傅里葉變換定理、線性系統(tǒng)課件

§1-2二維傅里葉變換2-DFourierTransform傅里葉變換和傅里葉逆變換

{g(x-a,y-b)}=

G(fx,fy)exp[-j2p(fxa+fyb)]

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),F.T.重要性質(zhì)：{g(x,y)exp[j2p(fax+fby)]}=G(fx-

fa,fy-fb){exp[j2p(fax+fby)]}=d(fx-

fa,fy-fb)§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理4.帕色伐(Parseval)定理若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓,則∫|g(x)|2dx

代表信號的總能量(或總功率)

|G(f)|2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),F.T.Parseval定理說明,信號的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說等于各頻率分量的能量之和—能量守恒§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理--Parseval定理的證明交換積分順序,先對x求積分:利用復(fù)指函數(shù)的F.T.利用d函數(shù)的篩選性質(zhì)思考題:§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理5.卷積定理空域中兩個函數(shù)的卷積,其F.T.是各自F.T.的乘積.{g(x,y)*

h(x,y)}=

G(fx,fy).

H(fx,fy)

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),h(x,y)H(fx,fy),F.T.F.T.{g(x,y).

h(x,y)}=

G(fx,fy)*

H(fx,fy)空域中兩個函數(shù)的乘積,其F.T.是各自F.T.的卷積.將時、空域的卷積運算，化為頻域的乘積運算，特別有用.亦可用于求復(fù)雜函數(shù)的F.T.和復(fù)雜函數(shù)的卷積§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

卷積定理的證明交換積分順序:應(yīng)用位移定理應(yīng)用F.T.定義§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

利用卷積定理的例子2.{tri(x)}={rect(x)*rect(x)}={rect(x)}?{rect(x)}=sinc(f)?sinc(f)=sinc2(f)rect(x)x01/2-1/21rect(x)x01/2-1/21*tri(x)x01-11fsinc(f)01-11fsinc(f)01-11

xsinc2(x)01-11F.T.F.T.F.T.{tri(x)}=sinc2(f)§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理6.相關(guān)定理自相關(guān)與功率譜的關(guān)系:作為練習(xí)自己證明。提示:利用卷積定理、相關(guān)定義和共軛函數(shù)的F.T.

設(shè)g(x,y)G(fx,fy),F.T.反過來有:{g(x,y)☆

g(x,y)}=|G(fx,fy)|2{|g(x,y)|2}=

G(fx,fy)☆G(fx,fy)§1-2二維傅里葉變換FourierTransform

四、F.T.定理7.F.T.積分定理在函數(shù)g的各連續(xù)點上,留作習(xí)題自證.-1{g(x,y)}=-1

{g(x,y)}=g(x,y){g(x,y)}=-1

-1{g(x,y)}=g(-x,-y)§1-2二維傅里葉變換

FourierTransform

五、可分離變量函數(shù)的變換通常g(x,y)是可分離變量的函數(shù),即兩個獨立一元函數(shù)的乘積:g(x,y)=g1(x)g2(y)=G1(fx)

G2(fy)

按二維F.T.的定義:其傅里葉變換也是可分離變量的函數(shù)

將二維函數(shù)的F.T.化為二個獨立坐標(biāo)上的一維函數(shù)的F.T.的乘積。物理上的大多數(shù)函數(shù)可以這樣處理。注意:不可與兩個函數(shù)乘積的F.T.相混淆!§1-2傅里葉變換2-DFourierTransform

傅里葉變換的計算方法1.用定義直接計算:rect(x),circ(r),...2.用廣義傅里葉變換的定義計算并求極限:1...3.用傅里葉變換的性質(zhì)間接導(dǎo)出:F.T.的積分定理

F.T.的卷積定理§1-2傅里葉變換FourierTransform

常用傅里葉變換對1.{1}=d(fx,fy); {d(fx,fy)}=1 1與d函數(shù)互為F.T.4.{Gaus(x)}=Gaus(f)高斯函數(shù)的F.T.仍為高斯函數(shù)3.{rect(x)}=sinc(f); {sinc(x)}=rect(f) rect與sinc

函數(shù)互為F.T.2.梳狀函數(shù)的F.T.仍為梳狀函數(shù)(閱讀P9–10)2§1-2傅里葉變換FourierTransform

常用傅里葉變換對5.{d(x-a)}=exp(-j2pfxa) {exp(j2pfax)}=d(fx-fa)7.{tri(x)}=sinc2(f)6.利用歐拉公式和5的結(jié)果8.作業(yè)

0-16:已知復(fù)函數(shù)g(x,y)的傅里葉變換式為G(fx,fy),證明：0-17:若F{g(x,y)}=G(fx,fy)，F(xiàn){h(x,y)}=H(fx,fy),求證

(1)

F{g*(x,y)h(x,y)}=

G(fx,fy)★H(fx,fy)

（2）F{g(x,y)★h(x,y)}=

G*(fx,fy)

H(fx,fy)0-18：求下列函數(shù)的傅里葉變換(1)F

-1F

{g(x,y)}=g(x,y)(2)F

F

{g(x,y)}=g(-x,-y)(3)F{g*(x,y)}=

G*(-fx,-fy)

第一章二維線性系統(tǒng)分析

Analysisof2-DimensionalLinearSystems

§1-1線性系統(tǒng)1、線性系統(tǒng)的定義用算符表示系統(tǒng)定義:g(x,y)={f(x,y)}{

}輸入f(x,y)輸出g(x,y){a1f1

(x,y)+a2f2

(x,y)}={a1f1

(x,y)}+{a2f2

(x,y)}=a1

{f1

(x,y)}+a2{f2

(x,y)}=a1

g1

(x,y)+a2g2

(x,y)如果g1(x,y)={f1(x,y)}，g2(x,y)={f2(x,y)}若對任意復(fù)常數(shù)a1，a2有：則稱該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)?！?-1線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)

線性系統(tǒng)對幾個激勵的線性組合的整體響應(yīng)等于單個激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)的線性組合。{}

輸入f1(x,y)輸出g1(x,y){}

輸入f2(x,y)輸出g2(x,y){}

輸入輸出§1-1線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)具有疊加性質(zhì)

利用線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)，可以把復(fù)雜的輸入函數(shù)分解為簡單的“基元”函數(shù)的線性組合，則輸出就是這些“基元”函數(shù)響應(yīng)的線性組合。光學(xué)系統(tǒng)可看成二維線性系統(tǒng)常用“基元”函數(shù)有d函數(shù)、復(fù)指數(shù)函數(shù)等等。系統(tǒng)對某個輸入的響應(yīng)不會因為其它輸入的存在而改變系統(tǒng)的響應(yīng)性質(zhì)不會因為輸入幅度的增大而改變線性系統(tǒng)對各個輸入的響應(yīng)是互相獨立的。§1-1線性系統(tǒng)

2、脈沖響應(yīng)和疊加積分系統(tǒng)對處于原點的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：h(x,y)={d(x,y)}系統(tǒng)對輸入平面上坐標(biāo)為(x,h)處的脈沖函數(shù)的響應(yīng)：h(x,y;

x,h)={d(x-x,y-h)}在線性系統(tǒng)中引入脈沖響應(yīng)的意義:1.任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合2.若已知線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù),則系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合§1-1線性系統(tǒng)

任意復(fù)雜的輸入函數(shù)可以分解為脈沖函數(shù)的線性組合根據(jù)d函數(shù)的卷積性質(zhì)或d函數(shù)的篩選性質(zhì):此式的物理意義:脈沖分解函數(shù)f(x,y)可以看成輸入(x,y)平面上不同位置處的許多d函數(shù)的線性組合.每個位于(x,h)的d函數(shù)的權(quán)重因子是f(x,h).§1-1線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)的輸出為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合對于線性系統(tǒng):g(x,y)={f(x,y)}疊加積分只要知道各個脈沖響應(yīng)函數(shù),系統(tǒng)的輸出即為脈沖響應(yīng)函數(shù)的線性組合.問題是如何求對任意點的脈沖d(x-x,y-h)的響應(yīng)h(x,y;

x,h)對一般系統(tǒng)而言,脈沖響應(yīng)函數(shù)的形式可能是點點不同的只有對一類特殊的系統(tǒng)—線性不變系統(tǒng),

h(x,y;

x,h)=h(x-x,y-h)

成立,分析可以得到簡化.則h(x;1)

h(x-1)=1例如,設(shè)

{d(x)}=h(x)=1而{d(x-1)}=h(x;1)=exp(-j2px)§1-1線性系統(tǒng)

脈沖響應(yīng)函數(shù)h(x,y;

x,h)的求法:§1-3二維線性不變系統(tǒng)

2-DLinearShift-InvariantSystem

一、定義設(shè)系統(tǒng)在t=0時刻對脈沖的響應(yīng)為h(t),即:{d(t)}=h(t)若輸入脈沖延遲時間t,其響應(yīng)只有相應(yīng)的時間延遲t,而函數(shù)形式不變,即{d(t-t

)}=h(t-t

)則此線性系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng).系統(tǒng)的性質(zhì)不隨所考察的時間而變,