專(zhuān)題25 分式的運(yùn)算-重難點(diǎn)題型(舉一反三)(學(xué)生版)

專(zhuān)題5.2分式的運(yùn)算.重難點(diǎn)題型

【知識(shí)點(diǎn)1分式的加減】

同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；

異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，再加減。

①同分母分式的加減：—±-=；

CCC

CLa.cad,bead±bc

②異分母分式的加法：—±-=——~=—一°

baodbdbd

注：不論是分式的哪種運(yùn)算，都要先進(jìn)行因式分解。

【題型1分式的加減】

【例1】（2021春?鹽城月考）化簡(jiǎn)：

ab、X2-44X

（i'i------+-------?（?）---------------------------

a-bb-ax2-4x+4x2-2x

,,_7n+2,m+3.,

【變式1-1】當(dāng)m>-3時(shí),比較而與右的ai大小.

【變式I1】（2⑼?樂(lè)山）已知合一￡=音崗’求人8的值.

【變式1-3](2021春?河南期末)若。>0,止急,2=笠1

IXIX(XI乙

1234

(1)當(dāng)”=1時(shí)，M=-,N=-；當(dāng)a=3時(shí)，M=-，N=-：

一2———3——4——5-

（2）猜想M與N的大小關(guān)系，并證明你的猜想.

【題型2分式與整式的混合運(yùn)算】

%2

【例2】（2⑼?嘉興一模）計(jì)算嬴一+2時(shí)，兩位同學(xué)的解法如下:

%2X

解法一：六一戶(hù)2解法二：一--x+2

x+2

/_%+2_32_(X+2)2=擊口2一（》_2）（%+2）]

x+21-x+2x+2

（1）判斷：兩位同學(xué)的解題過(guò)程有無(wú)計(jì)算錯(cuò)誤？若有誤，請(qǐng)?jiān)阱e(cuò)誤處打“X”.

（2】請(qǐng)選擇一種你喜歡的方法,完成解答.

【變式2-1]（2021?梧州）計(jì)算：（1?2）2?一（廠1）+*3-嚴(yán).

【變式2-2]（2021秋?昌平區(qū)期中）閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題.

31

我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和的形式.例如：-=1+在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分

式，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)之為“假分式”；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱(chēng)

X+1r21Y

之為“直分式”.例如：—,/這樣的分式是假分式：—,E這樣的分式是直分式.類(lèi)似的‘假分式也

可以化為整式與真分式的和的形式.

X+l(X-2)+33

例如:------=-------------=1+-------，

X-2x-2%~2

x2(x+2)(x-2)+44

--=---------=x—2+---

x+2x+2%+2

解決下列問(wèn)題:

（11將分式一;化為整式與真分式的和的形式：

x+3

工2+2%

（2）如果分式一丁的值為整數(shù)，求x的整數(shù)值.

x+3

【變式2-3］（2021春?玄武區(qū)期中）著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)：“對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，改變它的形式，變換它的結(jié)

構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個(gè)重要原則.”

《見(jiàn)微知著》談到：從一個(gè)簡(jiǎn)單的經(jīng)典問(wèn)題出發(fā)，從特殊到一般，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜；從部分到整體，由低維到高維,

知識(shí)與方法上的類(lèi)比是探索發(fā)展的重要途徑，是思想閥門(mén)發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題、新結(jié)論的重要方法.

閱讀材料：在處理分?jǐn)?shù)和分式的問(wèn)即時(shí)，有時(shí)由于分子大于分母，或分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際運(yùn)算時(shí)

難度較大，這時(shí)，我們可將分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（分式）的和1差）的形式，通

過(guò)對(duì)它的簡(jiǎn)單分析來(lái)解決問(wèn)題，我們稱(chēng)這種方法為分離常數(shù)法，此法在處理分式或整除問(wèn)題時(shí)頑為有效.

將分式分離常數(shù)可類(lèi)比假分?jǐn)?shù)變形帶分?jǐn)?shù)的方法進(jìn)行，如：/一2：+3=Q-x+3二葉考畢

x-lx-lX-1

1+三，這樣，分式就拆分成一個(gè)分式二一與一個(gè)整式X-I的和的形式.

無(wú)一1x-l

根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問(wèn)題：

%+6

（1）假分式---可化為帶分式形式；

X+4------

（2J利用分離常數(shù)法，求分式與號(hào)的取值范圍；

產(chǎn)+1

5+9x—31

⑶若分式----------拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分式（分子為整數(shù)加和（差）的形式為：5〃??11+—z,則m2+n2+mn

x+2n-6

的最小值為.

【知識(shí)點(diǎn)2分式的混合運(yùn)算】

1.乘法法則：---=—o分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

bdbd

2.除法法則：==—o分式除以分式，把除式的分子、分母筋倒位置后，與被除式相乘。

babcb'c

3.分式的乘方：fy二%。分式乘方要把分子、分母分別乘方。

4.分式的混合運(yùn)算：與實(shí)數(shù)運(yùn)算類(lèi)似，分式的混合運(yùn)算應(yīng)先來(lái)方、后來(lái)除、最后加減，有括號(hào)時(shí)，先算括號(hào)里面的，

并恰當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。一個(gè)分式與一個(gè)整式相加減時(shí)，可以把整式視為分母為1的分式，以免通分漏項(xiàng)。

【題型3分式的混合運(yùn)算】

【例3】（2021秋?萊蕪區(qū)期中）計(jì)算：

2

、b-aa-bI2QCz3x-2

（1）—）+（ab-b）-（TA-）2；（2）（—r-I）+2

z

baba-b，X-1x-2x+l

111

【變式4」】（2。2°春.溫江區(qū)期末）已知Si+“不取。和7）,S2=FS3=fS=F，…按此

規(guī)律，請(qǐng)用含。的代數(shù)式表示52020=

2121

【變式4-2]（2021春?玄武區(qū)校級(jí)期中）如果記/（#=念x，并且八1）表示當(dāng)x=I時(shí)），的值，即/（1）=士=^f

（5表示當(dāng)x=★時(shí)y的值，即/弓）=^^7=1-

3611

(I：'/'(6)=—；J(一)=一

」—37—,4—17—

(2)/(1)+f(2)V<3)+…+f<—>=_-+?_.(結(jié)果用含〃的代數(shù)式表示，〃

23'n+1-2

為正整數(shù)).

【變式4-3]（2020秋?海港區(qū)期中）觀察下列各式:

11

第一式:=1——.?

1x22

111

第二式:?

2x323

111

第三式：

3x4一34'

1_11

（I）請(qǐng)你根據(jù)觀察得到的規(guī)律寫(xiě)匕這列式子的第〃式:

—nx(n+l)-nn+l-

(2J求和：------+-----------+----------------------:

x(x+l)(x+l)(x+2)(x+2015)(x+2016)

bbb

(3)已知J-6a+9與-11互為相反數(shù)，求二一-+-——―-+…+-—―——

cz(a+l)(Q+1)(Q+2)(a+9)(tz+10)

【知識(shí)點(diǎn)3整數(shù)指數(shù)搴的運(yùn)算】

1

1.整數(shù)負(fù)指數(shù)原：a=o

2.若且aKO,則m=n；反之，若a去0,且m二n,則據(jù)此，可解決某些條件求值問(wèn)題。

【題型5整數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算】

151c-22,1

【例5】（2（）20秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）=7^7?匕一（-1+字）|+|-5|X（=+[-（2）3]）X（-A）.

1—11X1AZT*S，

【變式57］（2021春?江都區(qū)期中）已知。=-3.2,b=（-1）-2,c=（-1）°,比較a、b、c的大小，并用“V”

號(hào)連接起來(lái)：.

【變式5-2］（2020春?江都區(qū)月考）門(mén)=$（a#0）,即。的負(fù)P次鼎等于。的〃次幕的倒數(shù).例：廣=馬.

。4

（1）計(jì)算：59=；（-2）n=；

（2）如果2P—g,那么〃=；如果?！?那么4=；

⑶如果小P=親，且〃、〃為整數(shù)，求滿(mǎn)足條件的4、〃的取值.

【變式5-3］（2021春?鹽都區(qū)月考）（1）已知片？-…，方=3-33333,。二5一22222,請(qǐng)用“V”把它們按從小到

大的順序連接起來(lái)，說(shuō)明理由.

（2）請(qǐng)?zhí)剿魇沟玫仁舰?3）/