專題03：整式的乘除（三）（解析版）-2021-2022學年七年級數學下冊基礎考點專題培優(yōu)訓練+重要題型小專題（北師大版）

專題03：整式的乘除（三）考點1：完全平方公式題型一：直接運用完全平方公式例1.運用完全平方公式計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】見詳解【分析】（1）根據完全平方公式求出即可；（2）根據完全平方公式求出即可；（3）根據完全平方公式求出即可；（4）先變形，再根據完全平方公式求出即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查了完全平方公式，能熟記完全平方公式的特點是解此題的關鍵，注意：，．【練習1】下列計算正確的是A． B． C． D．【答案】D【分析】根據完全平方公式，即可解答．【詳解】解：、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；、，原計算錯誤，故此選項不符合題意；、，原計算錯誤，故此選項不符合題意誤；、原計算正確，故此選項符合題意．故選：．【點睛】本題考查了完全平方公式，解決本題的關鍵是熟記完全平方公式．完全平方公式：．【練習2】計算：（1）（2）（3）（4）【答案】見詳解【分析】（1）根據完全平方公式展開可得答案；（2）根據完全平方公式展開可得答案；（3）化為，再按照公式展開即可；（4）化為，再按照公式展開即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點睛】本題考查整式的乘法，熟練掌握完全平方公式是解題關鍵．題型二：完全平方式中的含參求值例2．（1）已知是完全平方式，則的值為A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根據完全平方公式的形式，可得答案．【詳解】解：已知是完全平方式，，或，故選：．【點睛】本題考查了完全平方公式，注意符合條件的答案有兩個，以防漏解．（2）若是完全平方式，則的值為A． B．或5 C． D．5【答案】B【分析】由于是完全平方式，而，然后根據完全平方公式即可得到關于的方程，解方程即可求解．【詳解】解：是完全平方式，而，或，或．故選：．【點睛】本題主要考查了完全平方公式的應用；其中兩數的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．（3）已知多項式是一個完全平方式，則的值是A． B． C．15 D．15或【答案】D【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出的值．【詳解】解：是一個完全平方式，，，解得或．故選：．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式的結構特征是解本題的關鍵．完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式，如果存在另一個實系數整式，使，則稱是完全平方式．（4）已知，則．【答案】或12【分析】根據完全平方公式解答即可．【詳解】解：因為，，所以，，所以，，所以或12．故答案為：或12．【點睛】本題考查了完全平方公式的運用，能熟練地運用公式進行計算是解此題的關鍵．完全平方公式：．【練習3】（1）已知是完全平方式，則A．6 B． C．9 D．【答案】C【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可求出的值．【詳解】解：是完全平方式，，故選：．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．（2）如果是個完全平方式，那么的值是．【答案】或6【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定的值．【詳解】解：，是個完全平方式，，或，解得或．即的值是或6．故答案為：或6．【點睛】本題主要考查了完全平方式，根據平方項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．（3）如果多項式是完全平方式，那么的值是．【答案】【分析】利用完全平方公式的結構特征判斷即可求出的值．【詳解】解：多項式是完全平方式，，．故答案為：．【點睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．題型三：完全平方公式的變形運用例3．（1）已知，，求與的值；（2）已知，，求的值．【答案】見詳解【分析】（1）直接利用完全平方公式將原式變形：①，②，①②、①②即可得出答案；（2）直接利用完全平方公式將原式變形：，，代入計算得出答案．【詳解】解：（1），，①，②，①②得：，則；①②得：，則；（2），，，，，，或，即的值是58或70．【點睛】此題主要考查了完全平方公式，正確運用完全平方公式是解題的關鍵．【練習4】若，，則，．【答案】10，60．【分析】根據完全平方公式即可求出答案．【詳解】解：，，，，故答案為：10，60．【點睛】本題考查完全平方公式，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎題型．【練習5】已知，，求下列式子的值：（1）；（2）．【答案】見詳解【分析】（1）根據完全平方公式解決此題．（2）根據完全平方公式解決此題．【詳解】解：（1），，．．（2）由（1）得：．．【點睛】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關鍵．題型四：完全平方公式的靈活運用例4．（1）若，求的值為．【答案】2【分析】已知等式兩邊平方，利用完全平方公式展開即可求出所求式子的值．【詳解】解：已知等式兩邊平方得：，則．故答案為：2．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．（2）利用乘法公式解決下列問題：已知，若滿足，求值．【答案】見詳解【分析】設，，則，再代入計算即可【詳解】解：設，，由進行變形得，，．【點睛】此題考查了多項式乘多項式，完全平方公式的變式應用能力，屬于基礎計算題．【練習6】（1）已知：，則．【答案】7【分析】已知等式兩邊平方，利用完全平方公式化簡，即可求出所求式子的值．【詳解】解：將兩邊平方得：，則，故答案為：7．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關鍵．（2）已知：，則的值為A．7 B．8 C．9 D．12【答案】C【分析】根據完全平方公式，即可求出答案．【詳解】解：設，，，，原式，故選：．【點睛】本題考查完全平方公式，解題的關鍵是熟練運用完全平方公式，本題屬于基礎題型．【練習】題型五：完全平方式的非負性例5．閱讀材料：例題：已知，求，的值．解：，，，，，，．參照上面材料，解決下列問題：（1）已知，求，的值；（2）已知，求的值．【答案】見詳解【分析】（1）根據配方法與非負數的性質即可求出與的值；（2）根據完全平方公式把原式化為的形式，根據非負數的性質求出、，再代入，計算即可．【詳解】解：（1），，，，，解得，，；（2），，，則，解得．【點睛】本題考查的是配方法的應用和非負數的性質的應用，正確根據完全平方公式進行配方是解題的關鍵．【練習7】（1）若，則，．【答案】2，4【分析】根據完全平方公式整理的成平方的形式，再根據絕對值和平方數非負數的性質，列式求解即可得到、的值．【詳解】解：，，，，，，解得，．故答案為：2，4．【點睛】本題主要考查了運用完全平方公式的運用和非負數的性質，難度適中．（2）已知，求的值．【答案】見詳解【分析】利用配方法可把已知等式的左邊化為兩個平方和，再利用非負數的性質可求得、的值，則可求得的值．【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題主要考查配方法的應用，利用配方法把所給等式化成兩個非負數的和是解題的關鍵．題型六：配方法、幾何意義例6.閱讀下面的解題過程，求的最小值．解：，而，即最小值是0．的最小值是5．依照上面解答過程，求：（1）的最小值；（2）的最大值．【答案】見詳解【分析】（1）（2）根據完全平方公式把原式變形，根據偶次方的非負性解答即可．【詳解】解：（1），，，的最小值為2019；（2），，，的最大值為5．【點睛】本題考查的是配方法的應用，掌握完全平方公式、偶次方的非負性是解題的關鍵．例7．如圖，將一個邊長為的正方形圖形分割成四部分（兩個正方形和兩個長方形），請認真觀察圖形，解答下列問題：（1）根據圖中條件，請用兩種方法表示該圖形的總面積（用含、的代數式表示出來）；（2）如果圖中的，滿足，，求的值．【答案】見詳解【分析】（1）由圖形面積的整體和部分求和角度兩方面求法，可得此題結果為：和．（2）由（1）題結果可得結論，將，代入即可求得此題結果．【詳解】解：（1）該圖形總面積整體計算可得，部分求和可得；（2）由（1）題結果可得，當，時，，．【點睛】本題考查對完全平方公式幾何意義的理解，關鍵是從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義，并能對整式結論變式應用．【練習8】（1）用4塊完全相同的長方形拼成如圖所示的正方形，用不同的方法計算圖中陰影部分的面積，可得到一個關于，的等式為A． B． C． D．【答案】D【分析】由觀察圖形可得陰影部分的面積為，也可以表示為，可得結果．【詳解】解：圖形中大正方形的面積為，中間空白正方形的面積為，圖中陰影部分的面積為，又圖中陰影部分的面積還可表示為，，故選：．【點睛】此題考查了用數形結合思想解決整式運算能力，關鍵是能根據圖形面積找出整式間的關系式．（2）如圖，根據正方形的面積，寫出一個正確的等式．【答案】【分析】觀察圖形，其面積可從整體來求表示為，也可從各部分求和表示為，即：．【詳解】解：該圖形面積從整體來表示為，從各部分求和表示為，即：．故答案為：．【點睛】此題考查對完全平方公式幾何意義的理解，應從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義.考點2：整式的除法題型一：單項式除以單項式例8．（1）計算：．【答案】【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．（2）計算的結果是A． B． C． D．【答案】C【分析】利用單項式除以單項式的運算法則計算即可．【詳解】解：原式．故選：．【點睛】本題主要考查了整式除法中的單項式除以單項式，利用單項式除以單項式的運算法則計算是解題的關鍵．（3）計算：【答案】見詳解【分析】先利用積的乘方的運算法則運算，然后根據同底數冪的除法法則運算．【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了整式的除法：單項式除以單項式，把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數一起作為商的一個因式．多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．（4）【答案】見詳解【分析】直接利用多項式乘除運算法則求出答案．【詳解】解：．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握運算法則是解題關鍵．【練習9】（1）計算：．【答案】【分析】利用同底數冪的除法法則運算．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查了整式的除法：單項式除以單項式，把系數，同底數冪分別相除后，作為商的因式．（2）計算：．【答案】【分析】根據整式的除法法則即可求出答案．【詳解】解：原式．故答案為：．【點睛】本題考查整式的運算，解題的的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．（3）計算：【答案】見詳解【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案；【詳解】解：原式；【點睛】此題主要考查了整式的除法運算以及實數運算，正確化簡各數是解題關鍵．題型二：多項式除以單項式例9．（1）一個長方形操場，面積為，其中一邊長為，則另一邊長為A． B． C． D．【答案】A【分析】利用長方形面積除以一邊長即可．【詳解】解：，故選：．【點睛】本題考查了整式的除法，熟練掌握多項式除以單項式的運算是解題的關鍵．（2）計算的結果是A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：．故選：．【點睛】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．（3）計算：．【答案】見詳解【分析】先計算整式的乘除，再計算整式的加減，最后得到此題的結果．【詳解】解：．【點睛】此題考查了整式的乘除加減混合運算，關鍵是能對以上運算準確確運算順序、理解運算法則進行正確計算．【練習10】（1）長方形的面積是，一邊長是，則它的另一邊長是A． B． C． D．【答案】B【分析】由長方形面積公式即可列出式子，計算即得答案．【詳解】解：另一邊長為：，故選：．【點睛】本題考查多項式除以單項式，解題的關鍵是掌握多項式除以單項式的法則．（2）．【答案】【分析】根據多項式除以單項式的運算法則進行計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了整式的除法，熟練掌握多項式除以單項式的運算法則是解題的關鍵．（3）計算：．【答案】【分析】利用多項式除以單項式計算法則進行計算即可．【詳解】解：原式，故答案為：．【點睛】此題主要考查了整式的除法，關鍵是掌握多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．（4）．【答案】【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了整式的除法，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．題型三：整體思想例10．（1）已知，求的值為．【答案】9【分析】根據整式的運算法則即可求出答案．【詳解】解：當時，原式故答案為：9【點睛】本題考查整式的運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法則，本題屬于基礎題型．（2）已知：，，式子的結果是．【答案】【分析】原式利用多項式乘以多項式法則計算，整理后將已知等式代入計算即可求出值．【詳解】解：，，原式．故答案為：．【點睛】此題考查了整式的混合運算化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【練習11】（1）若，則代數式的值是．【答案】7【分析】先將已知變形為，再計算多項式除以單項式，將結果化為含的形式，整體代入即可得答案．【詳解】解：，，，故答案為：7．【點睛】本題考查多項式除以單項式及代數式求值，解題的關鍵是掌握多項式除以單項式法則及整體代入思想．（2）已知，則代數式的值為．【答案】【分析】對于代數式，利用單項式乘多項式，多項式乘多項式的計算法則先算乘法，然后再算合并同類項進行化簡，最后利用整體思想代入求值．【詳解】解：原式，，，即，原式，故答案為：．【點睛】本題考查代數式求值，掌握整式混合運算的運算順序和計算法則是解題關鍵．題型四：化簡求值例11．（1）化簡求值，其中．【答案】見詳解【分析】直接利用乘法公式化簡，再合并同類項，進而把已知數據代入得出答案．【詳解】解：原式，當時，原式．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算—化簡求值，正確運用乘法公式是解題關鍵．（2）先化簡，再求值：，其中，．【答案】見詳解【分析】原式中括號中利用冪的乘方與積的乘方運算法則計算，合并后利用多項式乘以單項式法則計算得到最簡結果，把與的值代入計算即可求出值．【詳解】解：原式，當，時，原式．【點睛】此題考查了整式的混合運算化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．（3）先化簡，再求值：，其中．【答案】見詳解【分析】直接利用乘法公式化簡，再利用整式的混合運算法則計算，結合非負數的性質得出，的值，求出答案．【詳解】解：原式，，，，解得：，，原式．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算—化簡求值以及非負數的性質，正確運用乘法公式計算是解題關鍵．【練習】（1）先化簡，再求值：，其中，．【答案】見詳解【分析】直接運用乘法公式以及單項式乘多項式運算法則化簡，再合并同類項，再結合整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：原式，當，時，原式．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算—化簡求值，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．（2）先化簡，再求值：，其中滿足．【答案】見詳解【分析】直接利用單項式乘多項式以及多項式乘多項式運算法則化簡，進而合并同類項，把已知變形整體代入得出答案．【詳解】解：原式，滿足，，原式．【點睛】此題主要考查了整式的混合運算—化簡求值，正確掌握整式的乘法運算法則是解題關鍵．1．計算的值為A． B． C． D．【答案】A【分析】原式利用單項式除以單項式法則計算即可得到結果．【詳解】解：原式．故選：．【點睛】此題考查了整式的除法，同底數冪相除法則，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．2．計算：的結果是A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：原式．故選：．【點睛】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．3．要使是完全平方式，那么的值是A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式的乘積二倍項即可確定的值．【詳解】解：是完全平方式，，，解得．故選：．【點睛】本題主要考查了完全平方式，根據平方項確定出這兩個數是解題的關鍵，也是難點，熟記完全平方公式對解題非常重要．4．小張利用如圖①所示的長為、寬為的長方形卡片4張，拼成了如圖②所示的圖形，則根據圖②的面積關系能驗證的恒等式為A． B． C． D．【答案】C【分析】圖②的面積可以整體表示為，也可將各部分求和表示為，由此可得此題結果．【詳解】解：用整體和各部分求和兩種方法表示出圖②的面積的面積各為：和，可得，故選：．【點睛】此題考查對完全平方公式幾何意義的理解，關鍵是能從整體和部分兩方面來理解完全平方公式的幾何意義．5．已知，，則的值是A．30 B．31 C．32 D．33【答案】B【分析】先根據完全平方公式變形，再把已知等式代入計算即可求出值．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．完全平方公式：．6．若滿足，則的值為A． B．0 C． D．1【答案】B【分析】利用整體的思想，設，，可得，然后再利用完全平方公式解答即可．【詳解】解：設，，，，，，，，，，故選：．【點睛】本題考查了完全平方公式，多項式乘以多項式，觀察與的和為1，然后再利用整體的數學思想和完全平方公式是解題的關鍵．7．．【答案】【分析】直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】此題主要考查了整式的除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．8．如果，那么代數式的值為．【答案】1【分析】由已知條件求得的值，再化簡原式，把代數式轉化成的形式，后整體代入求值便可．【詳解】解：原式，，，原式．故答案為：1．【點睛】本題主要考查了求代數式的值，整式的混合運算，整體思想，關鍵是把代數式化成的形式．9．若，且，則代數式的值為．【答案】7【分析】根據，兩邊平方得到，進而得到，從而得出答案．【詳解】解：，，，，故答案為：7．【點睛】本題考查了完全平方公式，掌握是解題的關鍵．10．已知：，則．【答案】7【分析】根據完全平方公式解答即可．【詳解】解：，，，故答案為：7．【點睛】本題考查了完全平方公式，熟記完全平方公式是解題的關鍵．11．已知，則．【答案】【分析】本題可將10拆成，然后配出兩個平方的式子，然后根據非負數的性質“兩個非負數相加，和為0，這兩個非負數的值都為0．”解出、的值，然后代入中即可解出本題．【詳解】解：原方程變形為：，即，，，即，，，，．【點睛】本題考查了非負數的性質，兩個非負數相加，和為0，這兩個非負數的值都為0．題中應先把方程變形為兩個平方的和再作答．12．若，則．【答案】3【分析】先根據完全平方公式得到，而，，則，，求出與，即可得到的值．【詳解】解：，