形；

［例7］:［3—14］有兩個不可緊縮流場：

(1)匕.=ax2+by,v.=0；

⑵。求(設y二。時，)。

解：⑴，，

⑵，，由:有：，

積分：

［例8］：不可緊縮流體作二維流動，流體中任一點的速度方向與到同一點的徑向

垂直，其大小為，其中，c為常數(shù)，。試問：此流場是有旋仍是有勢？并求其

旋轉(zhuǎn)角速度。

解：已知

(/+丹悠

又，

-1

2口1y1

廿+)，c2

-y

小”37(匕與y反號)

vv=,",(匕.與x同號)

x~+y-

dvx=-1-2y=y2一52

②/+)，'(x2+y2)2(X2+y2y

叱__1______x-2x_J，？

&X2+y2Q.2+),2)2(彳2+),2)2

故，無旋，即有勢。

第四章理想流體動力學基礎

［例1］:［4-5］已知不可緊縮理想流體的流動速度分量為：，，，求等壓面

(p=const)方程，不計質(zhì)量力。

解：由理想流體恒定不可緊縮且為二元流動()的歐拉運動微分方程，

1dpdvdvy

由，上三式分乘dx,dy相加，并注意到，，，，取得：

令，取得等壓面方程為：

［例2］：［4-8］測量流速的畢托管如圖示，設被測流體密度為，測壓管內(nèi)流體密

度為，測壓管中液面高差為h,試證明所測流速為。

解：沿流線1一一2,以1點所在水平面為z軸基準，列Bernoulli方程：

Q互+1L=Z2+也+E

Pg2g~pg2g

,,那么：(1)

由于測速計內(nèi)流體靜止，可按靜壓給出，，，

p2+pg(z2-z4)=p4

得：

代入(1)

因此：

［例3］:一水箱底部有一小孔，射流

的截面積為A(x),在小孔處x=0,截面積

P\

為AO通過不斷注水使水箱水位h維持常數(shù)，水箱截面積遠大于小孔。設流動為

理想不可緊縮的，求射流面積隨x的轉(zhuǎn)變規(guī)律A（x）。

解：如圖，對理想不可緊縮流體，以液面為基準，任取一流線OT-x,成

立Bernoulli方程：（1）

馬+且+止=入+正+匕⑵

Pg2gpg2g

對（1）式，，，有：，即：

對（2）式，，，有：，即：

顯然，速度僅與高度有關(guān)，在同一橫截面上，速度相同，均等于平均速度，由

持續(xù)性方程：

那么取得?

’［例4］：［4-12］求重力作用下理想不可緊縮流體在開口等徑曲管中振動的運動

規(guī)律。設管中液柱長為1,為曲管兩頭與水平線之間的夾角，振動從平穩(wěn)位置開

始。

解：這是一個非恒定流動問題，采納沿流線積分式，注意到截面不變，是一個

勻加速運動，，于是

式中：，，

,,代入，有：

,即

這是一個振動方程。

討論：（1）振動方程的圓頻率為，周期為：

（2）假設管端全數(shù)密封，平穩(wěn)位置氣壓為，管徑為d,液面上的壓強別離

為，且氣體轉(zhuǎn)變?yōu)榈葴剡M程，那么題中的振動將發(fā)生轉(zhuǎn)變。

由等溫進程，，

Pl（/|+X）A=A=4

P\-P2=Ml（T---T）=/MHr

/1+Xl2（/1+x）/2

/d2A-...6-一x）

------=-x（sina+sin/?）+~——!-----

gdf0g（/］+X），2

專門地，當管兩頭水平平齊時，，，上式變成:

,考慮到，那么：

當時，，

［例5］:［474］圖示真空吸水裝置。在下述情形下：（DM斷面產(chǎn)生負壓，（2）

C點的水被吸入時。試求A/a與水頭的關(guān)系。

解：（1）M斷面產(chǎn)生負壓，即：。

對理想不可緊縮流體，以左液面為基準，任取一流線0-M-A,成立Bernoulli方

程：⑴

2。+血+手=2八+區(qū)+3（2）

Pg2gpg2g

對（1）式，，，有：，即：

對（2）式，，，有：，即：

顯然，速度僅與高度有關(guān)，在同一橫截面上，速度相同，均等于平均速度，由

持續(xù)性方程：

,那么取得：

（2）C點的水被吸入時，，，現(xiàn)在，（1）、（2）兩式仍成立，于是，，，故：

第五章旋渦理論基礎

[例1]:[5—3]已知流線為同心圓簇，速度散布為：

時，

時，

試求沿圓周x2+y2=R2的速度環(huán)量，其中圓半徑R別離為：（1）R=3,（2）R=5,

（3）R=10。

解：⑴

A=^R2=4x32=94

r廣=2…J=2cx—1x八9^=—187T

55

（2）時，，。

（3）時，。為復連通域，

時，。

[例2]:[5—9]速度分量：，試求渦線方程。假設渦管斷面dA二而，求J。

解：，

即：。解出：

J=溫4=J(1/2Ax3dA=乎xO(XX)1=8.66x10-5(小九)。

第六章理想流體平面勢流

［例1］:［6—1］平面不可緊縮流體速度散布為：(1)；(2),；⑶，。判定存在,并

求出。

［解］:⑴，；，不存在。

,故，存在。

.di//.di//......(x2+y2>

d"=ax+——dy=~vdx+vdy=xdx+ydy=d----:—

dxdy,vA?I2,

步=#+/)

不存在

,,那么，不存在。

⑶，

則，；，存在。

22

d(p=vvdx+vvdy=(x-y+x)dx-(2jQ，+y)dy

3.22

=d(y)-y2dx+d(y)-xdy2-d(^-)

dx3/\"dy2

=3一心2＞2一i

399

r2廣)廣、

=dl(z----xy~+....-)

3-22

2

/2,y

(p=-----xy+------

3-22

由于：，，故，存在。

22

di//=-vvdx+vvdy=(2歲+y)dx+(x-y+x)dy

=ydx2+ydx+x2dv+xdy-^dy3

=d［F)+d3)—；dJ=d(x2y+.xy-

2

y=.L)，+R，--—

［例2］:［6—2］給出以下表示的圖形(標方向)，計$帛、，求出，畫出圖。

(Di//=x+y；(2)if/=xyx(3)〃=%；(4)^=x2-y2o

［解］:(1),令，那么。取特殊點，，。那么曲線如圖099

v+匕」=V2

dvdv阿

a=—-x+v--K+\\,--=0

xvdtrxdx）力，

d%.dv加

ci=—-+v--+v--=0

'dtxvdxvdy

那么：。

,那么存在，。

（p=x—y

⑵，令，那么曲線如