廣東省中山市11-12學(xué)年高二下學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)文）

廣東省中山市11-12學(xué)年高二下學(xué)期期末考試（數(shù)學(xué)文）一、選擇題要求：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=\sin(x+2\pi)$，則函數(shù)的周期為（）A.$2\pi$B.$\pi$C.$4\pi$D.$8\pi$2.若復(fù)數(shù)$z=a+bi(a,b\in\mathbb{R})$滿足$|z-1|=|z+1|$，則實(shí)數(shù)$a$的取值為（）A.0B.1C.-1D.2二、填空題要求：將正確答案填入題中的橫線上。3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_4+a_7=12$，則$a_4$的值為_(kāi)_____。4.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復(fù)平面上的幾何意義是______。三、解答題要求：解答下列各題。5.（本小題共10分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求：（1）$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$；（2）$f(x)$的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）$f(x)$的圖像。6.（本小題共12分）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，且$a_1+a_4+a_7=12$，$a_1+a_5+a_9=24$，求：（1）$a_1$和$d$的值；（2）求等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$；（3）求等差數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式。四、證明題要求：證明下列各題。7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，證明：對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$f(x)\geq1$。8.設(shè)集合$A=\{x|x^2-2x-3=0\}$，集合$B=\{x|x^2+2x+1=0\}$，證明：集合$A$與集合$B$是相等集合。五、計(jì)算題要求：計(jì)算下列各題。9.求積分$\int\frac{2x+3}{x^2-5x+6}dx$。10.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3^n}$。六、應(yīng)用題要求：解答下列各題。11.（本小題共12分）某工廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，計(jì)劃在3天內(nèi)完成。第一天生產(chǎn)了40個(gè)，第二天生產(chǎn)了60個(gè)，如果剩下的每天比前一天多生產(chǎn)10個(gè)，求這批產(chǎn)品共需多少天完成？12.（本小題共10分）一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為$x$、$y$、$z$，體積為$V$，表面積為$S$。若$V=xyz$，$S=2(xy+yz+xz)$，求證：當(dāng)$x=y=z$時(shí)，$V$取得最大值。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：A解析：正弦函數(shù)的周期公式為$T=\frac{2\pi}{\omega}$，其中$\omega$是函數(shù)中$x$的系數(shù)。對(duì)于$f(x)=\sin(x+2\pi)$，$\omega=1$，所以周期$T=2\pi$。2.答案：B解析：由$|z-1|=|z+1|$可知，復(fù)數(shù)$z$到點(diǎn)$1$和點(diǎn)$-1$的距離相等，因此$z$位于這兩點(diǎn)連線的中垂線上。由于$z$是實(shí)數(shù)，所以$z$的虛部為0，即$z=a$，其中$a$是實(shí)數(shù)。因此，$a$的取值為1。二、填空題3.答案：4解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首項(xiàng)，$d$是公差。由題意知$a_4=a_1+3d$，$a_1+a_4+a_7=3a_1+6d=12$，解得$a_4=4$。4.答案：點(diǎn)$z$位于點(diǎn)$(-1,0)$和點(diǎn)$(1,0)$的中垂線上。解析：復(fù)數(shù)$z=a+bi$在復(fù)平面上的坐標(biāo)為$(a,b)$。由$|z-1|=|z+1|$可知，$z$到點(diǎn)$(1,0)$和點(diǎn)$(-1,0)$的距離相等，因此$z$位于這兩點(diǎn)連線的中垂線上。三、解答題5.解答：（1）$f'(x)=3x^2-6x+4$；（2）$f'(x)=0$時(shí)，$x=\frac{2}{3}$，$f(x)$在$x=\frac{2}{3}$處取得極小值，極小值為$f(\frac{2}{3})=\frac{8}{27}$；（3）$f(x)$的圖像是一個(gè)開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)為$(\frac{2}{3},\frac{8}{27})$。6.解答：（1）$a_1=1$，$d=2$；（2）$S_n=\frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}=\frac{n(2+2(n-1))}{2}=n^2$；（3）$a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1$。四、證明題7.解答：證明：$f(x)=(x-1)^3+2$，顯然$(x-1)^3\geq0$，因此$f(x)\geq2$，所以對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$f(x)\geq1$。8.解答：證明：集合$A$中的元素$x$滿足$x^2-2x-3=0$，解得$x=-1$或$x=3$，所以$A=\{-1,3\}$。集合$B$中的元素$x$滿足$x^2+2x+1=0$，解得$x=-1$，所以$B=\{-1\}$。因此$A$與$B$是相等集合。五、計(jì)算題9.解答：$\int\frac{2x+3}{x^2-5x+6}dx=\int\frac{2x-2+5}{x^2-5x+6}dx=\int\frac{2x-2}{x^2-5x+6}dx+\int\frac{5}{x^2-5x+6}dx$$=2\ln|x^2-5x+6|+\frac{5}{2}\ln|x-3|-\frac{5}{2}\ln|x-2|+C$。10.解答：$a_{n+1}=2a_n+1$，$a_n=2a_{n-1}+1$，$a_{n-1}=2a_{n-2}+1$，以此類推，得到$a_n=2^n-1$，所以$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2^n-1}{3^n}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{3^n}=0-0=0$。六、應(yīng)用題11.解答：設(shè)剩下的每天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為$a$，則第三天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為$a+10$，第二天生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為$a+10-10=a$。根據(jù)題意，$40+60+a+a+10=120+a$，解得$a=40$，所以總共需要的天數(shù)為$1+1+3=5$天。12.解答：當(dāng)$x=y=z$時(shí)，$V=xyz