2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第21講 相似三角形及其應(yīng)用（練習(xí)）（解析版）

第21講相似三角形及其應(yīng)用

錄

題型過關(guān)練

型

題01

添加條件使兩個(gè)三角形相似

型

題02

證明兩個(gè)三角形相似

型

題03

確定相似三角形的對(duì)數(shù)

型

題04

在網(wǎng)格中判斷相似三角形

型

題05

利用相似的性質(zhì)求解

型

題06

利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

型

題07

在網(wǎng)格中網(wǎng)與已知三角形相似的三角形

型

題08

證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例

型

題09

利用相似三角形的性質(zhì)求解決折疊問題

型10

題利用相似三角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象

型11

題尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用

型12

題三角板與相似三角形綜合應(yīng)用

型13

題平移與相似三角形綜合應(yīng)用

型14

題利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值

型15

題利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最值

型16

題利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)點(diǎn)問題

型17

題利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決存在性問題

型18

題

字模型

型19A

題

字模型

型208

題一線三垂直模型

型21

題三角形內(nèi)接矩形模型

型22

題

旋轉(zhuǎn)相似模型

型23

題

相似三角形的應(yīng)用

真題實(shí)戰(zhàn)練

題型01添加條件使兩個(gè)三角形相似

I.（2022?陜西寶雞?統(tǒng)考二模）如圖，己知△48C與A/lOE中，zC=^AED=90°,點(diǎn)七在/W上，那么添

加卜列一個(gè)條件后，仍然不用判定△ABC與△40E相似的是（）

A.QB=ZDB.彩筆C.皿I"D.翳=與

【答案】D

【分析】】根據(jù)相似三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】解：A.[t]ZC=ZAED=90°,ZCAB=ZD,可知ZkAC8s/XOEA,本選項(xiàng)不符合題意;

又???NC=NAED=90°,

：.i\ACBs?DEA,本選項(xiàng)不符合題意；

C.由BQAO,可得NB=ND4E,由NC=NAEO=90。，可得△ACBs/X。"，本選項(xiàng)不符合題意；

D.由第=奈無法判斷三角形相似，本選項(xiàng)符合題意.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定，屬于中考?？碱}型.

2.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考一模）已知：如圖，點(diǎn)。在邊A8上，若乙1=乙時(shí)，則△ADC?△4C8.

D,

1

BC

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定條件求解即可.

【詳解】解：當(dāng)△1二48時(shí)，AADC?&ACB,理由如下，

Vz/1=Z./1,Z.1=乙B,

:.AADCACB,

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?江西撫州?金溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，要使圖中的兩個(gè)三角形相似，需要添加一個(gè)條件，這

個(gè)條件可以是.（寫一個(gè)即可）

【答案】乙B=乙E或乙。=乙。（答案不唯一）

【分析】根據(jù)圖形，結(jié)合相似三角形的判定，即可得出答案.

【詳解】解：根據(jù)圖形，可得：^DAE=Z.BAC,

,添力口=匕E或乙C=Z.D,

AAEDABC.

故答案為：匕8二45或2<=401答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相似三角形的判定定理.

題型02證明兩個(gè)三角形相似

4.（2023?廣東廣州?廣州市第二中學(xué)校考二模）如圖，在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)石為BC邊上的點(diǎn)（不與

點(diǎn)B,點(diǎn)C重合），連接。E并延長(zhǎng)，交力B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)立求證：△。。后?△山切.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證明4=”,Z-CDE=ZF,即可證得結(jié)論.

【詳解】證明：???四邊形是平行四邊形，

：.AB||CD,LA=ZC,

：,LCDE=",

/.ACDEAFD.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定，熟練掌握上述知識(shí)是解題

的關(guān)鍵.

5.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，力。平分Z_B4C,點(diǎn)E在?1C上，KzE/lD=LADE.

（1）求證：ADCE-〉BCA；

（2）若力8=6,AC=8,求黑的值.

【答案】（1）見解析

Q）竺=3

''CD4

【分析】（1）已知力。平分N84C,可得乙84。二404。，再由4E4O=4/0E,可得4840=Z.4OE,即可

得。臼必歷從而得

（2）作0F_L4B于點(diǎn)R。6_14。于點(diǎn)6,利用角平分線的性質(zhì)得到。F=OG,再利用三角形面積公式求

得沁=：,據(jù)此即可求解..

ShADC4

【詳解】（1）證明;L洋。平分的C,

：,z.BAD=乙DAC,

'：LEAD=匕ADE,

：.z.BAD=/.ADE,

：.DE\\AB,

:?kDCE?△BCA',

(2)解：作。尸14B于點(diǎn)尸，。614。于點(diǎn)6,

?ND平分/B4C,

:.DF=DG,

...S“OB='BXS="=￡=W,

SJ,ADC~，CXDG一AC-8-4’

??SA/WB_gP

SBADCCD'

.BD_3

??一?

CD4

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、平行線的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，掌握“角平分線上點(diǎn)到

角兩邊的距離相等”是解題的關(guān)鍵.

6.（2023?浙江寧波?校考三模）如圖，在四邊形ABC。中,AB\\CDfzU=90°,AB=4,CD=2,BC=

m,。為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且和8、C不重合，連接P4,過〃作PE1PA交CD所在直線于￡

A

（1）請(qǐng)找出一對(duì)相似三角形，并說明理由；

（2）若點(diǎn)P在線段8C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E總在線段CD上，求〃?的取值范圍.

【答案】(12ABP-理由見解析

(2)0<m<4V2

【分析】(1)證明Z-B=LC=90°,4BAP=4PE可得△ABP~APCE；

(2)設(shè)BP=x,CE=y,則PC=m—%,根據(jù)△力8Ps△PCE,可得y=—求出y最大值為

去因?yàn)榇?2且m20即可得到答案.

【詳解】(1)解：AABP?APCE,理由如下：

\'AB\\CD,=90%

AzB=zC=90°,乙BAP+乙APB=90°,

?：PE1PA,

，，力P3+4CPE=90°,

：,LBAP=乙CPE,

:MABP~〉PCE(的

(2)解：?；BC=m,

設(shè)BP=x,CE=y,貝i」PC=m-x,

'：LABP^LPCE,

,AB_BP

*?PC~~CE"

*：AB=4,

?整理得y=—工工2+巴工，

m-xy44

???)'=一(％2+；%=-](無一I)?+震(0<%<m),

???當(dāng)”與時(shí)，y取最大值，最大值為哈

V^<2,解得一

1n

又?,?mN0,

AO<m<4&：

【點(diǎn)睛】本題考查了幾何問題，涉及到三角形相似的判定和性質(zhì)、求線段的取值范圍，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

是關(guān)鍵.

題型03確定相似三角形的對(duì)數(shù)

7.（2023?山西晉中?統(tǒng)考一模）在三邊都不相等的△力8c的邊A&上有一點(diǎn)。，過點(diǎn)。畫一條直線，與三角

形的另一邊相交所截得的三角形與△ABC相似，這樣的直線最多可以畫（）

A.5條B.4條C.3條D.2條

【答案】B

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理，即可求解.

【詳解】解：如圖，畫直線OE||BC交4c于點(diǎn)￡則

如圖，畫直線OE交/C于點(diǎn)E,使乙4ED=NB,

*：LA=

:.kAED^△ABC；

如圖，畫直線OEII交8c于點(diǎn)E,則△BDE?△BAC；

如圖，畫直線OE交8c于點(diǎn)E,使乙命。二乙4,

B

??"=3

:BDE~△BCA；

???這樣的直線最多可以畫4條.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?廣東江門?校考一模）如圖，80和CE是△力8C的高，則圖中相似三角形共有（）

A.3對(duì)B.4對(duì)C.5對(duì)D.6對(duì)

【答案】D

【分析】根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似確定出相似三角形即可.

【詳解】解：80和CE相交于。點(diǎn)，如圖，

?"=〃，Z.ADB=AAEC=90°,

:.AABD?bACE,

'：LOBE=Z.ABD,乙BED=ABDA,

??AOBEs&ABD,

?:乙BOE=乙COD,乙BEO=乙CD。,

**?AOBEOCD?

KABDs&ACEOBEOCD,

???圖中相似三角形有：2OBEs^ABD；i^ABD-^ACE；LABD-^OCD；△OBEACE；△OBE

OCD；〉A(chǔ)CEfOCD,共6對(duì)相似三角形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查/相似三角形的判定：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.利用相似的傳遞性確定相

似三角形的對(duì)數(shù).

9.（2020?陜西西安?高新一中?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)E是平行四邊形ABCD中BC的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接

AE交CD于F,交BD于M,則圖中共有相似三角形（不含全等的三角形）（）對(duì).

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AD//BC,AB//CD,根據(jù)相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，即可得到圖

中的相似三角形的對(duì)數(shù).

【詳解】???四邊形ABCD是平行四邊形，

AAD//BC,AB//CD,

/.△ADM^AEBM,△ADF^AECF,△DFM^ABAM,△EFC^AEAB,

VZAFD=ZBAE,ZDAE=ZE,

AAADF^AEBA,

，圖中共有相似三角形5對(duì)，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定，平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所

構(gòu)成的三角形與原三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等（或三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等），那么

這兩個(gè)三角形相似；熟練掌握相似三角形的判定定理是解題關(guān)鍵.

題型04在網(wǎng)格中判斷相似三角形

10.（2022?廣東湛江?嶺師附中校聯(lián)考三模）如圖，在小正方形的邊長(zhǎng)為I的網(wǎng)格中，三角形的頂點(diǎn)都在格

點(diǎn)上，與△48。相似的是（）

【分析】根據(jù)分別求出個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的判定，逐項(xiàng)判斷即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：AB=Vl2+32=V10,AB=Vl2+12=V2,AB=V22+22=2^,

A、三邊長(zhǎng)分別為2,，32+I?=回N3?+32=33,則賽#:瑞H5則該三角形不與△力8c相似，故

本選項(xiàng)不符合題意；

B、三邊長(zhǎng)分別為2,3,后不孕=后，則靠工,工專，則該三角形不與相似，故本選項(xiàng)不符合題

思；

C、三邊長(zhǎng)分別為2,4,222+42=2區(qū),則篇=壺=*=企，則該三角形與△48。相似，故本選項(xiàng)符合

題意；

D、三邊長(zhǎng)分別為"不N=64,歷矛=舊，則磊工瑞瑞，則該三角形不與△回相似，故本

選項(xiàng)不符合題意；

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?遼寧撫順?統(tǒng)考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中：①△CE8：②△C08；?△DEB：這3個(gè)斜三角

形中，能與△ABC相似的是.（點(diǎn)4、B、C、。、E均在格點(diǎn)上）

【答案】ADEB

【分析】分別求出三個(gè)三角形的三邊的比（按邊長(zhǎng)的大小順序），所求三邊之比等于△ABC的三邊之比就是

與A48C相似的三角形.

【詳解】解：?.?△/18。的三邊之比是＜b4。：8。=1:魚:西，

△CE8的三邊之比是BC:EC:BE=VS:3:2花，

△CD8的三邊之比是CD:8C:80=l：V5:2x/2,

△DEB的三邊之比是DE:BD:BE=2:2注:V20=1：V2:V5.

，AZ）E8與△ABC相似，

故答案為：ADEB.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，勾股定理與網(wǎng)格，掌握“三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似“是解

題的關(guān)鍵.

12.（2017?天津和平?統(tǒng)考二模）如圖，在正方形網(wǎng)格上有6個(gè)三角形：①△ABC,@ACDB,③aDEB,

@AFBG,⑤△HGF,?AEKF.在②~⑥中，與①相似的三角形的個(gè)數(shù)是.

【答案】3

【分析】先利用勾股定理計(jì)算出HC=立，BD=2y/2,BF=EE=V5,BE=ZV5,EK=HG=V2,EG=

710,然后利用三組對(duì)應(yīng)邊的比相等的兩個(gè)三角形相似依次判斷ZkCDB,ADEB,AFBG,△HGF,AEKF

與么ABC是否相似.

【詳解】解：AB=1,AC=>/2,BC=Vl2+22=V5,CD=1,BD=2或，DE=2,BF=EF=V5,BE=

2VS,FH=2,EK=HG=或，F(xiàn)G=Vl2+32=>/10,BG=5,

,.BCBD2^22y/l0

?=Vs=Vrp5,CD=1-V29=^~=?

AB1ACy/22BCV55

ACDB與ZkABC不相似；

..DE2、DB242_BE275

?——2，-「=2，=~~7~~=n'，

AB1AC>/2BCV5

AADEB^AABC；

??BF_再一厭FG_同一厭BC_s_氏

?^-T-V5,丘一百-V5,證一忑-V5,

/.AFBG0°AABC；

..HG\[2pzHF2rxFGV10rx

.—=-=V2?-=-==Vz,-=—F-=V4?

AB1VACV2BCV5

.,.△HGF<^AABC；

..EK/XEFV5xfioFK33有

?布=V2,^=^=—~^=^=—

:.AEKF與z\ABC不相似.

故答案為3.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和勾股定理.

相似三角形的判定：（1）如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形

相似；

（2）如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相

似；

（3）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.

題型05利用相似的性質(zhì)求解

13.（2023?貴州貴陽?統(tǒng)考一模）婦圖，AABC—DEF,若4B=2,DE=3,則8C:E尸的值等于（）

A.1：2B.1：3C.2：3D.4：9

【答案】C

【分析】由相似三角形的性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：*：>ABO&DEF,48=2,DE=3,

.BCAB2

,.—=—=—,

EFDE3

即BCE尸=2：3；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似的性質(zhì)是關(guān)鍵.

14.(2023?江西南昌?統(tǒng)考一模)如圖,△?！晔捻旤c(diǎn)。,南在^力毛。的邊8(；上,EF\\ACfDF\\AB,若乙F=

55。，則乙1=()

A.45°B.55°C.60°D.65°

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，可證△力。即可得到答案.

【詳解】解：???"MC,Z)/M48,

：.LB=^FDE,Z.C=/.FED,

???MBC?△尸DE(AA),

:.Z.A=",

VzF=55。,

：.LA=55。，

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

15.(2023?四川成都?統(tǒng)考一?模)若&ABCjDEF,且黑=；，若△A8c的周長(zhǎng)為2,則△OEF的周長(zhǎng)為

L/C<5

()

A.IB.C.6D.18

93

【答案】C

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到嘿舞然后利用比例性質(zhì)計(jì)算.

△DEF|fj/n|伏3

【詳解】解：?.?△ABC?ZiOE凡且皆=：，相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比，

L/O

.AABC的周長(zhǎng)_1

"ADEF的周長(zhǎng)―3’

.??△DEF的周長(zhǎng)=2x3=6,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比是解答本題的關(guān)鍵.

16.(2023?甘肅張掖?校聯(lián)考一模)已知△/BC-△/)￡1廣，相似比為2,且△48c的面積為12,則△CE廠的

面積為.

【答案】3

【分析】根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方求解即可.

【詳解】解：???△48C?AOEF,相似比為2,

.??經(jīng)理=22,

ShDEF

的面積為12,

?_12_4

ShDEF='

??SADEF=3.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型06利用相似的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

17.(2022?廣東汕頭,林百欣中學(xué)?？家荒?如圖，矩形ABC。的頂點(diǎn)8,C分別在x軸，y軸上，OB=4,

0c=3,AB=\0,將矩形A8CD繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90。，則第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐

A.(10,8)B,(8,-10)C.(-10,8)D.(一8,10)

【答案】D

【分析】過點(diǎn)4作AEJ_x軸于點(diǎn)E,連接。4,根據(jù)已知條件求出點(diǎn)4的坐標(biāo)，探究規(guī)律，利，書規(guī)律解決

問題即可.

【詳解】解：過點(diǎn)4作軸干點(diǎn)日連接OA.

:.BC=OB2-{-OC2=5,

/AEB=ZABC=/BOC=90°,

???NA4￡+NC3O=900,NC30+ZBCO=90°,

/.ZABE=ZBCO,

???△AEBsgOC,

,ABAEBE

???9

BCOBOC

???w=些=匹，

543

?"E=8,RE=6,

：.。七=10,

??A(—10,—8),

則第I次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-8,10),

則第2次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,8),

則第3次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8,-10),

則第4次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-10,-8),

觀察可知，4次一個(gè)循環(huán)，

V202K4=505...1,

???第2021次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-8,10),

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)、規(guī)律型-點(diǎn)的坐標(biāo)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)

規(guī)律，總結(jié)規(guī)律.

18.(2023?湖南邵陽?統(tǒng)考一?！翟谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系內(nèi)，一束光線從點(diǎn)P(4,4)射向x軸上的點(diǎn)經(jīng)x軸反

射后反射光線經(jīng)過點(diǎn)Q(0,2),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為

【答案】($0)/(1,0)

【分析】構(gòu)造相似三角形后，利用相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【洋解】解：作PN1不軸于N,

由題意得匕PMN=4QMO,

,MNPN4.

??———=—=N,

OMOQ2

，MN=20M,

：.0M=^0N,

?：0N=4,

：,0M=-3,

故答案為：Q,o).

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是正確構(gòu)造相似三角形，并能利用相似三角形的

性質(zhì)求解.

19.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考一模）婦圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形4B0C的邊OB,0。分別在大軸、），軸的

正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,6）,點(diǎn)。在矩形的內(nèi)部，點(diǎn)E在8。邊上，且滿足△P8EC8。，當(dāng)

△4PC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

OBx

【答案】（4,3）或仔,§

【分析】由題意知，II。。，點(diǎn)P在線段8c上，分兩種情況：當(dāng)月P=CP時(shí)，點(diǎn)P是線段AC的垂直平分

線與BC的交點(diǎn)，即點(diǎn)尸是。4的中點(diǎn)；當(dāng)。4=CP時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【詳解】解：4PBE?4CBO,

:.LBEP=乙B0C=90°,Z.PBE=乙CBO,

???PEIIOC,點(diǎn)P在線段8c上.

丁月點(diǎn)的坐標(biāo)為（8,6）,

JOB=8,OC=6,由勾股定理得：BC=10；

如圖I所示，當(dāng)4P=CP時(shí)，點(diǎn)P是線段4。的垂直平分線與BG勺交點(diǎn)，即點(diǎn)夕是8C的中點(diǎn)，

???點(diǎn)。是。力的中點(diǎn)，

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4,3）；

如圖2所示，當(dāng)乙4=CP時(shí),

???四邊形力8。。是矩形，

.*.AC=OB=8,

：.CP=8,BP=2,

VbPBEs^CBO,

.PEBEBP1

??——?=一,

OCOBBC5

：.PE=-0C=-,BE=-0B=-,

5555

：,0E=OB-BE=8--=^-,

???點(diǎn)p的坐標(biāo)為(t,I):

綜上所述，(4,3)或傳，I).

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，勾股定理，矩形的性質(zhì)等知

識(shí)，注意分類討論思想的運(yùn)用.

2（）.（2022.江蘇南京.統(tǒng)考二模）婦圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AAOB是等邊三角形，點(diǎn)8在大軸上，C,

。分別是邊AO,八△上的點(diǎn)，且。從OC=2AC,若8=2,則點(diǎn)八的坐標(biāo)是.

【答案】（3,375）

【分析】由CO〃。仇OC=2AC可求得08,再利用等邊三角形的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】解：過點(diǎn)A作力￡1。8于E,如圖所示

,:CD//OB,0C=2AC,

:,?—AC=_一1,

AO3

又CD=2,

OB=3-CD=6,

又A08是等邊三角形，且4E10B,

...0E=BE=^-0B=3,OA=OB=6,

在KtA/lOE,/-AEO=90°,OE=3,OA=6,

:.AE=VO/l2—OE2=V62-32=3A/3,

則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3,3次），

故答案為：（3,375）.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

21.（2023?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系％0y中，4（1,0）,8（0,2）,點(diǎn)C為圖示中正方形網(wǎng)

格交點(diǎn)之一（點(diǎn)。除外），如果以4、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△。力B相似，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)是.

【答案】(1,2)、(5,2)、(4,4)

【分析】根據(jù)△OAB是直角三角形，構(gòu)造K字形相似即可得出以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△。48相似的

點(diǎn)C坐標(biāo).或直接作出全等三角形.

【詳解】解：以48為共同的斜邊時(shí)，ACBA會(huì)△048,得G坐標(biāo)為(1,2),

過點(diǎn)A作48的垂線，當(dāng)力。=248=2通時(shí).，△4BC~4048,得C2(5,2),

過點(diǎn)B作48的垂線，當(dāng)BC=248=2通時(shí)，ABAC?&OAB,得Q(4.4).

故答案為:(1,2)、(5,2)、(4,4)

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵，注意分類討

論.

題型07在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形

22.(2021?浙江寧波?統(tǒng)考一模)婦圖，方格紙中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,ZkABC是格點(diǎn)三角形(頂

點(diǎn)在方格頂點(diǎn)處).

r-r1-1-TnrTT-|-T1rTi-T1-1

I___|_

」

「

I_一」一J.n__|_

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I__」_J.___

T??1

____

_J-_j_」‘1—

I-??1"

__一」一I__J.__I_

II

」

I-J-_

Ei

⑴在圖1中畫出一個(gè)格點(diǎn)使得AAiBiG與△ABC相似,周長(zhǎng)之比為畫1；

(2)在圖2中畫出一個(gè)格點(diǎn)△&82C2，使得△力24。?與△4BC相似，面積之比為2：1.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把△48C的邊長(zhǎng)擴(kuò)大2倍即可.

（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，把△力BC的邊長(zhǎng)擴(kuò)大企倍即可.

【詳解】（1）解：如圖，△&B1J即為所求作.

（2）如圖，AA282c2即為所求作?

「

「

「一

r|_「-

i-1萬1|IIIII

i_Zu一|

I「

「

卜十d<1

圖1

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-相似變換，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面枳等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解

題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

23.（2022?湖北武漢?校聯(lián)考二模）如圖是由小正方形組成的8x7網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，

△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，邊AC上的。也是一個(gè)格點(diǎn).僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫

圖過程用虛線表示.

A

(2)

⑴在圖（1）中，先將線段C8繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，畫出對(duì)應(yīng)線段CE,再在CE上畫點(diǎn)F,使

△BCFs4BDA；

（2）在圖（2）中，先在邊/W上畫點(diǎn)G,使DG〃BC,再在邊上畫點(diǎn)從使人〃+?！ㄖ底钚?

【答案】（1）答案見詳解

（2）答案見詳解

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)作點(diǎn)5的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E,CE二CB,CE與格點(diǎn)交于點(diǎn)”，連接4尸即可，F(xiàn)C-.

BC=FC：EC=3：4,tanzraC=tanz.ABD=因此4EBC="80,=zfiCF=900,進(jìn)而

44LADB

可得△BCFs△BDA;

（2）作點(diǎn)。關(guān)于3。的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接4。交于點(diǎn)兒連接。H,點(diǎn)”即為所求.

【詳解】（1）解：如圖，線段C￡,點(diǎn)尸即為所求，

A

（2）解：如圖，線段。G,點(diǎn)〃即為所求,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)及相似三角形的判定，靈活運(yùn)用以上知識(shí)點(diǎn)作圖是做出

本題的關(guān)鍵.

24.（2020?新疆?三模）如圖1,在6x6的方格紙中，有格點(diǎn)△ABC（三個(gè)頂點(diǎn)都在方格頂點(diǎn)上的三角形）

（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中作一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與AABC相似（不全等），且相似比為有理數(shù)；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D3中作一個(gè)格點(diǎn)三角形，使它與aABC相似，且相似比為無理數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）直接利用相似三角形的性質(zhì)畫出與AABC相似比為2即邊長(zhǎng)分別為2,4,2日的三角形即

可.

（2）直接利用相似三角形的性質(zhì)畫出與AABC相似比為近即邊長(zhǎng)分別為企，2V2,VTU的三角形即可.

【詳解】（1）如圖2所示：它與AABC相似（不全等），且相似二匕為2.

（2）如圖3所示：它與AABC相似（不全等），且相似比為VL

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)三邊比值相等計(jì)算出三邊長(zhǎng)度是解題關(guān)鍵.

題型08證明三角形的對(duì)應(yīng)線段成比例

25.（2023?廣東惠州?統(tǒng)考二模）如圖，把矩形48co沿力。折疊，使點(diǎn)。與點(diǎn)￡重合，AE交BC于點(diǎn)F,過

點(diǎn)、E作EG||CD交AC于點(diǎn)、G,交6于點(diǎn)H,連接。G.

E

⑴試判斷四邊形ECDG的形狀，并加以證明；

（2）連接EO交4c于點(diǎn)0,求證：

（3）在（2）的條件下，若OG=6,AG=y,求CG的值.

【答案】（1）平行四邊形ECDG是菱形，證明見解析

⑵見解析

⑶CG=

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DC=BC,乙DDG=^ECG,再由平行線的性質(zhì)及各角之間的關(guān)系得出

乙EGC=^ECG,結(jié)合菱形的判定證明即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出2。。。=90。，再由相似三角形的判定和性質(zhì)即可證明；

(3)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出EO_L/C,OC=；CG,CD=GE=6=DG,設(shè)OC=x,則CG=2hAC=

2x+藍(lán)，根據(jù)(2)中結(jié)果求解即可.

【詳解】(1)證明：四邊形ECDG是菱形，

證明如下：由折疊重合可知DC=BC,乙DDG=LECG,

，：EGIICD,

：.LDOG=Z.EGC

而/OCG=NECG,

Z.EGC=/.ECG,

：.EG=",

：,BG=CD,

又「EG||CD,

???四邊形ECDG是平行四邊形，

又?：DC=EC,

，平行四邊形ECDG是菱形.

(2)???四邊形ECDG是菱形,

：.ED1/IC,

/.zDOC=90。，

???四邊形力BCD是矩形，

：.LACC=乙DOC=90°,

又,：U)C0="CD,

4DCOACD>

**~AC-DC,

：.DC2=OC^AC

(3)???四邊形ECDG是菱形，

：.ED1AC,OC=-CG,CD=GE=6=DG,

2

設(shè)0C=x,則CG=2x,AC=2x+^,

由(2)得：DC2=OCAC,

.*.36=x（2x+=）,

解得與=￡,X2=5(不合題意，舍去)，

:?CG=-.

5

【點(diǎn)睛】題目主要考查矩形、菱形的判定和性質(zhì)，折置的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方

程，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

26.(2023?廣東珠海?珠海市紫荊中學(xué)?？既?操作與研究：如圖，△/BC被平行于CO的光線照射，

CD1ABD,48在投影面上.

圖2

(1)指出圖中線段4c的投影是,線段BC的投影是.

(2)問題情景：如圖1,RtZk/BC中，41cB=90。，CDLAB,我們可以利用△4BC與△4C。相似證明

AC2=ADXAB,這個(gè)結(jié)論我們稱之為射影定理，請(qǐng)證明這個(gè)定理.

⑶拓展運(yùn)用如圖2,正方形ABC。的邊長(zhǎng)為15,點(diǎn)。是對(duì)角線AC、8。的交點(diǎn)，點(diǎn)七在。。上，過點(diǎn)。作

CFLBE,垂足為八連接。F：

①試?yán)蒙溆岸ɡ碜C明△BO”△BED；

②若DE=CE,求。尸的長(zhǎng).

【答案】(IM。、BD；

(2)證明見解析；

(3)①證明見解析；②3^

【分析】(1)根據(jù)題意，即可得到答案；

(2)證明?△力CO,得到卻=*，即可證明定理；

ADAC

⑶①利用射影定理，得到=BC2=BFBE,進(jìn)而得到g=的即可證明AB。?△

BED；

②根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理，求得8。=：80=萼，BE=*再利用相似三角形的性質(zhì)，得到

器=給即可求出OF的長(zhǎng).

DDUC

【詳解】(1)解：根據(jù)題意可知，圖中線段47的投影是AD,線段BC的投影是BD,

故答案為：AD.BD；

(2)證明：???CD1AB,

二Z.ADC=90°,

:.Z.ADC=z.ACBf

vZ.BAC=乙CAD,

.1.△ABC-,'AACD,

tAC_AB

**AD~AC'

AC2=ADxAB；

(3)①證明：?.?四邊形ABC。是正方形，

/.AC1BD,乙BCD=90°,

BC2=BO?BD,

???CF1BE,

:.BC2=BF?BE,

/.BO?BD=BF?BE,

BO_BF

:?—=----,

BEBD

vZ.OBF=乙EBD,

???△BOFs△BED；

②解：???正方形力BCD的邊長(zhǎng)為15,

BC-CD-15,OB--BD,

2

在Rt△BCD中,BD=\/BC2+CD2=V152+152=1572,

...BO=—,

2

vDE=CE,

i15

???DE=CE=-CD=—,

22

在Rt△8CE中，BE=VSC2+CE2=J152+(y)2=竽,

BOF~△BED,

BOOF

--=--，

BEDE

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、射影定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是

掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，理解射影定理：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比

例中項(xiàng)；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).

27.（2022?海南?？??？谑畜示胖袑W(xué)校考二模）如圖①，在菱形A8CD中，4力=60。，8。是對(duì)角線，點(diǎn)

E、E分別是4B、4D上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：不與端點(diǎn)重合），比4產(chǎn)=BE,BF與DE交于點(diǎn)、G.

圖①圖②

（1）求證：4AED-DFB：

（2）如圖②，連接CG,若CG1BD于點(diǎn)H,求證：EF2=GH-HC；

（3）若=試探究8尸與G"的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）FF=（n2+n+l）GF,證明見解析

【分析】（1）由菱形的性質(zhì)及乙4=60。證明為等邊三角形，繼而利用等邊三角形的性質(zhì)即可證明；

（2）同（1）可得AC80為等邊三角形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明CG是8。的垂直平分線，再由三角形中

位線的性質(zhì)得出EF=：3。=0”,再證明ADGH?ACO”,由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

（3）過點(diǎn)尸作“IL4E,交QE于點(diǎn)P,可證明ADAE?AD”,進(jìn)而求得FP=把，再通過證明APG”?

XPEB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)???四邊形A5c。是菱形，且乙A二60。，

AD=AB,

???LA=60°,

A4BZ)為等邊三角形，

Z.A=Z.BDA=60°,AD=BD,

vAF=BE,

AD-AF=AB-BE,即。F=AE,

.-.△/1FD=△DFB(SAS)；

(2)???四邊形A3CO是菱形，CGI8。，

???CG為菱形ABC。的對(duì)角線，即CG是8D的垂直平分線,

同(1)可得AC。。為等邊二角形，

???Z.DCG=\LDCB=30°,GD=GB,

???Z.GDB=乙GBD,

Z.ADE=乙DBF,

:.Z.ADE=Z.BDE,

DE平分乙4OB,

.?,點(diǎn)￡是A3的中點(diǎn)，同理可證點(diǎn)b是AQ的中點(diǎn)，

二EF=：BD=DH,

?:乙DHG=乙DHC=90。，4BDG=乙DCH,

???WGH?ACDH,

，空=優(yōu)

GHDH

二DH2=GH?HC,

二EF2=GH-HC；

(3)FF=(n2+n+l)GF,證明如下：

DC

如圖，過點(diǎn)尸作FPIL4E,交OE于點(diǎn)尸，

Z.A=Z.DFP.Z.DEA=乙DPF,

???LDAE?XDFP,

vAF=nFD,

:.FP-.AE=DF.DA=l:(n+1),

.%FP=—,

n+l

-AF=BE,AB=AD.AE=FD,

???BE-nAE,

???FPWAE,

Z.PGF=乙PEB,乙PFG=Z-PBE,

???APGF?APEB,

AE

..-二二1二FG

"BEnAEn(n+l)GB'

BG=n(n+1)GF,

???fiF=(n2+n+1)GF.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性

質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，并準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

題型09利用相似三角形的性質(zhì)求解決折疊問題

28.(2023?江蘇泰州?校考三模)幻圖,已知RtA38C中,“=90。,47=6,48=9,E是AB上的一點(diǎn),

BE=5,點(diǎn)。是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿AD折疊△4CD,點(diǎn)C與L重合，連接8C'.

I

DB

⑴求證:△NEC'"△AC'B；

(2)若點(diǎn)尸是BC上一點(diǎn)，且89=、虧，求?C'+：BC'的最小值.

【答案】(1)見解析

(2)|V30

【分析】(1)折疊，得到力C=6,根據(jù)48,BE的值，求出力E的值，進(jìn)而得到噂7=嗎，再根據(jù)

ACAB

/.EAC=Z.EAB,即可得證；

(2)根據(jù)相似的性質(zhì)得到彳8C'=LE,得至I]FC'+|BC'=FC'+EC'2EF,得到當(dāng)C,9三點(diǎn)共線時(shí)，

FC；+|BC'的值最小為E"的長(zhǎng)，過點(diǎn)E作EH1BC于點(diǎn)H,易得以BHE?ABCA,求出EH的長(zhǎng)，利用勾股

定理求出EF的長(zhǎng)即可.

【詳解】(I)解：???沿力。折疊△小CD,點(diǎn)C與C'重合，

：,AC=AC=6,

*：AB=9,BE=5,

：.AE=4t

,,AE_4_2AC'_6_2

?^=6=3^=9=r

.AE_AC'

**AC'~AB'

又血C'=Z-EAB,

：,LAEC-LACBx

(2)?：>AEC'

.%_AE__2

?*BF-Q-&

:,馬BU=EC',

3

???FC'+泗'=FC+EC>EF

???當(dāng)點(diǎn)E,點(diǎn)C',點(diǎn)尸三點(diǎn)共線時(shí)，/。'+|8。'有最小值為￡尸的長(zhǎng),

如圖，過點(diǎn)E作EH18C于"

：.BC=y/AB2-AC2=V81-36=3底

*：LACB=乙EHB=90°,乙ABC=乙EBH,

：,LABCfEBH,

,BEEHBH

..—=-=--

ABACBC

.5_EH_BH

??G=T=運(yùn)

10

???trnu—-—,D*n—_5V3q,

:?HF=BH-BF=卓,

：.EF=>JEH2+HF2

=-3V30.

???FU+[BU的最小值[順.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角

形的判定定理，證明三角形相似.

29.（2023?山西呂梁?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

如圖I,在RIA48C中，ZC=90a,BC>AC.

猜想證明；（1）如圖1,點(diǎn)￡>在8C邊上々D/1C=45。.將ZMSC沿4。所在直線折疊，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

E.試猜想四邊形4C0E的形狀并加以證明.

實(shí)踐探究：(2)如圖2,拓展小組受此問題啟發(fā)，將△A8C沿過點(diǎn)C的直線C尸折疊.點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

G.且CG148于點(diǎn)H.若力C=2百，BC=475,求8"的長(zhǎng).

問題解決：(3)如圖3.探究小組突發(fā)奇想，將△A8C沿過點(diǎn)A的直線4M折疊，若乙8AM=45。，AC=

4,CM=3,直接寫出的長(zhǎng).

【答案】(1)正方形，理由見解析：(2)10-2V5：(3)25

【分析】(1)先判斷四邊形/CDE是菱形即可得出結(jié)論；

(2)先證明求出B，=8,再證?△尸G，得到N=翌=；,設(shè)未知數(shù)列方程解決即

GHBC2

可；

(3)先證ABMN?2X84C得88在Rt△48c中，由勾股定理求出8M即可.

【詳解】(1)解：正方形.

證明：VZ.C=90°,^DAC=45°；

???LADC=180°-zC-Z-DAC=45°,

即/ADC=乙DAC,

CA=CD,

由折疊知：AC=AE,CD=DE,

AAC=CD=DE=AE,

???四邊形ACDE是菱形，

vZC=90°,

???菱形4CDE是正方形；

(2)在RtZiABC中，Z,ACB=90\AC=275,BC=4瓜

AB=>JAC2+BC2=10,

vCG±AB,

Z.ACB=乙BHC=90°,

又=乙B,

A3BCR”104>/5

：?—,7=—,

BSBH4百BH

BH=8,

由折疊知：(B=LG,BF=GF,

???CG1AB,

???Z.ACB=乙GHF=90°，

???△ABC'-'AFGH,

—FH=—AC=—i,

GHBC2

設(shè)卜〃=x,則G"=2x,BF=GF=8-x,

在Rt△產(chǎn)GH中，GF2=GH2+FH2,g|J(8-x)2=x2+(2x)2,

Xi=-2+2后必=-2-2花(舍)，

fiF=8-x=10-2V5；

(3)在Rt△力CM中，AC=4,CM=3,

AM=5,

則，ANM=乙BNM=90°,

在RtAAMN中，4b4M=45。,

MN=AM-sinZ.BAM=—2,

???iBNM=ZC=90°,乙B=,

???△BMNs△BAC,

SV2_

BMMNF5夜

:.==—i―=,

BAAC48

...AB

在歐△48C中，由勾股定理，得:

AC2+BC2=AB2.

2

即42+(3+BM)2=(*BM),

解得：=25或BM=-三（不合題意，舍去），

二8M得長(zhǎng)為25.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用正方形判定方法和相似三

角形判定定理是解題關(guān)鍵.

30.（2023?河