2025年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽（CMO）組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階試題集

2025年加拿大數(shù)學(xué)競(jìng)賽（CMO）組合數(shù)學(xué)與數(shù)論進(jìn)階試題集一、選擇題（每題5分，共20分）1.設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8,10}，從集合A到集合B的映射f滿足：對(duì)于任意x∈A，都有f(x)∈B，且f(1)=2，f(2)=4，f(3)=6，f(4)=8，f(5)=10。則該映射的個(gè)數(shù)是：A.5B.10C.20D.252.在一個(gè)5x5的方格中，每個(gè)方格內(nèi)寫一個(gè)正整數(shù)，且滿足以下條件：（1）對(duì)角線上的所有數(shù)之和為100；（2）任意兩條對(duì)角線上的數(shù)之和相等。求所有可能的正整數(shù)個(gè)數(shù)。A.5B.10C.15D.203.設(shè)a，b，c為正整數(shù)，且滿足a+b+c=2015。求滿足以下條件的整數(shù)對(duì)(a,b,c)的個(gè)數(shù)：（1）a，b，c均大于等于1；（2）abc的最小值為1000。A.1000B.2000C.3000D.40004.有一個(gè)5x5的方格，每個(gè)方格內(nèi)寫一個(gè)正整數(shù)，且滿足以下條件：（1）對(duì)角線上的所有數(shù)之和為100；（2）任意兩條對(duì)角線上的數(shù)之和相等。求所有可能的正整數(shù)個(gè)數(shù)。A.5B.10C.15D.205.設(shè)a，b，c為正整數(shù)，且滿足a+b+c=2015。求滿足以下條件的整數(shù)對(duì)(a,b,c)的個(gè)數(shù)：（1）a，b，c均大于等于1；（2）abc的最小值為1000。A.1000B.2000C.3000D.4000二、填空題（每題5分，共20分）1.設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8,10}，從集合A到集合B的映射f滿足：對(duì)于任意x∈A，都有f(x)∈B，且f(1)=2，f(2)=4，f(3)=6，f(4)=8，f(5)=10。則該映射的個(gè)數(shù)是__________。2.在一個(gè)5x5的方格中，每個(gè)方格內(nèi)寫一個(gè)正整數(shù)，且滿足以下條件：（1）對(duì)角線上的所有數(shù)之和為100；（2）任意兩條對(duì)角線上的數(shù)之和相等。求所有可能的正整數(shù)個(gè)數(shù)是__________。3.設(shè)a，b，c為正整數(shù)，且滿足a+b+c=2015。求滿足以下條件的整數(shù)對(duì)(a,b,c)的個(gè)數(shù)是__________。4.有一個(gè)5x5的方格，每個(gè)方格內(nèi)寫一個(gè)正整數(shù)，且滿足以下條件：（1）對(duì)角線上的所有數(shù)之和為100；（2）任意兩條對(duì)角線上的數(shù)之和相等。求所有可能的正整數(shù)個(gè)數(shù)是__________。5.設(shè)a，b，c為正整數(shù)，且滿足a+b+c=2015。求滿足以下條件的整數(shù)對(duì)(a,b,c)的個(gè)數(shù)是__________。三、解答題（共30分）1.（10分）設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8,10}，從集合A到集合B的映射f滿足：對(duì)于任意x∈A，都有f(x)∈B，且f(1)=2，f(2)=4，f(3)=6，f(4)=8，f(5)=10。求該映射的個(gè)數(shù)。2.（10分）在一個(gè)5x5的方格中，每個(gè)方格內(nèi)寫一個(gè)正整數(shù)，且滿足以下條件：（1）對(duì)角線上的所有數(shù)之和為100；（2）任意兩條對(duì)角線上的數(shù)之和相等。求所有可能的正整數(shù)個(gè)數(shù)。3.（10分）設(shè)a，b，c為正整數(shù)，且滿足a+b+c=2015。求滿足以下條件的整數(shù)對(duì)(a,b,c)的個(gè)數(shù)：（1）a，b，c均大于等于1；（2）abc的最小值為1000。四、證明題（每題10分，共20分）1.證明：設(shè)n為正整數(shù)，若n≥5，則存在一個(gè)整數(shù)k，使得n^2+1是2k的倍數(shù)。2.證明：設(shè)p和q是兩個(gè)不同的質(zhì)數(shù)，證明：p^q+q^p是奇數(shù)。五、計(jì)算題（每題10分，共20分）1.設(shè)集合A={1,2,3,4,5}，集合B={2,4,6,8,10}，從集合A到集合B的映射f滿足：對(duì)于任意x∈A，都有f(x)∈B，且f(1)=2，f(2)=4，f(3)=6，f(4)=8，f(5)=10。計(jì)算滿足以下條件的映射個(gè)數(shù)：（1）f(1)=2，f(3)=6，f(5)=10；（2）f(2)=4，f(4)=8，f(5)=10。2.設(shè)a，b，c為正整數(shù)，且滿足a+b+c=2015。計(jì)算滿足以下條件的整數(shù)對(duì)(a,b,c)的個(gè)數(shù)：（1）a，b，c均大于等于1；（2）abc的最小值為1000。六、應(yīng)用題（每題10分，共20分）1.有一個(gè)5x5的方格，每個(gè)方格內(nèi)寫一個(gè)正整數(shù)，且滿足以下條件：（1）對(duì)角線上的所有數(shù)之和為100；（2）任意兩條對(duì)角線上的數(shù)之和相等。求所有可能的正整數(shù)個(gè)數(shù)。2.設(shè)a，b，c為正整數(shù)，且滿足a+b+c=2015。求滿足以下條件的整數(shù)對(duì)(a,b,c)的個(gè)數(shù)：（1）a，b，c均大于等于1；（2）abc的最小值為1000。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析：這是一個(gè)簡(jiǎn)單的排列組合問(wèn)題。由于每個(gè)元素在集合A中都有5種選擇，因此總共有5^5=3125種映射，但題目中指定了f(1)=2，f(2)=4，f(3)=6，f(4)=8，f(5)=10，因此只有1種映射。2.答案：B解析：這是一個(gè)組合問(wèn)題。由于對(duì)角線上的數(shù)之和為100，且任意兩條對(duì)角線上的數(shù)之和相等，我們可以設(shè)對(duì)角線上的數(shù)為a,b,c,d,e，則有a+b+c+d+e=100。由于有5條對(duì)角線，所以每條對(duì)角線上的數(shù)之和都應(yīng)該是100/5=20。因此，我們可以將方格中的數(shù)設(shè)置為20,20,20,20,20，這樣就有10種不同的排列方式。3.答案：B解析：這是一個(gè)組合問(wèn)題。由于a+b+c=2015，我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找三個(gè)正整數(shù)，它們的和為2015。由于每個(gè)數(shù)至少為1，我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找三個(gè)數(shù)的和為2014，即2014=1+2+3+...+n。通過(guò)計(jì)算，我們可以找到n=671，因此有671種不同的組合。4.答案：B解析：與第二題類似，這是一個(gè)組合問(wèn)題。由于對(duì)角線上的數(shù)之和為100，且任意兩條對(duì)角線上的數(shù)之和相等，我們可以設(shè)對(duì)角線上的數(shù)為a,b,c,d,e，則有a+b+c+d+e=100。由于有5條對(duì)角線，所以每條對(duì)角線上的數(shù)之和都應(yīng)該是100/5=20。因此，我們可以將方格中的數(shù)設(shè)置為20,20,20,20,20，這樣就有10種不同的排列方式。5.答案：B解析：與第三題類似，這是一個(gè)組合問(wèn)題。由于a+b+c=2015，我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找三個(gè)正整數(shù)，它們的和為2015。由于每個(gè)數(shù)至少為1，我們可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找三個(gè)數(shù)的和為2014，即2014=1+2+3+...+n。通過(guò)計(jì)算，我們可以找到n=671，因此有671種不同的組合。二、填空題1.答案：1解析：根據(jù)選擇題的解析，我們知道只有一個(gè)映射滿足條件。2.答案：10解析：根據(jù)選擇題的解析，我們知道有10種不同的排列方式。3.答案：671解析：根據(jù)選擇題的解析，我們知道有671種不同的組合。4.答案：10解析：與第二題類似，有10種不同的排列方式。5.答案：671解析：與第三題類似，有671種不同的組合。三、解答題1.答案：3125解析：根據(jù)選擇題的解析，我們知道有5^5=3125種映射。2.答案：10解析：根據(jù)選擇題的解析，我們知道有10種不同的排列方式。3.答案：671解析：根據(jù)選擇題的解析，我們知道有671種不同的組合。四、證明題1.答案：證明如下解析：假設(shè)n≥5，我們可以將n表示為n=4k+r，其中k和r是整數(shù)，且1≤r≤4。根據(jù)費(fèi)馬小定理，對(duì)于任意整數(shù)a和質(zhì)數(shù)p，如果a不是p的倍數(shù)，那么a^(p-1)≡1(modp)。因此，對(duì)于質(zhì)數(shù)p=2，我們有n^2≡1(mod2)，即n^2+1≡2(mod2)。由于n^2+1是偶數(shù)，所以存在一個(gè)整數(shù)k，使得n^2+1=2k。2.答案：證明如下解析：由于p和q是不同的質(zhì)數(shù)，它們只能是奇數(shù)。因此，p^q和q^p都是奇數(shù)。奇數(shù)加奇數(shù)等于偶數(shù)，所以p^q+q^p是偶數(shù)。但是，由于p和q都是質(zhì)數(shù)，它們不可能同時(shí)是偶數(shù)，因此p^q+q^p不能是偶數(shù)，只能是奇數(shù)。五、計(jì)算題1.答案：10解析：這是一個(gè)排列組合問(wèn)題。對(duì)于第一組條件，我們有3個(gè)位置可以放置2,6,10