2025年考研數(shù)學（三）模擬沖刺卷：多元函數(shù)微分法與積分法難題解析

2025年考研數(shù)學（三）模擬沖刺卷：多元函數(shù)微分法與積分法難題解析一、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.設函數(shù)\(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)，則函數(shù)在點\((1,1)\)處的全微分\(df(1,1)\)為________。2.設函數(shù)\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，則函數(shù)在點\((1,1,1)\)處的梯度\(\nablaf(1,1,1)\)為________。3.設函數(shù)\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，則函數(shù)在點\((0,0)\)處的一階偏導數(shù)\(f_x(0,0)\)和\(f_y(0,0)\)分別為________。4.設函數(shù)\(f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)\)，則函數(shù)在點\((1,1,1)\)處的二階偏導數(shù)\(f_{xx}(1,1,1)\)，\(f_{yy}(1,1,1)\)和\(f_{zz}(1,1,1)\)分別為________。5.設函數(shù)\(f(x,y)=\arctan\frac{y}{x}\)，則函數(shù)在點\((1,1)\)處的切平面方程為________。二、選擇題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）1.設函數(shù)\(f(x,y)=x^3-3xy^2+2y^3\)，則\(f\)在點\((0,0)\)處的極值點為：A.\((0,0)\)B.\((1,0)\)C.\((0,1)\)D.無極值點2.設函數(shù)\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，則\(f\)在點\((0,0)\)處的駐點為：A.\((0,0)\)B.\((1,0)\)C.\((0,1)\)D.無駐點3.設函數(shù)\(f(x,y)=x^2+y^2\)，則\(f\)在點\((1,1)\)處的切線方程為：A.\(y=x\)B.\(y=-x\)C.\(y=x+1\)D.\(y=-x+1\)4.設函數(shù)\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，則\(f\)在點\((1,1,1)\)處的法向量\(\vec{n}\)為：A.\(\{1,1,1\}\)B.\(\{1,1,-1\}\)C.\(\{-1,-1,1\}\)D.\(\{-1,-1,-1\}\)5.設函數(shù)\(f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}\)，則\(f\)在點\((1,1,1)\)處的切平面方程為：A.\(x+y+z=3\)B.\(x-y-z=3\)C.\(x+y-z=3\)D.\(x-y+z=3\)三、解答題（本大題共3小題，每小題20分，共60分）1.設函數(shù)\(f(x,y)=x^2e^y\)，求\(f\)在點\((1,0)\)處的切線方程。2.設函數(shù)\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，求\(f\)在點\((1,1,1)\)處的切平面方程。3.設函數(shù)\(f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)\)，求\(f\)在點\((1,1,1)\)處的切平面方程。四、證明題（本大題共1小題，共20分）證明：設函數(shù)\(f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2xy}\)，證明在\(xy\neq-1\)的條件下，函數(shù)\(f(x,y)\)在整個平面上是連續(xù)的。五、計算題（本大題共1小題，共20分）計算：設函數(shù)\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，求函數(shù)\(f\)在點\((1,0)\)處的全微分\(df(1,0)\)。六、綜合應用題（本大題共1小題，共20分）設函數(shù)\(f(x,y,z)=x^2y+yz^2+xz^3\)，求：1.函數(shù)\(f\)在點\((1,1,1)\)處的切平面方程；2.在\(z\)固定為1的條件下，函數(shù)\(f\)在點\((1,1,1)\)處沿\(\vec{n}=\{1,1,0\}\)方向的方向?qū)?shù)。本次試卷答案如下：一、填空題1.設函數(shù)\(f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\)，則函數(shù)在點\((1,1)\)處的全微分\(df(1,1)\)為\(0\)。解析思路：首先計算函數(shù)的一階偏導數(shù)，得到\(f_x=\frac{y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)和\(f_y=\frac{x(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\)。代入點\((1,1)\)得到\(f_x(1,1)=0\)和\(f_y(1,1)=0\)，因此全微分\(df(1,1)=0\cdotdx+0\cdotdy=0\)。2.設函數(shù)\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，則函數(shù)在點\((1,1,1)\)處的梯度\(\nablaf(1,1,1)\)為\(\{2x,2y,2z\}\)。解析思路：函數(shù)的梯度是各偏導數(shù)的向量形式，對于給定的函數(shù)\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，偏導數(shù)\(f_x=2x\)，\(f_y=2y\)，\(f_z=2z\)。在點\((1,1,1)\)處，梯度\(\nablaf(1,1,1)=\{2\cdot1,2\cdot1,2\cdot1\}=\{2,2,2\}\)。3.設函數(shù)\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，則函數(shù)在點\((0,0)\)處的一階偏導數(shù)\(f_x(0,0)\)和\(f_y(0,0)\)分別為\(0\)。解析思路：對于\(f_x\)，使用鏈式法則得到\(f_x=2xe^{x^2+y^2}\)，在點\((0,0)\)處，\(f_x(0,0)=0\)。類似地，對于\(f_y\)，使用鏈式法則得到\(f_y=2ye^{x^2+y^2}\)，在點\((0,0)\)處，\(f_y(0,0)=0\)。4.設函數(shù)\(f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)\)，則函數(shù)在點\((1,1,1)\)處的二階偏導數(shù)\(f_{xx}(1,1,1)\)，\(f_{yy}(1,1,1)\)和\(f_{zz}(1,1,1)\)分別為\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{2}\)和\(\frac{1}{2}\)。解析思路：使用鏈式法則計算二階偏導數(shù)，對于\(f_{xx}\)，先對\(x\)求偏導，再對結(jié)果求偏導，得到\(f_{xx}=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2}\)，在點\((1,1,1)\)處，\(f_{xx}(1,1,1)=\frac{2\cdot1}{1^2+1^2+1^2}=\frac{1}{2}\)。類似地，可以計算出\(f_{yy}(1,1,1)\)和\(f_{zz}(1,1,1)\)。5.設函數(shù)\(f(x,y)=\arctan\frac{y}{x}\)，則函數(shù)在點\((1,1)\)處的切平面方程為\(y=x\)。解析思路：函數(shù)的切平面方程可以通過梯度向量\(\nablaf\)得到，梯度向量\(\nablaf=\left\{\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{x}{x^2+y^2}\right\}\)。在點\((1,1)\)處，梯度\(\nablaf(1,1)=\left\{\frac{-1}{2},\frac{1}{2}\right\}\)，因此切線方程為\(y-1=\frac{1}{2}(x-1)\)，即\(y=x\)。二、選擇題1.設函數(shù)\(f(x,y)=x^3-3xy^2+2y^3\)，則\(f\)在點\((0,0)\)處的極值點為：A.\((0,0)\)解析思路：計算\(f\)在\((0,0)\)處的一階偏導數(shù)，\(f_x(0,0)=0\)和\(f_y(0,0)=0\)。然后計算二階偏導數(shù)，\(f_{xx}(0,0)=0\)，\(f_{yy}(0,0)=0\)，\(f_{xy}(0,0)=0\)。使用Hessian矩陣判別，得到\(f\)在\((0,0)\)處有極小值。2.設函數(shù)\(f(x,y)=e^{x^2+y^2}\)，則\(f\)在點\((0,0)\)處的駐點為：A.\((0,0)\)解析思路：計算\(f\)在\((0,0)\)處的一階偏導數(shù)，\(f_x(0,0)=0\)和\(f_y(0,0)=0\)。因此\((0,0)\)是\(f\)的駐點。3.設函數(shù)\(f(x,y)=x^2+y^2\)，則\(f\)在點\((1,1)\)處的切線方程為：A.\(y=x\)解析思路：計算\(f\)在\((1,1)\)處的一階偏導數(shù)，\(f_x(1,1)=2\)和\(f_y(1,1)=2\)。切線方程為\(y-1=2(x-1)\)，即\(y=2x-1\)，化簡后得\(y=x\)。4.設函數(shù)\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，則\(f\)在點\((1,1,1)\)處的法向量\(\vec{n}\)為：A.\(\{1,1,1\}\)解析思路：函數(shù)的法向量由梯度向量給出，\(\nablaf(x,y,z)=\{2x,2y,2z\}\)。在點\((1,1,1)\)處，法向量\(\vec{n}=\{2\cdot1,2\cdot1,2\cdot1\}=\{2,2,2\}\)，化簡后得\(\{1,1,1\}\)。5.設函數(shù)\(f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}\)，則\(f\)在點\((1,1,1)\)處的切平面方程為：A.\(x+y+z=3\)解析思路：切平面方程由梯度向量給出，\(\nablaf(x,y,z)=\{2xe^{x^2+y^2+z^2},2ye^{x^2+y^2+z^2},2ze^{x^2+y^2+z^2}\}\)。在點\((1,1,1)\)處，梯度\(\nablaf(1,1,1)=\{2e^2,2e^2,2e^2\}\)，切平面方程為\(2e^2(x-1)+2e^2(y-1)+2e^2(z-1)=0\)，化簡后得\(x+y+z=3\)。三、解答題1.設函數(shù)\(f(x,y)=x^2e^y\)，求\(f\)在點\((1,0)\)處的切線方程。解析思路：計算\(f\)在\((1,0)\)處的一階偏導數(shù)，\(f_x=2xe^y\)和\(f_y=x^2e^y\)。在點\((1,0)\)處，\(f_x(1,0)=2\)和\(f_y(1,0)=1\)。切線方程為\(y-0=\frac{1}{2}(x-1)\)，即\(y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)。2.設函數(shù)\(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)，求\(f\)在點\((1,1,1)\)處的切平面方程。解析思路：計算\(f\)在\((1,1,1)\)處的一階偏導數(shù)，\(f_x=2x\)，\(f_y=2y\)，\(f_z=2z\)。在點\((1,1,1)\)處，梯度\(\nablaf(1,1,1)=\{2,2,2\}\)。切平面方程為\(2(x-1)+2(y-1)+2(z-1)=0\)，化簡后得\(x+y+z=3\)。3.設函數(shù)\(f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2)\)，求\(f\)在點\((1,1,1)\)處的切平面方程。解析思路：計算\(f\)在\((1,1,1)\)處的一階偏導數(shù)，\(f_x=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2}\)，\(f_y=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2}\)，\(f_z=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2}\)。在點\((1,1,1)\)處，梯度\(\nablaf(1,1,1)=\{1,1,1\}\)。切平面方程為\((x-1)+(y-1)+(z-1)=0\)，化簡后得\(x+y+z=3\)。四、證明題證明：設函數(shù)\(f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+2xy}\)，證明在\(xy\neq-1\)的條件下，函數(shù)\(f(x,y)\)在整個平面上是連續(xù)的。解析思路：觀察函數(shù)\(f(x,y)\)的定義，可以發(fā)現(xiàn)當\(xy\neq-1\)時，分母不為零，因此\(f(x,y)\)是有定義的。要證明\(f(x,y)\)在整個平面上連續(xù)，需要證明對于任意的\((x_0,y_0)\)，存在一個足夠小的鄰域，使得在該鄰域內(nèi)\(f(x,y)\)的值與\(f(x_0,y_0)\)的值任意接近。這可以通過證明\(f(x,y)\)的極限存在且等于\(f(x_0,y_0)\)來完成。五、計算題計算：設函數(shù)\(f(x,y)=\ln(x^2+y^2)\)，求函數(shù)\(f\)在點\((1,0)\)處的全微分\(df(1,0)\)。解析思路：首先計算\(f\)的一階偏導數(shù)，\(f_x=\frac{2x}{x^2+y^2}\)和\(f_y=\frac{2y}{x^2+y^2}\)。在點\((1,0)\)處，\(f_x(1,0)=2\)和\(f_y(1,0)=0\)。全微分\(df(1,0)=f_x(1,0)dx+f_y(1,0)dy=2dx\)。六、