2025年上海市數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)精講精練 第10講空間向量與立體幾何（11類核心考點精講精練）含詳解

第10講空間向量與立體幾何(11類核心考點精講精練)

IV考情探究,

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析

棱錐的體積、直線與平面所成的角

2024年秋考17題

異面直線及其所成的角，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、平面與平面

2024年春考10、14、18題

之間的位置關(guān)系、空間兩條直線的位置關(guān)系，二面角的平面角及求法、直

線與平面垂直

2023秋考12、17題棱錐的結(jié)構(gòu)特征，二面角的平面角及求法、直線與平面平行

2023春考15、17題異面直線的判定，直線與平面所成的角、點、線、面間的距離計算

圓柱的側(cè)面積，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，棱柱、棱錐、棱臺的

2022秋考5、15、17題

體積、直線與平面所成的角

2022春考15、17題

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角

2021年秋考9、17題空間中的最值問題，直線與平面所成的角、三棱錐的體積

2021年春考3、17題圓錐的側(cè)面積，直線與平面所成的角、棱錐的體積

2020年秋考15、17題空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面所成的角、圓柱的表面枳

2020年春考6、21題幾何體的體積，空間點線面的距離的求法

2.備考策略

一、求解空間幾何體的外接球問題的策略

(1)定球心：球心到接點的距離相等且為半徑.

(2)作截面：選準最佳角度作出截面(要使這個極面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系),

達到空間問題平面化的目的.

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出我面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

二、求解空間幾何體的內(nèi)切球問題的策略

空間幾何題的內(nèi)切球問題，一足找球心，球心到切點的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半徑；二是

利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.

三、解決與幾何體有關(guān)的動點軌跡問題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進行判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)去進行計算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進行排除.

四、在動態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的解題思路

(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點、線、而在何位置時，所求的量有相應(yīng)最大、最小值.

(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值.

五、作幾何體截面的方法

(1)利用平行直線找找面.

(2)利用相交直線找截面.

六、找交線的方法

(1)線面交點法：各棱線與我平面的交點.

(2)面面交點法：各棱面與截平面的交線.

考點梳理?

知識講解

一、空間幾何體的側(cè)面展開圖

(1)圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.

(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.

(3)圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán).

二.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積

(1)5sHi創(chuàng)=2?！保琒1ag=2w(r+/)(＞為底面半徑,/為母線長).

(2)S即娘M=w/,S?；叱="(/?+/)(,?為底面半徑，/為母線長).

(3)SM=47CR2(R為球的半徑).

三.空間幾何體的體積公式

(i)r\=s/?(s為底面面積，〃為高).

(2)r\=；sa(s為底面面積，力為高).

(3)九=；(S上+Js上6下+S下)〃(S上,ST分別為上、下底面面積，h為高).

4

(4)P球=；兀**(區(qū)為球的半徑).

四、求空間多面體的外接球半徑的常用方法

(1)補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ停梢赃€原到正方體或長方體中去求解；

(2)定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底而的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定

在垂線上，再根據(jù)到其他頂點的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

五、判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法

(1)根據(jù)空間線面干行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項劌斷，解決問題.

(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進行判斷.

六平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

面面平行的判定

面面平行的性質(zhì)

面面套直的判定

面面垂直的性質(zhì)

七、異面直線所成的角

設(shè)異面直線/,小的方向向量分別為a=(m,bi,ci),力=(。2,bi,ci),異面直線/與陽的夾角為。

.(0,-

則2J:

(2)cos<?=|cos〈明方〉1=嗎

10ml

|。1。2+岳岳+。|。2|

山+尻+d㈤+日+&

用向量法求異面直線所成的角的一般步躲

(1)建立空間直角坐標系.

(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(0

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是I2J,即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.

八、直線與平面所成的角

0n

設(shè)直線/的方向向量為明平面a的法向量為〃，直線/與平面a所成的角為〃，則(l)Oe［'2」：(2)s:n〃=|cos〈明〃〉

尸依川

即I

(1)線面角夕與直線的方向向量〃和平面的法向量〃所成的角〈%〃〉的關(guān)系是〈％〃〉+。=；或〈%〃〉一

所以應(yīng)用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值.

(2)利用方程思想求法向量，計算易出錯，要認真細心.

九、平面與平面所成的角

設(shè)平面a,少的法向量分別為〃，V,平面a與平面用的夾角為。，則(DewJ"2］(2)cosJ=|cos〈〃，0〉|="研.

Ml研

平面與平面夾角的取值范圍是(?'』，兩向量夾角的取值范圍是［0,兀］,兩平面的夾角與其對應(yīng)的兩法向量的夾角

不一定相等，而是相等或互補.

十、空間距離

(1)點到直線的距離

直線/的單位方向向量為〃，力是直線，上的任一點，P為直線/外一點，設(shè)誦=%則點尸到直線/的距離［二飛二二面衣.

（2）點到平面的距離

平面a的法向量為〃，4是平面a內(nèi)任一點，P為平面a外一點，則點P到平面a的距離為d=""〃L

\n\

（3）求點到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點到平面的距離公式，二是利用等體積法.

（4）求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行.求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點到平面的距離.

十一、空間探究性問題

與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系：另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足

特定要求時的存在性問題.處理原則：先建立空間直角坐標系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點的坐標,

然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷.

解決立體幾何中探索性問題的基本方法

（1）通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對象存在或結(jié)論成立，再在這個前提下進旺推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，

說明假設(shè)成立，并可進一步證明，否則假設(shè)不成立.

（2）探索線段上是否存在滿足條件的點時，一定注意三點共線的條件的應(yīng)用.

考點一.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

典例乳領(lǐng)

1.（2023?嘉定區(qū)二模）已知一個棱長為1的正方體，與該正方體每個面都相切的球半徑記為飛，與該正方體每條

技都相切的球半徑為《，過該正方體所有頂點的球半徑為&,則卜列關(guān)系正確的是（）

A.凡：&:&=《：6：2B.凡+4=&

C.R；+R；=R；D.R；+&=R；

2.（2023?閔行區(qū)校級一模）《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉嚅”，在長方體

ABCD-ABCQi中,鱉脯的個數(shù)為（）

A.48B.36C.24D.12

即時檢測

3.（2。24?青浦區(qū)二模）如圖，在棱長為1的正方體44GA中，P、。、火在棱力8、BC、上，且

PB=g,QB=g,RB=；,以"QR為底面作一個三棱柱尸QR-RQ與，使點弋，Q,凡分別在平面力”。。、QQCG、

44G。上，則這個三棱柱的側(cè)棱長為.

4.（2024?黃浦區(qū)校級開學(xué)）如圖，已知上方體小CO-4片CQ的棱長為1,點A/為棱力〃的中點，點尸在側(cè)面BCCXB.

及其邊界卜運動,則下列選項中不F確的是（）

A.存在點。滿足月必+02=后

B.存在點P滿足NAPM='

C.滿足力尸_L"A4的點P的軌跡長度為且

2

D.滿足的點P的軌跡長度為立

14

考點二.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

典例引領(lǐng)

5.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）在四棱錐的四個側(cè)面中，直角三角形最多可有一個.

6.（2024春?閔行區(qū)校級月考）在三棱錐中，PA=PB=AB=41fPC=a,AC=b,BC=c.若"4C

和AP8C都是等腰直角三角形，則滿足條件的有序?qū)崝?shù)對（a,b,c）的個數(shù)為—.

即時檢測

7.（2023?浦東新區(qū)校級開學(xué)）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱為攢尖，依其

平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑，園林建筑.以八角

攢尖為例，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正八棱錐，若此正入棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為a,則側(cè)棱與

底面外接圓半徑的比為一.

8.（2024?徐匯區(qū)校級開學(xué)）已知四棱錐P-/18C。的底面為矩形，PZ）_L平面48CQ,點。為側(cè)棱口（不含端點

的線段）上動點，則點。在平面P8C上的射影在（）

A.棱P8上B.AP8C內(nèi)部C.AP8C外部D.不確定

考點三.棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

典例引領(lǐng)

9.（2023?黃浦區(qū)二模）如圖，某學(xué)具可看成將一個底面半徑與高都為10刖的圓柱挖去一個圓錐（此圓錐的頂點

是圓柱的下底面圓心、底面是圓柱的上底面）所得到的幾何體，則該學(xué)具的表面積為C7?」.

10.（2023?松江區(qū)模擬）已知圓錐的底面半徑為2,底面圓心到某條母線的距離為1,則該圓錐的側(cè)面積

為.

4即時檢測

11.（2023?黃浦區(qū)校級三模）已知正方形48CZ）的邊長是1,將A48c沿對角線WC折到△48C的位置，使（折

疊后）力、夕、C、。四點為頂點的三棱錐的體積最大，則此三棱錐的表面積為.

12.（2023?嘉定區(qū)二模）如圖，正四棱柱48co—中，AB=2,點E、尸分別是棱8c和CQ的中點.

（1）判斷直線4E與。尸的關(guān)系，并說明理由；

（2）若直線與底面川?co所成角為工，求四棱柱力44GA的全面積.

13.（2024春?楊浦區(qū)校級月考）如圖所示，已知圓錐的底面半徑〃=2〃?，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸力。的截面是等邊三角形S48,

點Q為半圓弧AB的中點，點P為母線SA的中點.

（1）求此圓錐的體積和表面積；

（2）求異面直線P。與S。所成角的大?。?/p>

（3）齊一只螞蟻從。點沿著圓錐的側(cè)表面爬至尸點，請你能否作出合情的假設(shè)，來估算該螞蟻行程的最小值（精

確到0.0所）.

s

考點四.棱柱、棱錐、棱臺的體積

包典例引領(lǐng)

14.（2024?松江區(qū)校級模擬）采礦、采石或取土?xí)r，常用炸藥包進行爆破，部分爆破呈圓錐漏斗形狀（如圖），

已知圓錐的母線長是炸藥包的爆破半徑R,若要使爆破體積最大，則炸藥包埋的深度為.

15.（2024?嘉定區(qū)校級模擬）如圖，在直四棱柱4中，底面為正方形，E為極4耳的中點,

AB=2,AA}=3.

（1）求三棱錐A-BDE的體積.

（2）在0A上是否存在一點尸，使得平面0平面如果存在，請說明。點位置并證明.如果不存在,

請說明理由.

5

當(dāng)

4即時檢測

16.（2024?浦東新區(qū)校級三模）正方體力4c。-44GR的校長為2,尸為該正方體側(cè)面CGR。內(nèi)的動點（含邊

界），若PA,分別與直線力。所成角的正切值之和為庭,則四棱錐尸-4比'。的體積的取值范圍

為

".⑵24?寶山區(qū)校級四模）設(shè)一個簡單幾何體的表面積為S,體積為定義系數(shù)K*已知球體對應(yīng)的系

數(shù)為定義/=與為一個幾何體的“球形比例系數(shù)”.

（1）計算正方體和正四面體的“球形比例系數(shù)”：

（2）求圓柱體的“球形比例系數(shù)”范圍；

（3）是否存在“球形比例系數(shù)”為0.75的簡單幾何體？若存在，請描述該幾何體的基本特征；若不存在，說明理

由.

考點五.圓錐的體積

典例引領(lǐng)

18.（2024?普陀區(qū)模擬）若一個圓錐的體積為名售，用通過該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到的截面三角形的

頂角為'，則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.&乃B.2乃C.2&萬［）.4\歷萬

19.（2024?楊浦區(qū)校級三模）若底面半徑為1的圓錐的體積為則該圓錐的高為—.

中即時檢測

20.（2024?閔行區(qū)三模）如圖，已知頂點為S的圓錐其底面圓。的半徑為8,點0為圓錐底面半圓弧力。的中點,

點尸為母線S4的中點.

（1）若母線長為10,求圓錐的體積.

（2）若異面直線P。與SO所成角大小為工，求P、。兩點間的距離.

考點六.球的體積和表面積

典例引領(lǐng)

21.（2024?浦東新區(qū)校級四模）圓錐的底面半徑為1,母線長為2,在圓錐體內(nèi)部放入一個體積最大的球，該球的

表面積為.

22.（2024?閔行區(qū)三模）現(xiàn)有一個底面半徑為20〃、高為%切的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個球形實心工件，

則該工件的表面枳為—a/（損耗忽略不計）.

?即時檢測

23.（2024?普陀區(qū)校級模擬）已知三棱錐尸-48C的所有棱長都相等，點。是A48c的中心，點。為棱尸。上一

點，平面48。把三棱錐尸-48。分成體積相等的兩部分，平面力8。與PO交于點E,若點、P,A,B,C都在球。

的表面上，點E,A,B,C都在球外的表面上，則球a與球。2表面積的比值為.

24.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）半徑為廠的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直徑被截后的線段叫做

球缺的高/?，球缺的體積公式為/=1不〃⑶二+好）.已知圓錐SO的軸截面是邊長為2的正三角形，在圓錐內(nèi)部放

6

置一個小球。\使其與圓錐側(cè)面和底面都相切，過小球與圓錐側(cè)面的切點所在的平面將小球分成兩部分，則較小

部分的球缺的體積與球。，的體積之比為.

考點七.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

典例引領(lǐng)

25.（2024?松江區(qū)校級模擬）已知。、〃、y是三個不同的平面，/、〃八〃是三條不同的直線，則（）

A.若〃〃/a,n!la,則〃?//〃B.若00]7=加，網(wǎng)]/=〃，a〃/，則加//〃

C.若mua，n±a,IA.n,貝4///加D.若，且〃〃〃，則〃i//a

26.（2024?楊浦區(qū)校級三模）設(shè)a,b為兩條直線，a,尸為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（）

A.若a//a,bqa,則a//bB.若a//a,b1邛，a11P,則

C.若aqa,bq。，aHb,則a//夕D.若a_La,bLp,aA,fl,則萬J_E

27.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知a,夕是不同的平面，〃是不同的直線，則下列命題不正確的是（）

A.若m/In,〃u〃，則B.若〃?//〃，aQ/?=/?,則〃//a,n!/fi

C.若〃〃/〃，則〃_LaD.若〃?_La,/“_!_/?,則□///

28.（2024?長寧區(qū)二模）已知直線a,力和平面a,則下列判斷中正確的是（）

A.若a//a,b/la,則a///?B.若a//6,bIia,則a//a

C.若a//a,blat則a_L〃D.若q_L6,b//a,則a_La

考點八.幾何法求解直線與平面所成的角

典例引領(lǐng)

29.（2024?黃浦區(qū)校級三模）如圖，點尸是棱長為2的正方體4?CO-44GA表面上的一個動點，直線4P與平

面48C。所成的角為45。，則點P的軌跡長度為（）

A.江+4拉B.4&C.2GD.3四+乃

30.（2024春?嘉定區(qū)校級期末）如圖，底面48co為菱形，點P是平面48co外一點，且尸。_L平面/<8C。，E、

尸分別是為尸。，PC的中點.

（1）求證：E尸//平面尸力8；

（2）若48=1,ZDAB=60°,QQ=2&,求直線BE與平面48c。所成角的大小.

中即時檢測

31.（2023?普陀區(qū)校級模擬）已知平面a、/所成角為80。，尸為兩平面外一點，則過點夕且與平面a、夕所成

角均為40。的直線有（）條.

A.1B.2C.3D.4

32.（2024春?嘉定區(qū)校級期末）如圖，是。。的直徑，產(chǎn)力垂直于00所在的平面，C是圓盾上不同于力，B

的一動點.

（1）證明：AP8C是直角三角形；

⑵若PA=AB=2,AC=6,求直線48與平面P8c所成角的正弦值.

（3）若尸力=48=2,且異面直線與CO所成角為60",求4C的長.（結(jié)果精確到0.1）

P

0

AB

C

考點九.幾何法求解二面角及兩平面的夾角

典例引領(lǐng)

33.（2。24春?長寧區(qū)校級月考）已知結(jié)論：橢咋+#=S人。）的面積為一如圖，-個平面°斜截

一個足夠高的圓柱，與圓柱側(cè)面相交的圖形為橢圓E.若圓柱底面圓半徑為「，平面。與圓柱底面所成的銳二面角

大小為。（0＜夕＜|0,則下列對橢圓上的描述中，錯誤的是（)

A.短軸為2-，且與0大小無關(guān)

B.離心率為cos。，且與/,大小無關(guān)

C.焦距為2日an。

D.面積為上

COS0

34.（2023秋?閔行區(qū)校級期末）如圖，在正方體48。。-44GA中，點尸在線段8c上運動，則以下命題正確的

序號為（）

①直線8R平面ACQ

②平面B'D與平面BCD的夾角大小為3

③三棱錐P-4G。的體積為定值

④異面直線AP與AQ所成角的取值范圍是［工二］

42

A.①②B.①③C.①③④D.①④

也即時檢測

35.（2024?浦東新區(qū)三模）邊長都是為1的正方形48C。和正方形/所在的兩個半平面所成的二面角為二，

3

P、。分別是對角線月。、BF上的動點、,且月。=/0,則P0的取值范圍是（）

A.亭]B.（y,V2）C.[y,V2）D.停,1]

36.（2023秋?嘉定區(qū)校級期末）如圖，在RtAABC中，已知8C=4,AC=3,。是斜邊力〃上任意一點（不含端

點），沿直線。。將折成直二面角8-。0-4,當(dāng)40=（）時，折疊后/、8兩點間的距離最小.

考點十.空間向量法求解二面角及兩平面的夾角

典例引領(lǐng)

37.（2023秋?普陀區(qū)校級期中）我們稱：兩個相交平面構(gòu)成四個二面角，其中較小的二面角稱為這兩個相交平面

的夾角；由正方體的四個頂點所確定的平面統(tǒng)稱為該正方體的“表截面”.則在正方體中，兩個不重合的“表截面”

的夾角大小不可能為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

38.（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）清初著名數(shù)學(xué)家孔林宗曾提出?種“差藜形多面體”，其可由兩個正交的正四

面體組合而成，如圖1,也可由正方體切割而成，如圖2.在圖2所示的“茨藜形多面體”中，若力〃=2,則給出

的說法中錯誤命題有幾個（）

圖2

（1）該幾何體的表面積為18百；

（2）該幾何體的體積為4；

（3）二面角8-E/的余弦值為-1；

3

2N/3

(4)若點尸，。在線段用W,C”上移動，則尸。的最小值為

3

A.I個B.2個C.3個D.4個

即時檢測

39.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）如圖，三棱柱44C-44G滿足棱長都相等且44，平面。是棱CQ的中

點，E是棱4%上的動點.設(shè)彳￡=，隨著x增大，平面8DE與底面力8。所成銳二面角的平面角是（）

A.先增大再減小B,減小C.增大D.先減小再增大

40.（2023秋?奉賢區(qū)校級月考）在正四面體Q-48C中，點七在棱上，滿足4E=2E3,點尸為線段力。上的

動點，則（）

A.存在某個位置，使得DE工BF

B.存在某個位置，使得N“ZM=￡

4

C.存在某個位置，使得直線DE與平面。8尸所成角的正弦值為且

14

D.存在某個位置，使得平面與平面D4C夾角的余弦值為由

2

考點十一.點、線、面間的距離計算

典例引領(lǐng)

41.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）已知正方體的川紇Q-44GR棱長為2,點M,N分別是棱8C,CQ的中點,

點戶在平面內(nèi)，點0在線段4、上，若PM=?,則尸0長度的最小值為（）

c?9D,在

5

42.（2024春?虹口區(qū)校級期中）如圖，圓柱GO?的底面半徑為2,高為5,A,4分別是上、下底面圓周上的兩

個點，若?！?0避，則48=

即時檢測

43.（2024春?楊浦區(qū)校級月考）如圖，在棱長為2的正方體NBC。-44GA中，E,“分別為棱和的中

點，過點用，E,尸的平面。交力。于點G,則4G=（）

4

A.-BcID.

3-I3

44.（2024春?普陀區(qū)校級月考）如圖，一個由四根細鐵桿尸力、PB、PC、尸。組成的支架（4、PB、PC、PD

按照逆時針排布），若4吁皿。二/。匹/。*9一個半徑為1的球恰好放在支架上與四根細鐵桿均有

A.V3B.V2C.2D.-

2

45.（2024春?松江區(qū)校級期末）已知二面角a-/-〃的大小為60。，點P,。分別在a,尸上且PQ1/,若點、P

到P的距離為G,點。到a的距離為與,則PQ兩點之間的距離為一.

.好題沖關(guān)?

基礎(chǔ)過關(guān)

一.選擇題（共4小題）

1.（2D24?閔行區(qū)校級模擬）在空間中，“。、方為異面直線”是〃不相交”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

2.（2024?浦東新區(qū)校級四模）一水平放置的平面四邊形。1AC的直觀圖。4"。，如圖所示，其中。4=Oe=2,

0cl〈軸，49If釉，方（？//），，軸，則四邊形。力BC的面積為（）

C.1272D.12

3.（2024?長寧區(qū)校級三模）如圖，點N為正方形/3C。的中心，AECD為正三角形,平面ECZ>_1.平面/出C'O,M

是線段F8的中點，則（）

A.DM手EN,且直線DW、EN是異面直線

B.DM=EN,且直線。M、EN是異面直線

C.。也關(guān)EN,且直線。M、EN是相交直線

D.DM=EN,且直線QM、EN是相交直線

4.（2024?青浦區(qū)校級模擬）如圖，四邊形48C。的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形一知4*=4,CD1=2,

則下列說法正確的是（）

B.A'D'=2V2

C.四邊形/14CO的周長為4+26+2百

D.四邊形力8c。的面積為6及

二.填空題（共12小題）

5.（2024?長寧區(qū)校級三模）已知圓柱的底面半徑為30〃，側(cè)面積為24穴/,則此圓柱的體積為—

6.（2。24?黃浦區(qū)二模）若一個圓柱的底面半徑為2,母線長為3,則此圓柱的側(cè)面枳為一.

7.（2024?嘉定區(qū)二模）己知圓錐的母線長為2,高為1,則其體積為.

8.（2。24?閔行區(qū)校級二模）在空間直角坐標系中，點彳（-2,4,3）關(guān)于X。平面對稱的點的坐標是

9.（2。24?寶山區(qū)校級四模）己知圓臺的上底半徑為1,下底半徑為2,若圓臺上、下底面的面積和等于圓臺的側(cè)

面面積，則圓臺的母線與底面所成角的大小為一（用反三角函數(shù)表示）.

10.（2024?奉賢區(qū)三模）如圖，已知三角形045為直角三角形（O為直角），分別連接點8與線段04的〃等分點兒,

A2,...?41T得到〃個三角形依次為△1，A2,△“，將。力8繞看所在直線旋轉(zhuǎn)一周，記△?，…，

△“旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積依次為匕，匕，…,匕,若匕=1,匕=49,則三角形。力8旋轉(zhuǎn)得到的幾何體的體積

11.（2024?黃浦區(qū)校級三模）底面半徑長為km,母線長為反機的圓柱，體積為一.

12.（2024?閔行區(qū)校級二模）兩個平面可以將空間分成一個部分.

13.（2024?徐匯區(qū)校級模擬）設(shè)圓錐的底面中心為。，PB、產(chǎn)C是它的兩條母線，且|8C|=2,若棱錐。-尸8C是

正三棱椎，則該圓錐的體積為一.

14.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）若一個圓柱的底面半徑為1,側(cè)面積為10產(chǎn)，且該圓柱的上、卜.底面都在球。的球

面上，則球。的表面積為一.

15.（2024?長寧區(qū)二模）用鐵皮制作一個有底無蓋的圓柱形容器，若該容器的容積為江立方米，則至少需要一平

方米鐵皮.

16.（2024?黃浦區(qū)校級模擬）若正三棱柱的所有棱長均為4,則其體積為一.

三.解答題（共2小題）

17.（2023?普陀區(qū)校級模擬）如圖，。為圓錐的頂點，。是圓錐底面的圓心，力E為底面直徑，AE=AD.MBC

是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點、,PO巫DO.

6

（1）記明：平面尸8C；

（2）求二面角8-PC-E的大小.

18.（2023?松江區(qū)二模）如圖，在四棱錐尸-4BCO中，底面48co為平行四邊形，。是4c與8。的交點,

N/Z）C=45。，AD=AC=2,R9_L平面/4CQ,PO=2,A1是尸。的中點.

（1）記明：尸8//平面力CM

（2）求直線411與平面48co所成角的大小.

能力提升

一.選擇題（共3小題）

1.（2024?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)4，4，…，4是空間中給定的〃個不同的點，則使￡（［?麗）=0成立的點"的

個數(shù)為（）

A.1B.n

C.無窮多個D.前面的說法都有可能

2.（2D24?閔行區(qū)校級三模）空間和兩條異面直線同時都垂直且相交的直線（）

A.不一定存在B.有且只有I條

C.有1條或不存在D.有無數(shù)條

3.（2024?寶山區(qū)校級四模）已知正方體力8c0-4用G。和點尸，有兩個命題：

命題甲：存在“條過點尸的直線/,滿足/與正方體的每條棱所成角都相等；

命題乙：存在〃個過點夕的平面滿足。與正方體的每個面所成銳二面角都相等；

則卜列判斷止確的是（）

A.m>n

B.m=n

C.m<n

D.〃?、〃的大小關(guān)系與點尸的位置有關(guān)

二.填空題（共6小題）

4.（2Q24?浦東新區(qū)校級模擬）在棱長為I的正方體力8CQ-48cA中，點E,F,G分別為棱44，CQrBC

的中點，則四面體8￡FG的體積為.

5.（2024?青浦區(qū)校級模擬）已知正四面體4BCQ的邊長為1,P是空間一點，PA2+PB2+PC2PD2,則P4

的最小值為一.

6.（2。24?普陀區(qū)校級模擬）正四面體力5CO的棱長為12,點尸是該正四面體內(nèi)切球球面上的動點，當(dāng)蘇?瓦取

得最小值時，點尸到力。的距離為一.

7.（2D24?寶山區(qū)三模）若四面體力SCQ各棱的長為1或2,且該四面體不是正四面體，其體積1/的所有可能的值

為.

8.（2024?黃浦區(qū)二模）在四面體尸48C中，2而=蘇+而，5西=2而+3定，2而=-定+3可，設(shè)四面體力8C

與四面體必定廠的體積分別為匕、匕,則？■的值為一.

9.（2024?奉賢區(qū)三模）己知正方體力BCO-44G2的棱長為3,4,&,…，為正方形力8CQ邊上的〃個兩

兩不同的點.若對任意的點已，存在點與（i,片{1,2,…，A},iw/）.使得直線耳彳與平面4耳與以及平面GE%

所成角大小均為工，則正整數(shù)4的最大值為一.

三.解答題（共10小題）

10.（2024?浦東新區(qū)校級三模）在三棱錐夕-力8。中，BA1BC,_L平面力4C,點￡在平面44C內(nèi)，且滿足

平面PAE1平面PBE,AB=BC=BP=\,

（1）求證：AE1.BEx

（2）當(dāng)二面角E-E4-8的余弦值為正時，求三棱錐E-PC8的體積.

3

P

11.（2024?奉賢區(qū)三模）如圖，四棱錐尸-力灰］。的底面是梯形，AD//BC,AB1.BC.AB=3C=\,84，平

lEABCD,CD!PC.

（1）求證：CQ_L平面尸4C；

（2）若二面角P-CO-/的大小為工，求QO與平面4C所成的隹的大小.（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

3

12.（2024?浦東新區(qū)校級四模）如圖，多面體48COE尸是由一個正四棱錐彳-8COE與一個三棱錐尸-力拼接

而成，正四棱錐力-8。?！甑乃欣忾L均為3及，AF//CD.

（1）在棱OE上找一點G,使得平面/出C_L平面力尸G,并證明你的結(jié)論；

（2）若//=及，求直線。戶與平面48C所成角的正弦值.

13.(2024?楊浦區(qū)校級三模)如圖，在多面體中，已知四邊形"CQ是菱形，N4BC=60。,FA1YifiJABCD,EDL

平面ABC。，AB=FA=2ED=2.

(1)在線段4/上是否存在一點G,使得平面AQG//平面C￡尸？若存在，確定點G的位置；若不存在，請說明

理由.

(2)求二面角的余弦值.

14.(2024?長寧區(qū)校級三模)如圖，在三棱錐〃一48c中，AB=BC=3>/2,PH=PB=PC=4C=6,點。是AC

的中點.

(1)證明：尸O_L平面力8C；

(2)點"在棱8c上，且8M=；8C,求二面角0力-C的大小.

p

C

M

15.（2024?寶山區(qū)三模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAB±平面ABCD，AD3BC,N4BC=-,PA=PB=3,

2

BC=1,AB=2,力。=3,點。是力〃的中點.

（I）求證：POVCD；

（II）求直線。尸與平面PO。所成角的正弦值.

16.（2024?普陀區(qū)校級模擬）如圖，在三棱錐P-43c中，平面P"_L平面力8。，48=4,BC=2,

4c=PA=PB=2遙,。，E分別為PC,的中點.

（1）證明：平面8CE_L平面產(chǎn).

（2）求平面P8C與平面8?！甑膴A角的余弦值.

17.（2024?閔行區(qū)校級三模）如圖，在三棱柱"C-4片G中，平面4CG4，平面力8C,ABLBC,四邊形4CC/

是邊長為2的正方形.

（1）證明：8cl平面

（2）若直線4c與平面488/所成的角為30。，求二面角8-4C-力的余弦值.

B

18.（2024?閔行區(qū)校級模擬）如圖，在囚棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，且CB1BP,CD1DP,

PA=2,點、E,尸分別為P8,PO的中點.

（1）求證：P4_L平面力8。。；

（2）求點尸到平面力七尸的距離.

,D

B

19.（2024?楊浦區(qū)校級三模）如圖，在直三棱柱49。一44G中，4A=AB=2,AC=\,ZJC5=90°,。是棱

力8上的一點.

（1）若4D=DB,求異面直線4。與4G所成的角的大??；

（2）若CDA.BQ,求點8到平面80。的距離.

一.選擇題（共5小題）

1.（2024?上海）空間中有兩個不同的平面a,夕和兩條不同的直線/〃，〃，則下列說法中正確的是（）

A.若a_1_/7,mla,〃_L/?,則用_L〃B.若a_L/，m工a，mIfi,則〃_L夕

C.若a/R,mllainil。,則加〃〃D.若a//4,mllatmlInt則〃///?

2.（2023?上海）如圖所示，在正方體力8cO-44G。中，點尸為邊4G上的動點，則下列直線中，始終與直線BP

A.DD}B.ACC.AD}D.qC

3.（2022?上海）如圖正方體力4cO—中，P、Q、R、S分別為棱/出、BC、BB1、CO的中點，連接4S,

B、D.空間任意兩點V、N,若線段MN上不存在點在線段4S、上,則稱MN兩點可視，則下列選項中與點

4.（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天

0點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為（）

C.4D.12

5.（2。20?上海）在棱長為io的正方體Z8CO-4與GA中，P為左側(cè)面力。44上一點，已知點P到4A的距離

為3,P到的距離為2,則過點Q且與4c平行的直線交正方體于尸、。兩點，則0點所在的平面是（)

A.AA、B\BB.BBgCC.CCQDD.ABCD

二.填空題（共5小題）

6.（2022?上海）已知圓柱的高為4,底面積為9萬，則圓柱的側(cè)面積為.

7.（2。21?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面積為一.

8.（2023?上海）空間中有三個點力、B、C,且==在空間中任取2個不同的點。，E（不考慮

這兩個點的順序），使得它們與力、B、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法有一種.

9.（2024?上海）已知四棱柱48C。-/4G"底面48C。為平行四邊形，4％=3,8D=4且葩屈-西■?反=5,

求異面直線44與的夾角.

10.（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,48為上底面圓的一條直徑，。是下底面圓周上的一個動

點，則AJ4c的面積的取值范圍為一.

三.解答題（共10小題）

11.（2020?上海）已知四棱錐尸-力8。。，底面力8c。為正方形，邊長為3,PD工平面ABCD.

（1）若PC=5,求四棱錐P—/8CQ的體枳；

（2）若直線與30的夾角為6（）。，求PO的長.

12.（2020?上海