專題01 與三角形有關(guān)問題的壓軸題之三大題型(原卷版)VIP

專題01與三角形有關(guān)問題的壓軸題之三大題型目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一與三角形全等有關(guān)的問題】 1【題型二與三角形相似有關(guān)的問題】 12【題型三與三角形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題】 24【典型例題】【題型一與三角形全等有關(guān)的問題】例題：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）在中，，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)F．

(1)求證：；(2)若，求的面積．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江杭州·?？级＃┤鐖D，在中，，E為延長線上一點(diǎn)，且交于點(diǎn)F．

(1)求證：是等腰三角形；(2)若，F(xiàn)為中點(diǎn)，求的長．2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考二模）在中，，是的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若，，求的長．3．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，延長至點(diǎn)，使得．(1)求證：；(2)若，，，求的長．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，射線平分，交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊的延長線上，，連接．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．5．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，，，D是上的一點(diǎn)，且.(1)求證：(2)若，，求的度數(shù).6．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考一模）在中，，，D是邊上的中點(diǎn)，E是直線右側(cè)的一點(diǎn)，且，連接，過點(diǎn)D作的垂線交射線于點(diǎn)F．(1)點(diǎn)C到的距離為______；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在的外部時(shí)．①求證：；②如圖2，連接，當(dāng)時(shí)，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系；(3)若，請(qǐng)直接寫出的長．【題型二與三角形相似有關(guān)的問題】例題：（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，已知和，，，點(diǎn)D在邊上，

(1)求證：；(2)如果，，連接．求證：四邊形是菱形．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在等腰三角形中，，點(diǎn)P在平分線上，過點(diǎn)P作線段分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，已知．

(1)求證：．(2)若，F(xiàn)是的中點(diǎn)，求的值．2．（2023·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）?？既＃┤鐖D，在中，是角平分線，點(diǎn)E在邊AC上，且，連接．(1)求證：；(2)若，求（結(jié)果用α表示）(3)若，求的長．3．（2023·浙江杭州·校考三模）如圖，矩形中，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接．將沿著折疊后得，延長交于E，連接．

(1)求證：平分(2)求證：．(3)若，，求的值．4．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考模擬預(yù)測）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，和是直角三角形，，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在與中，直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)C，點(diǎn)D在上，，且，連接，若，求的長；【拓展提高】（3）如圖3，若，，，，過A作交延長線于Q，求的值．5．（2023·浙江寧波·?？既＃净A(chǔ)鞏固】如圖1，在中，，，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)．延長BC至點(diǎn)E，使，延長ED交AB于點(diǎn)F，則的值為______；

【思考探究】如圖2，當(dāng)時(shí)，的值會(huì)發(fā)生變化嗎？若不變，請(qǐng)寫出證明過程；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．

【拓展延伸】如圖3，在中，，點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)．延長BC至點(diǎn)E，使，延長ED交AB于點(diǎn)F，若，請(qǐng)求出的值（用含n的式子表示）．

【題型三與三角形旋轉(zhuǎn)有關(guān)的問題】例題：（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）已知中，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接．

(1)如圖（1），當(dāng)時(shí)，連接，求的度數(shù)；(2)如圖（2），連接，問的值是否為定值？若是，請(qǐng)說明理由并求出此值；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)以B，C，A，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求的長．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，已知，，，，繞著斜邊AB的中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DE、DF分別交AC、BC所在的直線于點(diǎn)P、Q．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，AP的長為．

2．（2023·浙江溫州·?？既＃┖贾輮W體網(wǎng)球中心以極度對(duì)稱的“蓮花”造型驚艷眾人．該建筑底部是由24片全等“花瓣”組成的“固定花環(huán)”，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展開．小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識(shí)，模擬“小蓮花”變化狀態(tài)．穹頂合攏時(shí)，如圖①，正二十四邊形頂點(diǎn)，正八邊形頂點(diǎn)與圓心O共線，正二十四邊形頂點(diǎn)，與正八邊形頂點(diǎn)，共線，則的值為；穹頂開啟時(shí)，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時(shí)繞著固定點(diǎn)，，…，逆時(shí)針同速旋轉(zhuǎn)．圓心O繞旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，以此類推，當(dāng)落在上時(shí)，若米，則的值為米．

3．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）一副三角板和中，．將它們疊合在一起，邊與重合，與相交于點(diǎn)G（如圖1），此時(shí)線段的長是，現(xiàn)將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)（如圖2），邊與相交于點(diǎn)H，連結(jié)，在旋轉(zhuǎn)到的過程中，線段掃過的面積是．

4．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D1，在中，，點(diǎn)D，E分別是的中點(diǎn)．把繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié)．(1)如圖2，當(dāng)線段在內(nèi)部時(shí)，求證：．(2)當(dāng)點(diǎn)D落在直線上時(shí)，請(qǐng)畫出圖形，并求的長．(3)當(dāng)面積最大時(shí)，請(qǐng)畫出圖形，并求出此時(shí)的面積．5．（2023·浙江杭州·杭州市公益中學(xué)?？级＃┤鐖D1，在中，，點(diǎn)、分別在邊、上，，連妾，點(diǎn)、、分別為、、的中點(diǎn)，連，．

(1)圖1中，求證：；(2)當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)．①是否仍然成立？若成立請(qǐng)證明；若不成立，說明理由；②若（），和的面積分別是、，的面積為，求的值．6．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)B在射線上，連接，并將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，再連接，；(1)如圖1，當(dāng)